第一章 集合与常用逻辑用语 综合测试卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（综合测试卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是(　　) A.A＝{π}，B＝{3.141 59} B.A＝{2，3}，B＝{(2，3)} C.A＝{1，，π}，B＝{π，1，|－|} D.A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1} 2.设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，A＝{5，7}，则a的值是(　　) A.2 B.8 C.－2或8 D.2或8 3.若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知集合M＝{x|x－1＞0}，集合N＝{x|x－2≥0}，则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M∩N＝ D.M∪N＝R 5.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是(　　) A．（－∞，2] B．（2，4] C．[2，4] D．（－∞，4] 6.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足M＝{1，3}，则(　　) A.2∈M B.3∈M C.4M D.5M 7.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪M＝(　　) A.{2，3，5} B.{1，3，4} C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5} 8.若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.设集合A＝{x|x2－2x＝0}，则下列表述正确的是(　　) A.{0}∈A　　　　　B.2∈A C.{2}∈A D.0∈A 10.设集合A＝{x|x2－7x＋10＝0}，B＝{x|ax－10＝0}，若A∪B＝A，则实数a的值可以是(　　) A.0 B.1 C.2 D.5 11.下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A.∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B.至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C.∃x∈R，|x|<0 D.有些自然数是偶数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12.若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为__________ 13.已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为________ 14.若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（14分）用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)直线y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合； (3)方程组的解集． 16.（14分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： (1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0． 17.（15分）已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|5＜2x－1＜17}． (1)求A∩B，(B)∪A； (2)已知C＝{x|m＋2＜x≤2m}，若C∩B＝C，求实数m的取值范围． 18.（17分）在①x∈A是x∈B的充分不必要条件；②A⊆B；③A∩B＝这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|m－1≤x≤m＋1}，集合B＝{x||x|≤2}． (1)当m＝2时，求A∪B；(2)若________，求实数m的取值范围． 19.（17分）设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°． 参考答案及解析： 一、单选题 1.C　解析：集合相等，两集合中的元素完全相同．选项A，∵π≠3.141 59，∴A≠B；选项B，∵2，3表示两个实数，而(2，3)表示一个点，∴A≠B；选项C，∵|－|＝，∴A＝B；选项D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}，B＝{1}，∴A≠B．故选C． 2.D　解析：∵A∪(A)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或a＝8．故选D． 3.C　解析：方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．故选C． 4.B　解析：由M＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，可得N⊆M．故选B． 5.D　解析：因为B⊆A，当B＝时，即m＋1≥2m－1，解得m≤2；当B≠时，有解得2＜m≤4．综上所述，可得m≤4．故选D． 6.A　解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3M，4∈M，5∈M．故选A． 7.A　解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以M＝{2，3，5}． 又因为N＝{2，5}，所以N∪M＝{2，3，5}．故选A． 8.B　解析：由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p．故选B． 二、多选题 9.BD 解析：∵集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A，∵元素与集合是属于关系，故A、C不正确． 10.ACD　解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A，A＝{x|x2－7x＋10＝0}＝{2，5}，当a＝0时，B＝，符合题意；当a≠0时，B＝，则＝2或＝5，解得a＝5或a＝2．故选ACD． 11.ABD　解析：A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD． 三、填空题 12.答案：2，1，0 解析：由题意可得3－x可以为1，2，3，且x为自然数，因此x的值为2，1，0，因此A中元素为2，1，0． 13.答案：{0，－1，2}　 解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝时，a＝0；当B≠时，B＝，则＝－2或＝1，解得a＝－1或a＝2，所以实数a值集合为{0，－1，2}． 14.答案：－1　 解析：因为x2＞1，所以x＜－1或x＞1．又因为“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，所以x＜a ⇒x2＞1但x2＞1 x＜a．如图，所以a≤－1，所以a的最大值为－1． 四、解答题 15.解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0，所以不大于10的非负偶数集合是{0，2，4，6，8，10}． (2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故直线y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合是{(0，1)}． (3)解方程组得所以用列举法表示方程组的解集为{(0，1)}． 16.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题； 又由于“任意”的否定为“存在一个”， 因此，p的否定：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立， 即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”． (2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题； 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”， 因此，p的否定：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”． 17.解：(1)因为B＝{x|5＜2x－1＜17}＝{x|3＜x＜9}， 所以A∩B＝{x|3＜x＜7}，B＝{x|x≤3或x≥9}，所以(B)∪A＝{x|x＜7或x≥9}． (2)因为C∩B＝C，所以C⊆B． 当C＝时，m＋2≥2m，解得m≤2； 当C≠时，解得2＜m＜． 综上可得，实数m的取值范围为． 18.解：(1)因为|x|≤2，所以－2≤x≤2．所以B＝{x|－2≤x≤2}． 当m＝2时，A＝{x|1≤x≤3}， 所以A∪B＝{x|－2≤x≤3}． (2)由(1)得B＝{x|－2≤x≤2}， 选①，x∈A是x∈B的充分不必要条件， 则且等号不同时成立，解得－1≤m≤1． 选②，A⊆B，则解得－1≤m≤1． 选③，A∩B＝，则m－1＞2或m＋1＜－2， 解得m＞3或m＜－3，即实数m的取值范围是{m|m＞3或m＜－3}． 19.证明：充分性． 因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2， 于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0， 所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0， 所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)． 同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0， 即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0， 所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)． 可以发现x1＝x3，所以方程有公共根． 必要性．设x是方程的公共根， 则 ①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0（舍去）． 代入①并整理，得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°． 所以结论成立． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$