广东省深圳技术大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末复习数学试题（四）

试卷第 1 页，共 4 页 深圳技术大学附属中学高一下数学期末复习卷(四) 时间:120 分钟 分值：150 分 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 设全集𝑈 = {0,1,2,4,6,8}，集合𝑀 = {0,4,6}，𝑁 = {0,1,6}，则𝑀 ∪ 𝐶𝑈𝑁 =（ ） A {0,2,4,6,8} B.  0,1,4,6,8 C. {1,2,4,6,8} D. 𝑈 2. 复数𝑧满足𝑖⋅ 𝑧 = −1 + 𝑖，则|𝑧| =（ ） A. √5 B. √2 C. 1 D. 2 3. 在△ 𝐴𝐵𝐶中，线段𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的中线，点𝐸满足𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝐸𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗，记𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎 , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ?⃗? ，则（ ） A. 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2 3 𝑎 − 1 3 ?⃗? B. 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2 3 𝑎 + 1 3 ?⃗? C. 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 1 3 𝑎 − 2 3 ?⃗? D. 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = − 2 3 𝑎 − 1 3 ?⃗? 4. 已知sin 2𝛼 = 3 5 ，则cos2 (𝛼 + 𝜋 4 ) =（ ） A. 1 10 B. 1 5 C. 9 10 D. 2 3 5.下列说法正确的是（ ） A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 B．A，B同时发生的概率一定比 A，B中恰有一个发生的概率小 C．若𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1，则事件 A与 B是对立事件 D．事件 A，B中至少有一个发生的概率一定比 A，B中恰有一个发生的概率大 6. 在△ 𝐴𝐵𝐶中，角 , ,A B C的对边分别是𝑎, 𝑏, 𝑐，已知𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐶 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝐴，且𝑎2 − 𝑐2 = 3𝑏，则𝑏 =（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 18 7. 已知函数𝑓(𝑥) = 2 sin(2𝑥 + 𝜑)(|𝜑|＜ 𝜋 2 )的图像关于直线𝑥 = 𝜋 6 对称，将函数𝑓(𝑥)的图像向左平移 𝜋 12 个单位 长度得到函数𝑔(𝑥)的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 𝑓(𝑥) 图像关于直线𝑥 = 𝜋 12 对称 B. 𝑔(𝑥)是奇函数 C. 𝑔(𝑥)在[ 𝜋 2 , 𝜋]上单调递减 D. 𝑔(𝑥)的图像关于点(− 𝜋 6 , 0)对称 . 的 试卷第 2 页，共 4 页 8．已知函数𝑓(𝑥) = log2(4 𝑥−1 + 1) − 𝑥，则不等式𝑓(3𝑥) < 𝑓(𝑥 + 3)的解集为（ ） A．(−∞, 3 2 ) B． 3 , 2   +    C．(− 1 4 , 3 2 ) D．(− 3 4 , 3 2 ) 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6分，部分选对的按比例给分，有选错的得 0分. 9.甲、乙两位射击爱好者，各射击 10 次，甲的环数从小到大排列为 4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的 环数小到大排列为 2，5，6，6，7，7，7，8，9，10．则（ ） A．甲的环数的 70%分位数是 7 B．甲的平均环数比乙的平均环数小 C．这 20 个数据的平均值为 6.6 D．甲的成绩比乙的成绩更稳定 10.己知 1 𝑎 < 1 𝑏 < 0，则下列不等关系中正确的是（ ） A．𝑏 < 𝑎 B．𝑙𝑛 | 𝑎| > 𝑙𝑛 | 𝑏| C． 3 3b a D． 𝑏 𝑎 < 1 11. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 1−𝑥 1+𝑥 ，则下列说法正确的是（ ） A. 𝑓(𝑥)是偶函数 B. 函数𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥与坐标轴有且仅有两个交点 C. 函数 ( ) ( )lng x f x= 的零点大于− 2 5 D. 函数ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑠𝑖𝑛 𝑥)有无数个零点 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 当𝑎＞0且𝑎 ≠ 1时，函数𝑓(𝑥) = 𝑎2−3𝑥 − 2过定点__________. 13. 在三棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴 ⊥平面𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴𝐵𝐶 = 90∘, 𝐴𝐵 = 1, 𝐵𝐶 = √5,𝑃𝐴 = 2，则三棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶的外接 球的表面积为 . 14. 记△ 𝐴𝐵𝐶的内角 , ,A B C的对边分别为𝑎, 𝑏, 𝑐，点𝐷为𝐵𝐶边三等分点（靠近 C）.若𝑎 = 3√3, 𝐴𝐷 = √3， ∠𝐵𝐴𝐶 = 2𝜋 3 ，则△ 𝐴𝐵𝐶的面积为__________. 试卷第 3 页，共 4 页 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知函数𝑓(𝑥) = sin ( 𝜋 2 + 𝜔𝑥) cos ( 𝜋 2 − 𝜑) + sin𝜔𝑥 cos𝜑 , (𝜔 > 0, |𝜑| < 𝜋 2 )的最小正周期为𝜋，且 𝑓(𝑥)图象关于直线𝑥 = 𝜋 6 对称. （1）求𝑓(𝑥)的解析式； （2）设函数𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 2 sin2 𝑥，求𝑔(𝑥)的单调增区间. 16．(15 分) 在△ 𝐴𝐵𝐶中，角 , ,A B C所对的边分别为𝑎, 𝑏, 𝑐，且满足.(sin𝐵 + 2 sin𝐶)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + sin𝐵 ⋅ 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 （1）求角 A； （2）若𝐷为𝐵𝐶的中点，且𝐴𝐷 = √3,△ 𝐵𝐴𝐶的角平分线交𝐵𝐶于点𝐸，且𝐴𝐸 = 1 3 ，求边长𝑎. 17. (15 分)法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的 作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解 某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 100 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进 行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中 a的值； (2)求样本每天阅读时间的第 75 百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)， [70,80)和[90,100]的年轻人中抽取 5 人，再从中任选 3 人进行调查，求其中恰好有 2 人每天阅读时间位于 试卷第 4 页，共 4 页 [70,80)的概率. 18．(17 分) 如图，在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中， //AB DC，∠𝐴𝐵𝐶 = 90∘，𝐴𝐵 = 2𝐷𝐶 = 2𝐵𝐶，𝐸为𝐴𝐵的中点，沿𝐷𝐸将 △ 𝐴𝐷𝐸折起，使得点𝐴到点𝑃的位置，且𝑃𝐸 ⊥ 𝐸𝐵，𝑀为𝑃𝐵的中点，𝑁是𝐵𝐶上的中点. (1)证明：平面𝐸𝑀𝑁 ⊥平面𝑃𝐵𝐶； (2)求二面角𝐵 − 𝐸𝑁 − 𝑀的正切值. 19. (17 分) 己知函数𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 𝑚 ⋅ 2𝑥 − 1, 𝑥 ∈ [−2,1]，m 为实数． (1)当𝑚 = 1时，求𝑓(𝑥)的值域； (2)设𝑔(𝑥) = 2 𝑥2+1 ，若对任意的 1 [ 2,1]x  − ，总存在𝑥2 ∈ [0,1]，使得成立𝑓(𝑥1) ≥ 𝑔(𝑥2)，求 m 的取值范围． 答案第 1 页，共 8 页 深圳技术大学附属中学高一下数学期末复习卷(四)—答案 一．单选题 1. 【答案】A【详解】由题意可得∁𝑈𝑁 = {2,4,8}，则𝑀 ∪ ∁𝑈𝑁 = {0,2,4,6,8}.故选：A. 2. 【答案】B【详解】因为 i 1 i = − +z ，所以 21 i i i 1 i i i z − + + = = = + ，所以 2 21 1 2z = + = ，选：B 3. 【答案】A【解析】【详解】如下图所示， 因为线段CD为 AB边上的中线，点E满足 2CE ED= ， 所以 ( ) 1 1 1 1 3 2 3 2 EB ED DB CD AB AD AC AB= + = + = − + 1 1 1 2 1 3 2 2 3 3 AB AC AB AB AC   = − + = −    ， 又因为 ,AB a AC b= = ，所以 2 1 3 3 EB a b= − .故选：A 4. 【答案】B【详解】因为 3 sin2 5  = ，所以 2 π 1 cos 2 π 1 sin 2 12 cos 4 2 2 5      + +  −   + = = =    .故选：B. 5. 【答案】A 【详解】A：由互斥事件和对立事件的关系可判断对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一 定是对立事件，故 A 正确； B：若 A，B是不可能事件，同时发生和恰有一个发生的概率都是零，相等，故 B 错误； C：由 ( ) ( ) 1P A P B+ = ，并不能得出 A与 B是对立事件， 举例说明：有 a，b，c，d四个小球，选中每个小球的概率是相同的，事件 A表示选中 a，b两球，则 ( ) 1 2 P A = ， 事件 B表示选中 b，c两球，则 ( ) 1 2 P B = ， ( ) ( ) 1P A P B + = ，但 A，B不是对立事件，错误； D：若 A，B是互斥事件，事件 A，B中至少有一个发生的概率等于 A，B中恰有一个发生的概率，故 D 错 误；故选：A 6. 【答案】A【详解】在 ABC 中，由正弦定理得： sin sin a c A C = ， 由余弦定理得： 2 2 2 cos 2 a b c C ab + − = ， 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − = ， 因为sin cos 2sin cosA C C A= ， 答案第 2 页，共 8 页 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a a c ab bc + − + −  =  ，即 ( )2 2 2 2 2 22a b c b c a+ − = + − ，即 2 2 2 3 b a c− = ， 又因为 2 2 3a c b− = ，所以 2 3 3 b b= ，因为 0b＞ ，所以 9b = .故选：A 7. 【答案】D【详解】因为函数 ( ) ( ) π 2sin 2 2 f x x     = +     ＜ 的图像关于直线 π 6 x = 对称， 所以 ( )Z2 π π π 6 2 k k+ + =  ，即 ( ) π π Z 6 k k = +  ， 又因为 π 2 ＜ ，所以当 0k = 时， π 6  = ，所以 ( ) π 2sin 2 6 f x x   = +    ， 因为将函数 ( )f x 的图像向左平移 π 12 个单位长度得到函数 ( )g x 的图像， 所以 ( ) π π π 2sin 2 2sin 2 12 6 3 g x x x      = + + = +          . 对于 A，因为 π π 2sin 2 2sin 3 2 π π 6 312 12 f     =  + = =          ，所以 ( )f x 的图像不关于直线 π 12 x = 对称， 故 A 错误；对于 B， ( )g x 定义域为R ， ( ) π π 2sin 2 2sin 2 3 3 g x x x     − = − + = − −        ， ( ) π 2sin 2 3 g x x   − = − +    ，显然 ( ) ( )g x g x−  − ，所以 ( )g x 不是奇函数，故 B 错误； 对于 C， π π 2 x  ，则 4π π 7π 2 3 3 3 x +  ，根据三角函数图像性质可知， ( )g x 在 π ,π 2       上不完全单调 递减，故 C 错误；对于 D， π π π 2sin 2 0 6 6 3 g      − =  − + =          ，所以 ( )g x 的图像关于点 π ,0 6   −    对称， 故 D 正确.故选：D 8.【答案】C【详解】解法 1：由函数 ( ) ( )12log 4 1xf x x−= + − ， 则不等式 ( ) ( )3 3f x f x + ，即为 ( ) ( ) ( )3 1 22 2log 4 1 3 log 4 1 3x xx x− ++ −  + − + ， 可得 ( ) ( )3 1 22 2log 4 1 log 4 1 2 3x x x− ++  + + − ，即 ( )3 1 2 2 34 1 4 1 2x x x− + −+  +  ， 令4 0x t=  ，则 ( ) 3 1 16 1 4 8 t t t+  + ，即 ( )( )28 2 1 0t t− −  ， 答案第 3 页，共 8 页 解得 2 8 2 t  ，即 2 4 8 2 x  ，解得 1 3 4 2 x−   ，所以不等式 ( ) ( )3 3f x f x + 的解集为 1 3 , 4 2   −    . 解法 2：由函数 ( ) ( )12log 4 1xf x x−= + − ，可得 ( ) ( ) ( )2 21 log 4 1 1 log 2 2 1x x xf x x −+ = + − − = + − ， 设 ( ) ( )2log 2 2 1x xg x −= + − ，则 ( ) ( ) ( )2log 2 2 1x xg x g x−− = + − = ，所以函数 ( )g x 为偶函数，即 ( )1y f x= + 为 偶函数，可得 ( )y f x= 关于 1x = 对称，且在 )1,+ 上单调递增， 所以不等式 ( ) ( )3 3f x f x + ，即为 3 1 3 1x x−  + − ，可得 2 29 6 1 4 4x x x x− +  + + ，即 28 10 3 0x x− −  ，解 得 1 3 4 2 x−   ，所以不等式 ( ) ( )3 3f x f x + 的解集为 1 3 , 4 2   −    .故选：C. 二．多选题 9．【答案】BCD 【详解】对于 A，因为10 70% 7 = ，所以甲的环数的 70%分位数是 7 8 7.5 2 + = ，故 A 错误； 对于 B， 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 6.5 10 x + + + + + + + + + = =甲 ， 2 5 6 6 7 7 7 8 9 10 6.7 10 x + + + + + + + + + = =乙 ，所以 x x甲 乙， 故 B 正确；对于 C，这 20 个数据的平均值?̄? = 6.5×10+6.7×10 20 = 6.6，故 C 正确； 对于D ,𝑠1 2 = 1 10 × [(4 − 6.5)2 + 2 × (5 − 6.5)2 + 2 × (6 − 6.5)2 + 2 × (7 − 6.5)2 + 2 × (8 − 6.5)2 + (9 − 6.5)2] = 2.25, 𝑠2 2 = 1 10 × [(2 − 6.7)2 + (5 − 6.7)2 + 2 × (6 − 6.7)2 + 3 × (7 − 6.7)2 + (8 − 6.7)2 + (9 − 6.7)2 + (10− 6.7)2] 4.41,= 𝑠1 2 < 𝑠2 2，故 D 正确．故选：BCD． 10. 【答案】AC 【详解】由 1 1 0 a b   得 0b a  ，则 A 正确； 由 0b a  ，得 | | | |a b ，则 ln | | ln | |a b ，B 错误； 由 0b a  ，结合 3y x= 在 R上单调递增，得 3 3b a ，C 正确； 由 0b a  ，得 1 b a  ，D 错误， 故选：AC 11．【答案】BD 【解析】【详解】因为 ( ) 1 ln 1 x f x x − = + ，所以 1 0 1 x x −  + ，即 ( )( )1 1 0x x+ −  ，解得 1 1x−   ， 即函数的定义域为 ( )1,1− ， 答案第 4 页，共 8 页 且 ( ) ( ) 1 1 1 1 ln ln ln 1 1 1 x x x f x f x x x x − + − −  − = = = − = −  − + +  ，故 ( )f x 为奇函数，故 A 错误； 又因为 ( )1 21 2 1 1 1 1 xx y x x x − + +− = = = − + + + 在 ( )1,1− 上单调递减， lny x= 在定义域上单调递增，所以 ( ) 1 ln 1 x f x x − = + 在定义域 ( )1,1− 上单调递减， 因为 cosy x= 在 ( )1,0− 单调递增，则 ( ) ( ) cosg x f x x= − 在 ( )1,0− 单调递减， 因为 1 1 ln3 cos 1 1 0 2 2 g   − = − − =    ＞ ， ( )0 1 0g = − ＜ ，所以存在唯一 0 1 ,0 2 x    −    ，使得 ( )0 0g x = ， 当0 1x＜ ＜ 时， ( ) 0f x ＜ ， cos 0y x= ＞ ，此时两函数无交点，即此时 ( ) ( ) cosg x f x x= − 与 x 轴无交点， 所以 ( ) ( ) cosg x f x x= − 与 x 轴有一个交点， 又因为 ( ) ( )0 0 cos0 1g f= − = − ，所以 ( )g x 与坐标轴有两个交点，故 B 正确； 令 ( ) ( )ln 0g x f x= = ，则 ( ) 1f x = ， 因为 ( ) 1 ln 1 x f x x − = + ，所以 2 1 2 75 ln ln ln e 1 25 3 1 5 f   − −     − = =  =    − ， 所以函数 ( ) ( )lng x f x= 的零点小于 2 5 − ，故 C 错误； 因为 ( )f x 在定义域 ( )1,1− 上单调递减，且 ( )0 0f = ，则令 ( ) ( )sin 0h x f x= = ， 即 sin 0x = ，解得 x k= ， Zk ，即函数 ( ) ( )sinh x f x= 有无数个零点，故 D 正确； 故选：BD 填空题 12. 【答案】 2 , 1 3   −    【详解】由题意，令2 3 0x− = ，得 2 3 x = ， 所以 02 2 1 2 1 3 f a   = − = − = −    ，所以函数 ( ) 2 3 2xf x a −= − 过定点 2 , 1 3   −    .故答案为： 2 , 1 3   −    13．【答案】10π【详解】由题意可知，可将该三棱锥在长方体 1 1 1ABCD PB C D− 中作出， 所以三棱锥 −P ABC 的外接球即为长方体 1 1 1ABCD PB C D− 的外接球， 答案第 5 页，共 8 页 PC 为外接球的直径，所以 1 5 4 10PC = + + = , 所以外接球的半径为 10 2 R = , 所以三棱锥 −P ABC 的外接球的表面积为 24π 10πR = ， 故答案为:10π . 14 【答案】 9 3 4 【解析】【详解】在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc BAC= + −  ， 即 2 2 27b c bc+ + = ，由点D为 BC 边三等分点（靠近 C），得 2 3, 3BD CD= = ， 在 ABD△ 中，由余弦定理得 2 2 2 215 cos 2 12 AD BD c c ADB AD BD + − −  = =  ， 在 ACD中，由余弦定理得 2 2 2 26 cos 2 6 AD CD b b ADC AD CD + − −  = =  ， 因为 πADB ADC + = ，所以cos cos 0ADB ADC +  = ， 即 2 215 6 0 12 6 c b− − + = ，所以 2 2 2 22 27b c b c bc+ = = + + ，所以 2b bc= ，所以b c= ， 则 2 2 3 27b c bc bc+ + = = ，所以 9bc = ， 所以 1 9 3 sin 2 4 ABCS bc BAC=  = .故答案为： 9 3 4 . 四．解答题 15. 【答案】（1） ( ) π sin 2 6 f x x   = +    （2） π π π, π , Z 6 3 k k k   − + +     【解析】【小问 1 详解】 ( ) π π sin cos sin cos 2 2 f x x x        = + − +        ( )cos sin sin cos sinx x x     = + = + ， 因为函数的最小正周期为 π，所以 2π π  = ，故 2 = ， 又因 ( )f x 图象关于直线 π 6 x = 对称，所以 π π π, Z 3 2 k k+ = +  ，则 π π, Z 6 k k = +  ， 又 π 2   ，所以 π 6  = ，所以 ( ) π sin 2 6 f x x   = +    ； 答案第 6 页，共 8 页 【小问 2 详解】由（1）得 ( ) 2 π sin 2 2sin 6 g x x x   = + +    3 1 1 cos2 sin 2 cos2 2 2 2 2 x x x − = + +  3 1 π sin 2 cos 2 1 sin 2 1 2 2 6   = − + = − +    x x x ， 令 π π π 2 π 2 2 π 2 6 2 k x k− +  −  + ，得 π π π π, Z 6 3 k x k k− +   +  ， 所以函数 ( )g x 的单调递增区间为 π π π, π , Z 6 3 k k k   − + +     . 16【答案】（1） 2π 3 A = （2） 2 33 3 a = 【解析】【小问 1 详解】 因为 ( )sin 2sin sin 0B C AB AC B BA BC+  +   = ，所以 ( )sin 2sin cos sin cos 0B C bc A B ac B+  +  = ， 因为 0c  ，所以 ( )sin 2sin cos sin cos 0B C b A B a B+  +  = ， 所以由正弦定理得 ( )sin 2sin sin cos sin sin cos 0B C B A B A B+  +  = ， 因为sin 0B  ，所以 ( )sin 2sin cos sin cos 0B C A A B+ + = ，所以 sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B+ + = ， 所以sin( ) 2sin cos 0A B C A+ + = ，所以sin 2sin cos 0C C A+ = ，所以sin 0C  ，所以 1 cos 2 A = − ， 因为 ( )0,πA ，所以 2π 3 A = ， 【小问 2 详解】因为 2π 3 A = ， BAC 的角平分线交BC 于点E，所以 π 3 BAE CAE = = ， 因为 ABE CAE ABCS S S+ = ，所以 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 AB AE BAE AE AC CAE AB AC BAC  +   =   ， 所以 1 π 1 π 2π sin sin sin 3 3 3 3 3 c b bc+ = ，所以 3b c bc+ = ， 因为D为 BC 的中点，且 3AD = ， 所以 1 ( ) 2 AD AB AC= + ，所以 2 2 2 21 1( ) ( 2 ) 4 4 AD AB AC AB AB AC AC= + = +  + ， 所以 2 21 2π3 ( 2 cos ) 4 3 c b bc= + + ，所以 2 2 12b c bc+ − = ， 所以 2( ) 3 12b c bc+ − = ，所以 2( ) ( ) 12 0b c b c+ − + − = ，解得 4b c+ = 或 3b c+ = - （舍去）， 所以 4 3 bc = 答案第 7 页，共 8 页 所以由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 4 442 cos ( ) 16 3 3 a b c bc A b c bc b c bc= + − = + + = + − = − = ，所以 2 33 3 a = 17 【答案】(1) 0.030a = (2)84 分钟(3) 3 5 【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为 1， 所以 ( )0.010 2 0.025 0.020 0.005 10 1a + + + +  = ，解得 0.030a = . （2）因为成绩落在 )40,80 内的频率为 ( )0.005 0.010 0.020 0.030 10 0.65+ + +  = ， 落在 )40,90 内的频率为 ( )0.005 0.010 0.020 0.030 0.025 10 0.9+ + + +  = ，所以第 75 百分位数落在 )80,90 . 设第 75 百分位数为 m，由 ( )0.65 80 0.025 0.75m+ −  = ，解得 84m = ，故第 75 百分位数为 84， 所以估计该地年轻人阅读时间的第 75 百分位数约为 84 分钟. （3）由题意，阅读时间位于[50,60)的人数为100 0.1 10 = ，阅读时间位于[70,80)的人数为100 0.3 30 = ， 阅读时间位于 90,100 的人数为100 0.1 10 = ，所以在这三组中按照分层抽样抽取 5 人的抽样比例为 5 1 50 10 = ， 则抽取的 5 人中位于区间[50,60)有 1 人，设为 a，位于区间[70,80)有 3 人，设为 1b ， 2b ， 3b ，位于区间[90,100) 有 1 人，设为 c .则从 5 人中任取 3 人，样本空间 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3Ω , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b b a b b a b c a b b a b c a b c b b b b b c b b c b b c= 共含有 10 个样本点.设事件 A为“恰有 2 人每天阅读时间在[70,80) ”， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , , , , , , , , ,A a b b a b b a b b b b c b b c b b c= ， ，含有 6 个样本点. 所以 6 3 ( ) 10 5 P A = = ，所以恰好有 2 人每天阅读时间位于[70,80)的概率为 3 5 . 18. 【答案】(1)证明见解析(2) 5 【详解】（1） E 为 AB中点， AE EB = ，即PE EB= ， 又M 为 PB中点， EM PB ⊥ ； //AB DC ， 1 2 CD BE AB= = ， 90ABC = ，四边形BCDE为矩形， DE AB⊥∴ ，即DE PE⊥ ，DE BE⊥ ， PE BE E= ， ,PE BE 平面 PBE ， DE ⊥平面 PBE ， 答案第 8 页，共 8 页 //DE BC ， BC ⊥平面 PBE ，又EM 平面 PBE ， EM BC ⊥ ， PB BC B= ， ,PB BC 平面PBC ， EM ⊥平面PBC ， EM 平面EMN ，平面EMN ⊥平面PBC . （2）由（1）知：BC ⊥平面 PBE ，又PE 平面 PBE ， PE BC ⊥ ， PE EB⊥ ， EB BC B= ， ,EB BC 平面BCDE， PE ⊥平面BCDE； 取EB中点F ，过F 作FG EN⊥ ，垂足为G ，连接 ,MF MG， ,M F 分别为 ,PB EB中点， //MF PE ， MF ⊥平面BCDE， EN 平面BCDE， MF EN ⊥ ，又FG EN⊥ ，MF FG F = ， ,MF FG平面MFG， EN ⊥平面MFG， MG 平面MFG， EN MG ⊥ ， MGF 即为二面角B EN M− − 的平面角， 2 2 1 52sin 51 4 BC BN FG NEB EN EF BC BC  = = = = + ， 5 5 5 10 FG EF BE = = ， 又 1 1 2 2 MF PE BE= = ， 1 2tan 5 5 10 BE MF MGF FG BE   = = = ， 19. 【答案】(1)[−3,− 3 4 ] (2)𝑚 ≥ 33 4 . 【详解】（1）当 1m = 时， ( ) 4 2 1, [ 2,1] x xf x x= − + −  − ， 令2 x t= ，因为 [ 2,1]x − ，则𝑡 ∈ [ 1 4 , 2]，所以𝑦 = −𝑡2 + 𝑡 − 1 = −(𝑡 − 1 2 ) 2 − 3 4 ，其中𝑡 ∈ [ 1 4 , 2]， 则𝑡 = 1 2 时，𝑦 3 4𝑚𝑎𝑥 ，𝑡 = 2时， min 3y = − ，即𝑦 ∈ [−3,− 3 4 ]，所以𝑓(𝑥)的值域为[−3,− 3 4 ] （2）因为𝑔(𝑥) = 2 𝑥2+1 ，其中 [0,1]x ，令 2 1u x= + ，则𝑢 ∈ [1,2]，且 2 y u = 在  1,2 上单调递减， 当 2u = 时， min 1y = ，所以 ( )min 1g x = ，因为对任意的 1 [ 2,1]x  − ，总存在 2 [0,1]x  ，使得成立 ( ) ( )1 2f x g x ， 则 ( ) ( )min min 1f x g x = ，所以 4 2 1 1 x xm− +  −  在 [ 2,1]x − 上恒成立， 令2 x t= ，因为𝑥 ∈ [−2,1]，则𝑡 ∈ [ 1 4 , 2]，即𝑦 = −𝑡2 +𝑚𝑡 − 2 ≥ 0在[ 1 4 , 2]上恒成立，即𝑚 ≥ 𝑡 + 2 𝑡 在[ 1 4 , 2]上 恒成立，而 2 y t t = + 在[ 1 4 , √2]为减函数，在[√2, 2]为增函数， 且𝑦| 𝑡= 1 4 = 33 4 ，𝑦|𝑡=2 = 3，故(𝑡 + 2 𝑡 ) 33 4 𝑚𝑎𝑥 ，故𝑚 ≥ 33 4 .