精品解析：山西省晋中市榆次区第二中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二年级测试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高一数学必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是 A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ） A. 160 B. 120 C. 80 D. 20 8. 在等差数列中，，则的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数在上的值域为 11. 如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥展开图中圆心角为 D. 若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 13. 已知复数z满足，则_______. 14. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角满足． （1）求、的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 16. 已知幂函数的图像过点，． （1）求的解析式； （2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围． 17. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 18. 已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级测试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高一数学必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：C. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在原理，结合函数的单调性逐一判断即可 【详解】易知函数的定义域为全体正实数集， 由函数的单调性的性质可以判断该函数是正实数集上的增函数， ， 显然，因此函数的零点所在的区间是， 故选：C 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由，得，即，也即. 所以，解得， 所以该不等式的解集为. 故选：C. 5. 已知，则的值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ．故选B． 6. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立，可得判别式，即可求得答案. 【详解】因为不等式对恒成立，所以，解得． 故选：C． 7. 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ） A. 160 B. 120 C. 80 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式通项，再由二项式系数的性质确定最大系数对应项，即可求项的系数. 【详解】展开式的通项为， 由于二项式共有7项，故第四项的二项式系数最大，即， 所以二项式系数最大的项的系数为. 8. 在等差数列中，，则的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，又因为， 所以， 所以，即， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数在上的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象可得，根据周期可求出，结合图象过点求出，即可判断A，B； 根据三角函数的奇偶性即可判断C；根据余弦函数的性质即可判断D. 【详解】由图可知，故A正确； ，又， 所以，所以，故B正确； 则， 又，所以， 所以， 又，所以， 所以， 对于C，，为非奇非偶函数，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以函数在上的值域为，故D错误 故选：AB. 11. 如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥展开图中圆心角为 D. 若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径r、母线长l和高h，利用圆锥体积公式及侧面积公式可判断A、B；利用弧长公式求出侧面展开图中圆心角判断C；把侧面沿展开，利用余弦定理计算即可判断D． 【详解】选项A：由题意可知，圆锥底面半径，母线长， 则圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确； 选项B：圆锥的侧面积，故B错误； 选项C：圆锥底面周长为， 设侧面展开图的圆心角为α， 则，即，解得，故C正确； 选项D：将圆锥侧面沿母线展开，如图所示， 最短距离为， 因为为底面直径，所以点为弧的中点， 则， 在中，，，， 由余弦定理得， 解得， 即最短距离为，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 且当时，， 所以. 故答案为：. 13. 已知复数z满足，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】复数z满足，则有， 所以. 14. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由恒过定点得出的值，再根据“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】令，得，所以， 所以，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角满足． （1）求、的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可求得、的值； （2）求出的值，根据已知条件可得出，结合诱导公式可得出的值，再利用诱导公式以及弦化切可得出所求代数式的值. 【小问1详解】 因为为锐角，所以，， 由已知条件可得，解得. 【小问2详解】 因为角的终边与角的终边关于轴对称，则， 由（1）可知， 所以， 所以. 16. 已知幂函数的图像过点，． （1）求的解析式； （2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出解析式； （2）求出的值域和的值域，根据题目条件得到，得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 设，将点代入，得，解得， . 【小问2详解】 由（1），，则，即， 又在上单调递减， ，即， 因为是的必要条件，所以， ，解得. 所以实数的取值范围为. 17. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，利用线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在正三棱柱中，连接与交于点，连接DE， 由四边形是矩形，得点是的中点，又点是AC的中点， 则，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接DF，在等边中，点为AC的中点，则， 以点为原点，直线DB，DC，DF分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，则， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）. 【答案】解（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由是面积为的等边三角形，结合性质 ，列出关于 、 的方程组，求出 、，即可得结果;（2）先证明直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用弦长公式可得 ，化简得.原点到直线的距离为，的面积，当最大时，的面积最大.由，利用二次函数的性质可得结果. 【详解】（1）由是面积为的等边三角形，得， 所以，，从而， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意. 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得， 所以有，， 则 ， 即，化简得. 因为，所以有且. 原点到直线的距离为，的面积， 所以当最大时，的面积最大. 因为，而， 所以当时，取最大值为3，面积的最大值. 把代入，得，所以有， 即直线的方程为或. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $