第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若a＞b，则下列结论正确的是(　　) A.ac2＞bc2 B.a2＞b2 C.|a|＞|b| D.a＋c＞b＋c 2.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A＜B或A＞B D.A＞B 3.已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是(　　) A. B.C. D. 5.下列说法正确的是(　　) A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd B.若＞，则a＜b C.若b＞c，则|a|b≥|a|c D.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d 6.下列不等式中，正确的是(　　) A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2 7.不等式≥0的解集为(　　) A.{x|－6≤x≤1} B.{x|x≥1或x≤－6} C.{x|－6≤x＜1} D.{x|x＞1或x≤－6} 8.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A.{x|10≤x<16} B.{x|12≤x<18} C.{x|15<x<20} D.{x|10≤x<20} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.若x＞y＞0，则下列不等式成立的是(　　) A.x2＞y2 B.－x＞－y C.＜ D.＜ 10.已知实数a，b，下列不等式一定正确的有(　　) A.≥ B.a＋≥2 C.≥2 D.2(a2＋b2)≥(a＋b)2 11.若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　) A.ab有最大值 B.＋有最小值 C.＋有最小值4 D.a2＋b2有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12.如果a＞b，ab＜0，那么与的大小关系是________ 13.已知a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为________ 14.若不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝　　　　；不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为　　　　Ｗ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）设a＞0，b＞0，比较＋ 与 ＋的大小． 16.（16分）已知关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}． (1)求a，b的值； (2)若c∈R，解关于x的不等式ax2－(ac＋b－1)x＋(b－1)c＜0． 17.（16分）已知关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0． (1)当a＝2时，求不等式的解集； (2)当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集． 18.（16分）如图所示，要设计一张矩形广告，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌最省料？ 19.(16分)已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0，k≠0． (1)若不等式的解集为，求k的值； (2)若不等式的解集为R，求k的取值范围． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D　解析：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；对于B，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，B错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，C错误；对于D，由于a＞b，所以a＋c＞b＋c，D正确．故选D． 2.B　解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋b2≥0，所以A≥B． 3.A　解析：由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件；由a2＞36，得a＞6或a＜－6，所以“a＞6”不是“a2＞36”的必要条件，故“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件．故选A． 4.D　解析：由题中x不低于95，即x≥95；y高于380，即y＞380；z超过45，即z＞45． 5.C　解析：A项，a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项，不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项，|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项，同向不等式不能相减． 6.D　解析：若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确． 7.C 解析：不等式≥0等价于解得－6≤x＜1．故解集为{x|－6≤x＜1} 8.C　解析：设这批台灯的销售单价为x元，则[30－(x－15)×2]x>400， 即x2－30x＋200<0，∴10<x<20，又∵x>15，∴15<x<20．故选C． 二、选择题 9.AC　解析：对于A，当x＞y＞0时，x2＞y2，A成立；对于B，当x＞y＞0时，－x＜－y，B不成立；对于C，当x＞y＞0时，＞，即＜，C成立；对于D，－＝＝，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴－＞0，即＞，D不成立．故选AC． 10.CD　 解析：当a＜0，b＜0时，≥不成立；当a＜0，时，a＋≥2不成立；因为≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD． 11.AC　解析：∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，∴ab有最大值，∴A正确；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋(a＋b)＝2，∴0<＋≤，∴B错误；＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，∴C正确；∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，且ab≤， ∴a2＋b2≥1－2×＝，∴a2＋b2的最小值是，∴D错误．故选AC． 三、填空题 12.答案：＞　 解析：－＝＞0，所以＞． 13.答案：2　 解析：∵a＞0，b＞0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2，当且仅当＝且b＝， 即a＝b＝时取等号，∴＋＋b的最小值为2． 14.答案：－3, 解析：根据题意，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，则有(－1)＋2＝－a，(－1)×2＝b，解得a＝－1，b＝－2．故a＋b＝－3．bx2＋ax＋1＜0⇒－2x2－x＋1＜0⇒2x2＋x－1＞0，解得x＜－1或x＞，即不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为． 四、解答题 15.解：因为a＞0，b＞0，所以＋＝＋． 根据均值不等式可得＋≥2，① ＋≥2，② 当且仅当a＝b时，取等号． 由①＋②，得＋＋ ＋≥2（ ＋），即＋≥ ＋． 16.解：(1)关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}， 即方程ax2－x－b＝0的根为2，－1， ∴解得a＝1，b＝2． (2)由(1)得关于x的不等式x2－(c＋1)x＋c＜0，即(x－1)(x－c)＜0， 当c＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜c}； 当c＝1时，不等式的解集为； 当c＜1时，不等式的解集为{x|c＜x＜1}． 17.解：(1)当a＝2时，不等式为(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4， 所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}． (2)因为a∈R，a≠0且a≠1， 当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a2＜x＜a； 当a＜0或a＞1时，a＜a2，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a＜x＜a2． 综上所述，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}． 18.解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9 000．① 广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm，其中a＞0，b＞0． 广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2＝18 500＋2＝24 500． 当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75． 即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500 cm2． 故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌最省料． 19.解：(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为，所以－和1是方程2kx2＋kx－＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－×1＝，得k＝． (2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，k≠0，所以解得－3<k<0，故k的取值范围为{k|－3<k<0}． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$