2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学四模试卷

2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学四模试卷 一.选择题（共38分，1-6每题3分，7-16每题2分.） 1．（3分）下列代数式表示“a的3倍与7的差”的是（　　） A．3（a﹣7） B．3（7﹣a） C．7﹣3a D．3a﹣7 2．（3分）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）化学实验室的试管架上放有4支完全相同的试管，试管中分别装有等量的4种无色无味的溶液，其中1支装有酸溶液，2支装有盐溶液，1支装有碱溶液．若从中随机选取1支试管，则该支试管中装有盐溶液的概率为（　　） A． B． C． D．1 4．（3分）如图1是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体，变成图2所示的几何体，则移动前后（　　） A．主视图改变，俯视图改变 B．主视图不变，俯视图改变 C．主视图不变，俯视图不变 D．主视图改变，俯视图不变 5．（3分）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7×103m/s，则中国空间站绕地球运行2×103s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A．15.4×105 B．1.54×104 C．15.4×106 D．1.54×107 6．（3分）若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（　　） A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442 7．（2分）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（　　） A．2 B． C． D． 8．（2分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　） A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 9．（2分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A 10．（2分）如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹角为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 11．（2分）如图，AB＝3，AD＝2，BC＝1，CD＝5，则线段BD的长度可能是（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 12．（2分）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（　　） A．44 B．55 C．66 D．77 13．（2分）如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（　　） A．甲是矩形 B．乙是矩形 C．甲、乙均是矩形 D．甲、乙都不是矩形 14．（2分）如图，边长相等的正六边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是4，那么非阴影部分面积是（　　） A．8 B． C．4 D． 15．（2分）如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发，沿着 A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图②所示，则AB的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 16．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞2 二.填空题（共11分.17题3分，18题，19题每空2分） 17．（3分）若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为 　 　． 18．（4分）已知M＝a2﹣2a． （1）把M分解因式，结果是 　 　． （2）若，则M的值为 　 　． 19．（4分）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b． （1）tan∠ADE＝　 　； （2）若b＝3，则a＝　 　． 三.解答题（共71分） 20．（8分）设三个有理数2，﹣5，的和为W． （1）当a＝﹣6时，求W的值； （2）若W不大于﹣2，求a的负整数解． 21．（9分）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙． （1）①用含m的代数式表示S甲＝　 　，S乙＝　 　． ②用“＜”、“＝”或“＞”号填空S甲　 　S乙． （2）若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为S正． ①该正方形的边长是 　 　．（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现，“S正与S乙的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 22．（9分）某学校为了解学生的体能情况，组织了体育测试，测试项目有A“立定跳远”、B“掷实心球”、C“耐久跑”、D“快速跑”四个．规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项在C、D中随机抽取，每项10分，满分30分． （1）请用树状图或列表法，求出甲、乙两同学测试的三个项目完全相同的概率： （2）据统计，九（1）班有8名女生抽到了C“耐久跑”项目，她们的成绩如下： 7，6，8，9，10，5，8，7 ①这组成绩的中位数是 　 　，平均数是 　 　； ②该班女生丙因病错过了测试，补测抽到了C“耐久跑”项目，加上丙同学的成绩后，发现这组成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“耐久跑”的成绩为 　 　． 23．（10分）如图1是嘉嘉做“探究拉力F与斜面高度h的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为0.1m，两个相同弹簧测力计分别拉着质量不同的木块，图2是电脑软件显示的拉力F与斜面高度h的关系图象． （1）分别求AC和BC段的函数关系式； （2）当两个弹簧测力计的拉力相差0.4N时，求斜面h的高度． 24．（11分） 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，⊙O是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过 时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切．已知：AB＝16km，粒子注入路径与AB夹角α＝53°，所对的圆心角是60°． （1）求∠ABE的度数； （2）通过计算，比较与AB的长度哪个更长； （3）直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到AB的最远距离．（相关数据：tan37°≈） 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）． （1）求c，b（可用含t的代数式表示）； （2）当t＞1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； （3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 26．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，，点D为BC边上的动点．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长； （3）点D从点B运动到点C的过程中， ①直接写出AF的最小值； ②直接写出点F的运动路径的长． 2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学四模试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共38分，1-6每题3分，7-16每题2分.） 1．（3分）下列代数式表示“a的3倍与7的差”的是（　　） A．3（a﹣7） B．3（7﹣a） C．7﹣3a D．3a﹣7 【分析】根据差与倍数关系得出代数式解答即可． 【解答】解：a的3倍与7的差，表示为：3a﹣7． 故选：D． 【点评】本题考查列代数式问题，解题的关键是根据差与倍数关系得出代数式． 2．（3分）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝． 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（3分）化学实验室的试管架上放有4支完全相同的试管，试管中分别装有等量的4种无色无味的溶液，其中1支装有酸溶液，2支装有盐溶液，1支装有碱溶液．若从中随机选取1支试管，则该支试管中装有盐溶液的概率为（　　） A． B． C． D．1 【分析】根据题意可知：用盐溶液的支数除以总支数，即可得到该支试管中装有盐溶液的概率． 【解答】解：由题意可得， 从中随机选取1支试管，则该支试管中装有盐溶液的概率为＝＝， 故选：A． 【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 4．（3分）如图1是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体，变成图2所示的几何体，则移动前后（　　） A．主视图改变，俯视图改变 B．主视图不变，俯视图改变 C．主视图不变，俯视图不变 D．主视图改变，俯视图不变 【分析】分别得到将正方体变化前后的三视图，依此即可作出判断． 【解答】解：正方体移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体移走后的主视图正方形的个数为1，2，1；不发生改变． 正方体移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体移走后的左视图正方形的个数为2，1；发生改变． 正方体移走前的俯视图正方形的个数为3，1，1；正方体移走后的俯视图正方形的个数为：2，1，2；发生改变． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键． 5．（3分）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7×103m/s，则中国空间站绕地球运行2×103s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A．15.4×105 B．1.54×104 C．15.4×106 D．1.54×107 【分析】根据路程＝速度×时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可． 【解答】解：7.7×103×2×103 ＝（7.7×2）×（103×103） ＝15.4×106 ＝1.54×107（米）． 故选：D． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握am•an＝am+n是解题的关键． 6．（3分）若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（　　） A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442 【分析】根据实数的运算法则进行计算可得答案． 【解答】解：∵取1.442， ∴原式＝×（1﹣3﹣98） ≈1.442×（﹣100） ＝﹣144.2． 故选：B． 【点评】此题考查的是实数的运算，掌握其概念是解决此题的关键． 7．（2分）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（　　） A．2 B． C． D． 【分析】连接AE，根据题意可得：AE∥BC，AD＝DE＝5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，从而可得∠DOC＝∠DCO，进而可得DO＝DC＝3，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：连接AE， 由题意得： AE∥BC，AD＝＝5，DE＝5， ∴AD＝DE＝5， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO， ∴∠DOC＝∠DCO， ∴DO＝DC＝3， ∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　） A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 【分析】根据方向角的定义即可求得∠M＝70°，∠N＝40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解． 【解答】解：MN＝2×40＝80（海里）， ∵∠M＝70°，∠N＝40°， ∴∠NPM＝180°﹣∠M﹣∠N＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∴∠NPM＝∠M， ∴NP＝MN＝80（海里）． 故选：D． 【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键． 9．（2分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A 【分析】根据函数图象可设I＝，再将（4，9）代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 【解答】解：设I＝， ∵图象过（4，9）， ∴k＝36， ∴I＝， ∴蓄电池的电压是36V． ∴A，B均错误； 当I＝10时，R＝3.6， 由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω， ∴C正确，符合题意； 当R＝6时，I＝6， ∴D错误， 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． 10．（2分）如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹角为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】延长AD与BC交于点E，根据等边三角形和等腰直角三角形性质得∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAD＝45°，进而得∠BAD＝105°，然后根据三角形内角和定理求出∠E即可． 【解答】解：延长AD与BC交于点E，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， 又∵△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD， ∴∠CAD＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+45°＝105°， ∴∠E＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝180°﹣（60°+105°）＝15°． 即直线BC与直线AD的夹角为15°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了据等边三角形和等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 11．（2分）如图，AB＝3，AD＝2，BC＝1，CD＝5，则线段BD的长度可能是（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【分析】根据三角形三边关系列不等式，求公共解集． 【解答】解：根据三角形三边关系可得： 在△ABD中，3﹣2＜BD＜3+2， ∴1＜BD＜5， 在△BCD中，5﹣1＜BD＜5+1， ∴4＜BD＜6， ∴4＜BD＜5． 四个选项中，只有4.5在这个范围内． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系的知识、一元一次不等式的知识，难度不大． 12．（2分）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（　　） A．44 B．55 C．66 D．77 【分析】先将原式变形为，根据44＝22×11，55＝11×5，66＝2×3×11，可知44，55，66是11×23×3×53的因子，可使结果为整数；而77＝7×11，不是11×23×3×53的因子，不可使结果为整数，即可得出结果． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝， A、当n＝44时，44＝22×11，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项A不符合题意； B、当n＝55时，55＝11×5，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项B不符合题意； C、当n＝66时，66＝2×3×11，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项C不符合题意； D、当n＝77时，77＝7×11，不是11×23×3×53的因子，不可使结果为整数，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键． 13．（2分）如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（　　） A．甲是矩形 B．乙是矩形 C．甲、乙均是矩形 D．甲、乙都不是矩形 【分析】根据矩形的判定定理对甲、乙进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记AC、BD的交点为O， 由图可知，OA＝OD，OB＝OC，OA、OB的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 14．（2分）如图，边长相等的正六边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是4，那么非阴影部分面积是（　　） A．8 B． C．4 D． 【分析】根据正方形的面积求出正方形的边长，即正六边形的边长，由正六边形的性质以及面积的计算方法求出正六边形的面积即可． 【解答】解：∵阴影正方形面积是4， ∴正方形的边长为2， 即正六边形的边长为2， ∴正六边形的面积为×2×（×2）×6＝6， ∴非阴影部分面积是6﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质是正确解答的关键． 15．（2分）如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发，沿着 A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图②所示，则AB的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 【分析】当点P运动到点D处时，四边形CEPF的面积为y＝2，证明出四边形CEPF为正方形，求出DE，再求出AD即可解答此题． 【解答】解：当点P运动到点D处时，如图， ∴四边形CEPF的面积为y＝2， ∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEPF为矩形， ∵AC＝BA， ∴∠ACD＝∠BCD，AD＝BD， ∴DE＝DF， ∴矩形DECF为正方形， ∴DE2＝2， ∴DE＝， ∵∠A＝45°， ∴AD＝DE＝2， ∴AB＝4， 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． 16．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞2 【分析】根据已知条件列不等式即可得到结论． 【解答】解：∵a＜0， ∴y＝﹣3a＞0， ∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2， ∴4am2﹣8am＞﹣3a， ∴4m2﹣8m+3＜0， ∴＜m＜①， ∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点． ∴am2﹣4am＞4am2﹣8am， ∴3am2＜4am， ∵a＜0，m＞0， ∴am＜0， ∴m＞②， 由①②得＜m＜． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确地列出不等式是解题的关键． 二.填空题（共11分.17题3分，18题，19题每空2分） 17．（3分）若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为 　﹣3　． 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案． 【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p， ∴﹣2﹣1+0＝p， 解得：p＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．（4分）已知M＝a2﹣2a． （1）把M分解因式，结果是 　a（a﹣2）　． （2）若，则M的值为 　6　． 【分析】（1）利用提公因式法分解； （2）把a的值代入到分解后的式子里，利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）M＝a2﹣2a＝a（a﹣2）． 故答案为：a（a﹣2）． （2）当时， M＝a（a﹣2） ＝（+1）（+1﹣2） ＝（+1）（﹣1） ＝7﹣1 ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了整式的因式分解及应用，掌握提公因式法、乘法的平方差公式是解决本题的关键． 19．（4分）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b． （1）tan∠ADE＝　2　； （2）若b＝3，则a＝　+1　． 【分析】（1）根据正多边形和圆的对称性，正六边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）根据勾股定理求出圆的半径OA，再利用圆的半径与正六边形的边长之间的关系得出OC，建立方差求解即可．边角 【解答】解：（1）如图，连接AD交MN于点O，由对称性可知，点O即为圆心，连接AE，则AE过点N，且AE⊥DE，过点P作PQ⊥AE，垂足为Q， 在Rt△APQ中，，AP＝a， ∴AQ＝AP＝a， ∴AE＝4AQ＝2a， 在Rt△ADE中， tan∠ADE＝＝＝2， 故答案为：2； （2）如图，在Rt△AON中，AN＝a，ON＝a， ∴OA＝＝a， ∵OC＝OM+MC＝a+2b， ∵OA＝OC， ∴a＝a+2b， 即a＝a+6， 解得a＝+1． 故答案为：+1． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及正六边形边长与圆半径之间的关系是正确解答的关键． 三.解答题（共71分） 20．（8分）设三个有理数2，﹣5，的和为W． （1）当a＝﹣6时，求W的值； （2）若W不大于﹣2，求a的负整数解． 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可； （2）根据题意列出式子，然后求解不等式即可． 【解答】解：（1）当a＝﹣6时， W＝2﹣5﹣＝2﹣5+2＝﹣1． （2）∵， 当W不大于﹣2时， ． 解得a≥﹣3． a的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1． 【点评】本题考查有理数的混合运算及解不等式，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． 21．（9分）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙． （1）①用含m的代数式表示S甲＝　m2+10m+16　，S乙＝　m2+10m+24　． ②用“＜”、“＝”或“＞”号填空S甲　＜　S乙． （2）若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为S正． ①该正方形的边长是 　m+5　．（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现，“S正与S乙的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【分析】（1）①根据矩形的面积公式计算即可； ②根据作差法比较大小即可求解； （2）①根据矩形和正方形的周长公式即可得到结论； ②根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）①S甲＝（m+8）（m+2）＝m2+10m+16， S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24． 故答案为：m2+10m+16，m2+10m+24； ②∵S甲﹣S乙＝m2+10m+16﹣（m2+10m+24）＝﹣8， ∴S甲＜S乙． 故答案为：＜； （2）①该正方形的边长是2（m+6+m+4）÷4＝m+5． 故答案为：m+5； ②正确． ∵S正﹣S乙＝（m+5）2﹣（m2+10m+24）＝m2+10m+25﹣m2﹣10m﹣24＝1， ∴小方同学的发现正确． 【点评】本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式、矩形的性质、正方形的性质等知识． 22．（9分）某学校为了解学生的体能情况，组织了体育测试，测试项目有A“立定跳远”、B“掷实心球”、C“耐久跑”、D“快速跑”四个．规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项在C、D中随机抽取，每项10分，满分30分． （1）请用树状图或列表法，求出甲、乙两同学测试的三个项目完全相同的概率： （2）据统计，九（1）班有8名女生抽到了C“耐久跑”项目，她们的成绩如下： 7，6，8，9，10，5，8，7 ①这组成绩的中位数是 　7.5　，平均数是 　7.5　； ②该班女生丙因病错过了测试，补测抽到了C“耐久跑”项目，加上丙同学的成绩后，发现这组成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“耐久跑”的成绩为 　8　． 【分析】（1）找出抽取结果共有种数，以及其中抽到项目完全相同结果的种数，即可求出所求概率； （2）①根据题意确定出这组数据的平均数与中位数即可； ②根据众数、中位数、平均数的定义即可得到结论 【解答】解：（1）列表如下， C D C （C，C） （D，C） D （C，C） （D，D） 由图中可知抽取结果共有4种，其中甲、乙两同学测试的项目完全相同的结果有2种， 则P（三个项目完全相同的概率）＝＝； （2）①重新排列为5，6，7，7，8，8，9，10， 根据题意得：中位数是＝7.5，平均数＝×（7+6+8+9+10+5+8+7）＝7.5； 故答案为：7.5，7.5； ②设丙同学“耐久跑”的成绩为x，则这组成绩为：5，6，7，7，x，8，8，9，10， ∵这组成绩的众数与中位数相等， ∴x为7或8， ∵平均数比①中的平均数大，即x＞7.5， ∴x＝8， 故答案为：8． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，中位数，以及众数，概率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（10分）如图1是嘉嘉做“探究拉力F与斜面高度h的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为0.1m，两个相同弹簧测力计分别拉着质量不同的木块，图2是电脑软件显示的拉力F与斜面高度h的关系图象． （1）分别求AC和BC段的函数关系式； （2）当两个弹簧测力计的拉力相差0.4N时，求斜面h的高度． 【分析】（1）先设AC和BC段的函数关系式，然后用待定系数法求出来，结合图象意义进行说明点C的意义即可； （2）根据题意进行列式|5h+1.5﹣10h|＝0.4解得斜面h的高度即可． 【解答】解：（1）由图可知，点A（0.1，1），C（0.3，3）， 设AC段的函数关系式为F1＝kh+d（k≠0）， 则， 解得， ∴AC段的函数关系式为F1＝10h； 由图可知B（0.1，2）和C（0.3，3），设BC段的函数关系式为F2＝ah+b（a≠0）， 则， 解得， ∴BC段的函数关系式为F2＝5h+1.5； （2）当两个弹簧测力计的拉力相差0.4N时， 得：|5h+1.5﹣10h|＝0.4， 即5h+1.5﹣10h＝0.4或10h﹣5h﹣1.5＝0.4， 解得h＝0.22或h＝0.38， ∴当两个弹簧测力计的拉力相差0.4N时，斜面h为的高度为0.22m或0.38m． 【点评】本题主要考查的是一次函数的应用正确掌握图象信息是解题的关键． 24．（11分） 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，⊙O是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过 时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切．已知：AB＝16km，粒子注入路径与AB夹角α＝53°，所对的圆心角是60°． （1）求∠ABE的度数； （2）通过计算，比较与AB的长度哪个更长； （3）直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到AB的最远距离．（相关数据：tan37°≈） 【分析】（1）如图，延长AF，BE交于G，根据切线长定理和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据弧长公式求出的长，再进行比较即可； （3）如图，当粒子J运动到P点时，离AB的距离最远，根据切线的性质得到∠FAO＝90°，再根据垂径定理和三角函数得出AO的长，进而解答即可； 【解答】解：（1）如图，延长AF，BE交于G， 由题意得，AF，BE是⊙O的切线， ∴AG＝BG， ∴∠ABE＝∠FAB＝α＝53°； （2）AB的长度更长， ∵所对的圆心角为60°，OC＝OA＝10（km）， ∴的长度约为＝π≈10.5（km）， ∵10.5＜16， ∴AB的长度更长； （3）如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交⊙O于点P，连接AO，BO， ∵AF是⊙O的切线， ∴∠FAO＝90°， ∵α＝53°， ∴∠EAO＝90°﹣53°＝37°， ∵ABs⊙O的弦，OE是弦心距，OE⊥AB，AB＝16（km）， ∴AE＝BE＝AB＝8km，∠AEO＝90°， ∴tan∠EAO＝＝tan37°≈， ∴OE≈AE＝×8＝6（km）， ∴AO＝＝10（km）， 如图，当粒子J运动到P点时，离AB的距离最远， ∴EP＝OE+OP＝6+10＝16（km）， 即粒子J到AB的最远距离是16km． 【点评】本题是圆的综合题，考查切线的性质和三角函数，弧长公式，正确作出辅助线是解题关键． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）． （1）求c，b（可用含t的代数式表示）； （2）当t＞1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； （3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 【分析】（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b； （2）当x＝1时，y＝1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数； （3）根据图形，即可直接求得答案． 【解答】解：（1）把x＝0，y＝0代入y＝x2+bx+c，得c＝0， 再把x＝t，y＝0代入y＝x2+bx，得t2+bt＝0， ∵t＞0， ∴b＝﹣t； （2）不变． ∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣tx，且M的横坐标为1， ∴当x＝1时，y＝1﹣t， ∴M（1，1﹣t）， ∴AM＝|1﹣t|＝t﹣1， ∵OP＝t， ∴AP＝t﹣1， ∴AM＝AP， ∵∠PAM＝90°， ∴∠AMP＝45°； （3）＜t＜． ①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有﹣4＜y2＜﹣3，﹣2＜y3＜﹣1即﹣4＜4﹣2t＜﹣3，﹣2＜9﹣3t＜﹣1，＜t＜4且＜t＜，解得＜t＜； ③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t的取值范围是：＜t＜． 【点评】此题考查了二次函数与点的关系，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用． 26．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，，点D为BC边上的动点．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长； （3）点D从点B运动到点C的过程中， ①直接写出AF的最小值； ②直接写出点F的运动路径的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，由外角的性质可得∠BAD＝∠CDE，可证△BAD∽△DCE； （2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出，可得DB的长，由DE∥AB，推出，求出AE即可； （3）①通过证明△AFN∽△ADM，可得＝＝tan∠ADF＝tanB＝，可求AN＝9，则点F在过点H且垂直BC的直线上，当AF⊥NH时，即点F与点N重合时，AF有最小值，即可求解； ②利用点D的特殊位置，找到点F的运动轨迹，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△BAD∽△DCE． （2）解：如图2中，作AM⊥BC于M． 在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tanB＝4k×＝3k， 由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2， ∴202＝（3k）2+（4k）2， ∴k＝4或﹣4（舍弃）， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BC＝2BM＝2•4k＝32， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴DB＝＝＝， ∵DE∥AB， ∴， ∴AE＝＝＝； （3）解：①作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°， ∴四边形AMHN为矩形， ∴∠MAN＝90°，MH＝AN， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∵AB＝20，tanB＝ ∴BM＝CM＝16， ∴BC＝32， 在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12， ∵AN⊥FH，AM⊥BC， ∴∠ANF＝90°＝∠AMD， ∵∠DAF＝90°＝∠MAN， ∴∠NAF＝∠MAD， ∴△AFN∽△ADM， ∴＝＝tan∠ADF＝tanB＝， ∴AN＝AM＝×12＝9＝MH， ∴点F在过点H且垂直BC的直线上， ∴当AF⊥NH时，即点F与点N重合时，AF有最小值， ∴AF的最小值为9； ②如图4， ∵点D为BC边上的动点， ∴当点D与点B重合时，则点F与点H重合， ∵AB＝20，tanB＝＝， ∴AH＝15， 当点D'与点C重合时，同理可求AF'＝15， ∴AH＝AF'＝15， ∵AN⊥HF'， ∴NH＝NF'＝12， ∴F'H＝24， ∴点F的运动路径的长为24． 【点评】本题是相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$