精品解析：山东省临沂市莒南县2023-2024学年高一下学期期中学业质量检测数学试题

2023-2024学年度第二学期期中学业质量检测 高一数学试题 一､单选题（本题每小题5分共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由差角公式计算即可. 【详解】. 故选：D 2. 下列几个命题，其中正确的命题的个数有（ ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的共轭复数的定义判断命题（1），根据实部和虚部的定义判断命题（2），根据复数的几何意义判断（3），根据复数的定义判断（4）. 【详解】因为复数的共轭复数， 若为实数，则，此时，命题（1）正确， 复数的实部为，虚部为， 复数的虚部是实数，（2）错误； 因为复数在复平面上的对应点为， 复平面上的点对应复数，（3）正确； 复数不能比较大小，命题（4）错误， 故选：C. 3. 若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算，利用模长公式得出向量与的夹角. 【详解】， 即，解得. 因为，所以. 即向量与的夹角为. 故选：A 4. 已知复数满足，则复数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的四则运算计算，再计算模长. 【详解】，则， 则. 故选：B 5. 已知，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为， 所以向量在向量方向上的投影向量是. 故选：C 6. 的最大值是的图象与轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求出的值，利用结合的取值范围可求得的值，由题意求出函数的最小正周期，可求出的值. 【详解】因为 且，函数的最大值为，可得， 所以，， 因为，则， 因为，则，所以，，则， 因为函数的相邻两个对称中心的距离为2， 则该函数的最小正周期为， 故， 即. 故选：A 7. 如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（ ） A. 7 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解. 【详解】因为是BC中点， ， 因为M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点， ， 同理可得， . 故选：D. 8. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值，即可得出合适的选项. 【详解】因为是顶角为的等腰三角形，所以，， 则，， 而，所以，. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题. 二､多选题（本题本题每小题6分共18分） 9. 已知复数为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第一象限 C. D. 若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可. 【详解】对于A：，所以的虚部为，A错误； 对于B：对应的点为，位于第一象限，所以B正确； 对于C：，所以，C正确； 对于D：在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点， 所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，D正确， 故选：BCD 10. 已知，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简解析式，由定义判断A；由周期公式判断B；由性质判断CD. 【详解】， 对于A：，即是奇函数，故A正确； 对于B：的最小正周期是，故B错误； 对于C：令，当时，图象的对称中心是，故C正确； 对于D：，函数在上单调递增，所以上单调递减，故D错误； 故选：AC 11. 已知是单位向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若不共线，则 C. 若，则夹角的最小值是 D. 若，则的夹角是钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】A：根据计算出的值；B：计算的值并作出判断；C：将不等式左右平方，然后分析出夹角的最小值；D：根据数量积计算公式判断即可. 【详解】A：因为，所以，故错误； B：因为不共线且，所以，故正确； C：因为，所以，所以， 又因为，所以，所以的最小值为，故正确； D：，因为，所以，故错误； 故选：BC. 三､填空题（本题每小题5分，共15分） 12. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解. 【详解】由题意知的图象关于轴对称， 因此，解出， 因为在上单调递减，， 所以，解得. 又，所以， 即. 故答案为：3 13. 在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，则，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，即，且， 所以， 当且仅当,即时，等号成立. 故答案为： 14. 某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为______m． 【答案】 【解析】 【分析】依题意用表示，再利用诱导公式与余弦定理列出关于的方程，从而得解. 【详解】设四门通天铜雕的高度， 由，可得， 在中，因为，所以， 可得， 即，解得， 所以旗杆的高度为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是抓住，利用余弦定理得到关于的方程，从而得解. 四､解答题（本题共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及其余弦二倍角公式化简，即为，然后利用余弦函数的性质求其单调递增区间即可； （2）利用正弦的二倍角公式及其辅助角公式化简，即为，利用正弦函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 ∵ ∴， 即所求单调递增区间为：； 【小问2详解】 ，其中 ， 即. 16. 近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为. （1）求的解析式； （2）求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可； （2）根据题中条件建立不等式，解出即可. 【小问1详解】 如图，建立平面直角坐标系， 当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点， 设为，则， 由题意得，，， 解得， 所以. 注：写成也给分. 【小问2详解】 令，则， 即， 所以， 解得. 当时，，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面高度不低于80米的时长为秒. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求A； （2）设向量，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理得，化简再利用余弦定理即可得出； （2）由已知得，又，结合三角恒等变换得，利用三角函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 由正弦定理，得， ∴，即， 由余弦定理得， ∵，∴； 【小问2详解】 ∵，又， ∴， ∵，∴， ∴当，即，时，取最小值． 18. 向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程请用向量法解决解决以下问题： （1）证明：的三条高线交于一点； （2）已知矩形为平面内任意一点，求证： （3）如图，已知圆是圆上两个动点，已知点，求矩形的顶点的轨迹方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先设边上的高交于一点，则，由减法运算得出，所以； （2）以点为原点建立平面直角坐标系，利用模长公式证明即可； （3）设，借助（2）中结论求解即可. 【小问1详解】 在中， ， ， ． ， ， ， 故三角形三条高交于一点； 【小问2详解】 解：以点为原点建立平面直角坐标系： 记，，，，设， 则有：， ， 故：； 【小问3详解】 设，由（2）得：，得：， 化简得轨迹方程为：. 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的应用，考查利用向量证明几何中的结论，解题的关键是运用向量数量的运算律结合图形求解，考查数形结合的思想和计算能力. 19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.，叫做复数的三角形式. （1）设复数，，求､的三角形式； （2）设复数，，其中，求； （3）在中，已知､､为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，，. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用复数的乘除法计算即可； （2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可； （3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可. 【小问1详解】 , ； 【小问2详解】 设，的模为，的模为，， 对于有，， 对于有，， 所以， 所以， ， 因为，所以无意义， 故,即的角的终边在轴上， 又，所以，即 【小问3详解】 如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线， 过作的平行线，交于点，则， 所以， 即， 即 根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得， 所以，， 同理，， ，， 所以，，，. 【点睛】 方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期中学业质量检测 高一数学试题 一､单选题（本题每小题5分共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列几个命题，其中正确的命题的个数有（ ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足，则复数（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 最大值是的图象与轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（ ） A. 7 B. C. 8 D. 8. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题本题每小题6分共18分） 9. 已知复数为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 对应点在第一象限 C. D. 若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 10 已知，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 11. 已知是单位向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若不共线，则 C. 若，则夹角的最小值是 D. 若，则的夹角是钝角 三､填空题（本题每小题5分，共15分） 12. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则__________. 13. 在中，是边上一点，且，是中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为__________. 14. 某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为______m． 四､解答题（本题共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数的值域. 16. 近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为. （1）求的解析式； （2）求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求A； （2）设向量，，求最小值． 18. 向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程请用向量法解决解决以下问题： （1）证明：的三条高线交于一点； （2）已知矩形为平面内任意一点，求证： （3）如图，已知圆是圆上两个动点，已知点，求矩形的顶点的轨迹方程. 19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.，叫做复数的三角形式. （1）设复数，，求､的三角形式； （2）设复数，，其中，求； （3）在中，已知､､为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，，. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$