7.2.1古典概型的概率计算公式课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 7.2.1古典概型的概率计算公式 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 理解古典概型的定义和两个基本特征 01 掌握古典概型的概率计算公式，会求古典概型事件的概率 02 会根据实际问题建立概率模型，并能利用古典概型的概率计算公式进行计算 03 探索新知 PART 02 探索新知 02 实例分析 知识点1 随机事件的概率 试验1：“抛掷一枚均匀的骰子，观察骰子掷出的点数” (1)样本空间为{1,2,3,4,5,6}，这是一个一维有限样本空间，共有6个样本点；因为骰子的几何形状的对称性，所以可以认为每个样本点出现的可能性相等； (2)该试验的样本空间为二维有限样本空间，共有36个样本点；每个样本点出现的可能性也相等． 试验2：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数” 以上两个实验，其样本空间分别有几个样本点？每个样本点出现的可能性相等吗？ 探索新知 02 实例分析 知识点1 随机事件的概率 (1)样本空间为{1,2,3,4,5,6}，这是一个一维有限样本空间，共有6个样本点；因为骰子的几何形状的对称性，所以可以认为每个样本点出现的可能性相等； (2)该试验的样本空间为二维有限样本空间，共有36个样本点；每个样本点出现的可能性也相等． 以上两个实验，所对应的样本空间有什么特征呢？ 有限性：样本空间中样本点的个数都是有限的，即试验对应的样本空间Ω为有限样本空间 等可能性：每次试验中，样本空间Ω中的各个样本点出现的可能性相等. 思考：在这种情况下，任意一个随机事件发生的可能性该如何表示呢？ 探索新知 02 实例分析 知识点1 随机事件的概率 情境1：抛掷一枚均匀的骰子，“掷出偶数点”的可能性是多少？ (1)样本空间为{1,2,3,4,5,6}，共有6个样本点； 每个样本点出现的可能性相等，均为； 而“掷出偶数”对应的事件为{2，4，6}，含有3个样本点； 因此可以认为“掷出偶数”的可能性是，即 情境2：同时抛掷两枚均匀的骰子(编号为1，2)，“1号骰子掷出的点数为1”的可能性是多少？ 情境3：同时抛掷两枚均匀的骰子，“掷出的点数相同”的可能性是多少？ 思考：结合样本空间的特征，分析并刻画相应随机事件发生的可能性 探索新知 02 实例分析 知识点1 随机事件的概率 情境1：抛掷一枚均匀的骰子，“掷出偶数点”的可能性是多少？ (2)样本空间共有36个样本点； 每个样本点出现的可能性相等，均为； 而“1号骰子掷出的点数为1”对应的事件为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}，含有6个样本点； 因此可以认为“1号骰子掷出的点数为1”的可能性是，即 情境2：同时抛掷两枚均匀的骰子(编号为1，2)，“1号骰子掷出的点数为1”的可能性是多少？ 情境3：同时抛掷两枚均匀的骰子，“掷出的点数相同”的可能性是多少？ 思考：结合样本空间的特征，分析并刻画相应随机事件发生的可能性 探索新知 02 实例分析 知识点1 随机事件的概率 情境1：抛掷一枚均匀的骰子，“掷出偶数点”的可能性是多少？ (3)样本空间共有36个样本点； 每个样本点出现的可能性相等，均为； 而“掷出的点数相同”对应的事件为{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，含有6个样本点； 因此可以认为“掷出的点数相同”的可能性是，即 情境2：同时抛掷两枚均匀的骰子(编号为1，2)，“1号骰子掷出的点数为1”的可能性是多少？ 情境3：同时抛掷两枚均匀的骰子，“掷出的点数相同”的可能性是多少？ 思考：结合样本空间的特征，分析并刻画相应随机事件发生的可能性 探索新知 02 抽象概括 概率：对于一个随机事件A，我们经常用一个数P(A) (0≤P(A)≤1) 来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率． ①概率度量了随机事件发生的可能性的大小.概率越接近1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近0，表明事件发生的可能性就越小. ②在一次试验中，必然事件Ω一定发生，其概率为1，即P(Ω)＝1；不可能事件不会发生，其概率为0，即P()＝0. 知识点1 随机事件的概率 ③对于任意事件A，其概率的取值范围是[0,1] 探索新知 02 抽象概括 一般地，若试验E具有如下特征： （1）有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间； （2）等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等． 知识点2 古典概型 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 结合前面的举例，能否说一说古典概型之下随机事件概率的计算方法？ 对于古典概型来说，如果样本空间所含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为 说明：在现实中不存在绝对均匀的硬币，也没有绝对均匀的骰子，古典概率模型是从现实中抽象出来的一个数学模型，它有着广泛的应用． 探索新知 02 概念辨析 1.在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽； 2.口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球. 判断下列试验模型是否为古典概型： 这个试验的结果只有两个：“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，因此该试验模型不是古典概型 属于有放回抽样，依次摸出的球可以重复，结果可能有无限个，因此该试验模型不是古典概型. 知识点2 古典概型 探索新知 02 概念辨析 1.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率 用古典概型计算概率问题： 用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，因此样本点总数为4，设其中一个数是另一个数的2倍为随机事件A，事件A包含1,2；2,1；2,4；4,2,共4个样本点,故所求的概率为 2.某班级男生30人，女生20人，随机地抽取一位学生代表，会出现50个不同的结果． 因此样本空间共有50个样本点，设选中的代表是女生为随机事件B，则事件B包含20个样本点，所以． 知识点2 古典概型 探索新知 02 思考交流 知识点2 古典概型 （1）向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上的不同位置，你认为这个情境适合用古典概型来描述吗？为什么？ （2）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，……，命中1环和脱靶，你认为这个情境适合用古典概型来描述吗？为什么？ （3）有人认为，抛掷两枚均匀的骰子，掷出的点数之和可能为2，3，4，…，12，共有11种可能的情形，因此，“掷出的点数之和是5”的可能性是．这种说法对吗？ 试验的所有可能结果是无限的 每种结果的可能性不相等 每种结果的可能性不相等 样本空间有36个样本点 “点数和是5”包含4个样本点 古典概型的基本特征： （1）有限性； （2）等可能性 探索新知 02 例1 在试验E6“袋中有白球3个（编号为1,2,3）、黑球2个（编号为1,2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为b1，b2，求： （1）取到的两球都是白球的概率； 知识点2 古典概型 解：由前面的分析可知试验E6的样本空间 ，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，属于古典概型. （1）设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则A{ ，，，，，}，共含有6个样本点，所以P(A). 探索新知 02 例1 在试验E6“袋中有白球3个（编号为1,2,3）、黑球2个（编号为1,2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为b1，b2，求： （2）取到的两球颜色相同的概率； 知识点2 古典概型 解：由前面的分析可知试验E6的样本空间 ，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，属于古典概型. （2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则B{，，，，， }，共含有8个样本点，所以P(B). 探索新知 02 例1 在试验E6“袋中有白球3个（编号为1,2,3）、黑球2个（编号为1,2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为b1，b2，求： （3）取到的两个球至少有一个是白球的概率. 知识点2 古典概型 解：由前面的分析可知试验E6的样本空间 ，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，属于古典概型. （3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，则C={}，含有18个样本点，所以P(C). 探索新知 02 归纳总结 1.读——反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息 3.列——列举出总的样本点(个数)及所求事件包含的样本点(个数) 用古典概型计算概率问题的步骤： 2.判——判断事件是否是古典概型 4.算——计算出古典概型的概率，对应用题还要作答 知识点2 古典概型 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 古典概型的判断 例1. 判断下列概率模型是否属于古典概型. (1)在区间[0,2]上任取一点; (2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任选一条; (3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件. 解：(1)区间[0,2]包含无穷多个点,从 [0,2]上任取一点时,有无穷多种取法,不满足有限性,因此这不是古典概型. (2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任选一条,共有10种选法,满足有限性,又每一条路线被选中的可能性是相同的,满足等可能性,因此这是古典概型. (3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,点数之和共有11种,即点数之和分别是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,满足有限性,但这11种结果不是等可能出现的,不满足等可能性,故这不是古典概型. 题型突破 03 解题通法 古典概型的判断方法： 判断一个试验是不是古典概型，关键看它是否具备古典概型的两个特征： (1)一次试验中，可能出现的样本点只有有限个，即有限性； (2)每个样本点出现的可能性是均等的，即等可能性. 古典概型必须同时满足这两个条件，缺一不可. 题型1 古典概型的判断 题型突破 03 题型2 古典概型概率的求解 例2. 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球,写出试验的样本空间,并求至少摸出1个黑球的概率. 解：试验的样本空间为 Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10. 记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含7个样本点,∴m=7. P(A) 即至少摸出1个黑球的概率为0.7. 题型突破 03 题型2 古典概型概率的求解 变式探究 袋子中有红、白色球各1个,每次任取一个,有放回地摸三次,写出试验的样本空间,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球. 解：试验的样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.样本点总数n=8. (1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”. ∵A中含有的样本点书，∴P(A) (2)记事件B为“三次颜色全相同”. ∵B中含有的样本点书，∴P(B) (3)记事件BC为“三次摸到的红球多于白球”. ∵C中含有的样本点书，∴P(C) 题型突破 03 题型3 较复杂的古典概型的概率计算 题型突破 03 题型3 较复杂的古典概型的概率计算 题型突破 03 题型3 较复杂的古典概型的概率计算 题型突破 03 题型3 较复杂的古典概型的概率计算 题型突破 03 解题通法 解决古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类问题时需要注意以下两个问题： (1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性. (2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系，表格及树状图等列出所有样本点 题型3 较复杂的古典概型的概率计算 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 D 当堂检测 04 C 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 谢谢观看 Learn to report 例3.　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 解：　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数， 则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应． 因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16. 事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}． 所以P(C)＝eq \f(5,16).因为eq \f(3,8)＞eq \f(5,16)， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． (1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个， 即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}． 所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16). (2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C. 则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}． 所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8). 所以P(E)＝eq \f(11,16). 变式探究 1．在本例中求小亮获得玩具或水杯的概率． 解：　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数， 则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应． 因为S中元素的个数是4×4＝16， 所以样本点总数n＝16. 记“小亮获得玩具或水杯”为事件E， 则事件E包含的样本点个数共11个， 即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}． 变式探究 2．在本例中奖励规则改为： ①若3≤x＋y≤5，则奖励玩具一个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率． 解：　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数， 则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应． 因为S中元素的个数是4×4＝16， 所以样本点总数n＝16. 记“3≤x＋y≤5”为事件D， 则事件D包含的样本点个数共9个， 即D＝{(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)}． 所以P(D)＝eq \f(9,16). 1.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( ) A. B. C. D. 解析：6元分成整数元有3份，可能性有，，，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为. 故选：D 2.用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为( ) A. B. C. D. 解析：将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种， 其中偶数有，共4种， 所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为. 故选：C. 3.盒子中有6个大小形状完全相同的小球,其中有两个小球标有数字1,记为,;有两个小球标有数字2,记为,;有一个小球标有数字3,记为c;有一个小球标有数字4,记为d.现从中一次取出两个小球. （1）写出试验的样本空间; 解析：（1）样本空间为 共15个样本点 （2）①“取出的两个小球上标有的数字不相同”,求； ②“取出的两个小球上的数字之和为5”,求； ③“取出的两个小球上的最小数字是2”,求. 解析：（2）① 共13个样本点，; ②，; ③，. 4.抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子,记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为x,黄色骰子与地面接触的面上的数字为y, (1)求“为偶数”的概率; (2)求“”的概率. 解析：（1）由题意知,样本空间,,共16个样本点. 设事件“为偶数”,则,共12个样本点. 所以,即“为偶数”的概率为. 4.抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子,记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为x,黄色骰子与地面接触的面上的数字为y, (1)求“为偶数”的概率; (2)求“”的概率. 解析：(2)由（1）知,样本空间包含16个样本点. 设事件“”,则,共10个样本点. 所以,即“”的概率为. $$