精品解析：河南省郑州市高新区朗悦慧外国语中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题

2022-2023学年河南省郑州市高新区朗悦慧外国语中学九年级（上）开学 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 3. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 4. 若为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 12 C. 14 D. 15 5. 如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形菱形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形菱形矩形 C. 平行四边形菱形正方形矩形 D. 平行四边形正方形平行四边形矩形 6. 如图，菱形中，，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 7. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　） A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 8. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 9. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 10. 如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 分解因式：=______． 12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____． 13. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的顶角的度数为__________． 14. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上） 15. 如图，正方形的边长是，点是边上的一个动点，点是边上一点，，连接，把正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，线段的长为______． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 16. 先化简，再求值：，其中. 四、解答题（本大题共7小题，共67.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 20. 已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． （1）求出，的值和点的坐标； （2）连接，直线上是否存在一点，使.如果存在，求出点的坐标； （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 21. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 22. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G． （1）证明：； （2）连接，求证：． 23. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE． （1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　． （2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图2，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年河南省郑州市高新区朗悦慧外国语中学九年级（上）开学 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 2. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 3. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 4. 若为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 12 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，即，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：为的实数根， ，即， ， 为方程的两个实数根， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，则，． 5. 如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形菱形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形菱形矩形 C. 平行四边形菱形正方形矩形 D. 平行四边形正方形平行四边形矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】解：连接． ∵点O为矩形的对角线的交点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选： 6. 如图，菱形中，，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程． 7. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　） A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 【答案】C 【解析】 【详解】解：当x＞1时，x+b＞kx+4， 即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1． 故选C． 8. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点E是CD的中点，DE=CD， ∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC， ∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15， 即△DOE的周长为15． 故选A 【点睛】此题重点考查学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键． 9. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE= CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=，然后，分别算出S1、S2的面积即可解答． 【详解】解：如图 设正方形S2的边长为x， 根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD， ∴AC=2CD，CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=； ∴S2的面积为； ∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力． 10. 如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了平行四边形性质，勾股定理和从函数图像获取信息，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．过点作于点，通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和，从而解题． 【详解】解：过点作于点， 由图象可知，点由点到点用时为，的面积为． ， ， ， 当点从点到点时，用时为， ， 在中， ， 的四条边都相等， ，， 在中， ， 解得：， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____． 【答案】12 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称， ∴a=﹣4，b=﹣3， 则ab=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键. 13. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的顶角的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 14. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①④ 【解析】 【分析】①根据根的判别式即可作出判断； ②方程有两个不相等的实数根，则，当c=0时，cx2+bx+a=0为一元一次方程； ③若c是ax2+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断； ④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则方程有实根，判别式，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断． 【详解】①根据公式法解一元二次方程可知，若a+c=0，且a≠0，∴a，c异号，∴，故此时有两个不相等的实数根，故选项①正确； ②若c=0，b≠0，则，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，方程cx2+bx+a=0仅有一个解，故选项②错误； ③将x=c代入方程ax2+bx+c=0，可得，即，解得c=0或ac+b+1=0，因此ac+b+c=0不一定成立，故选项③错误； ④∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，此时 ，故选项④正确 故答案为①④． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系． 15. 如图，正方形的边长是，点是边上的一个动点，点是边上一点，，连接，把正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．分两种情况：①当落在线段上时，连接、、，由折叠可得，，关于对称，即垂直平分，得出，求出，，得出，设，则，在和中,由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当落在线段延长线上时，连接、、，解法同①． 【详解】解：分两种情况：①当落在线段上时，连接、、，如图所示： 由折叠可得，，关于对称，即垂直平分， ， 正方形的边长是， ， ， ， ， ， 设，则， 在和中，由勾股定理得：，， ， 解得：， 即； ②当落在线段延长线上时，连接、、，如图所示： 由折叠可得，，关于对称，即垂直平分， ， 正方形的边长是， ， ， ，， ， 设，则， 在和中，由勾股定理得：，， ， 解得：，即； 综上所述，线段的长为或； 故答案为：或． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 16. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 ． 【解析】 【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得． 详解：原式=÷（﹣） =÷ =• =﹣ = 当m=﹣2时，原式=﹣ =﹣ =﹣1+2 =． 点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 四、解答题（本大题共7小题，共67.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法即可求解； （2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 20. 已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． （1）求出，的值和点的坐标； （2）连接，直线上是否存在一点，使.如果存在，求出点的坐标； （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)-1，-4，（1，-3）．（2）P点坐标为或；（3）当x≤1时，． 【解析】 【分析】(1)把，分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可； (2)根据求出点P的纵坐标，代入解析式即可； (3)观察图象直接判断即可． 【详解】解：(1) 把代入得，， 解得，； 把代入得，， 解得，； 联络方程组得，， 解得，， A点坐标为：A（1，-3）． (2)由（1）OC=4，A（1，-3）． ， ， 设P点坐标为（x,y）， ， ， ， 当y=时，=x-4， x=，P点坐标为； 当y=时，=x-4， x=，P点坐标为； 纵上，P点坐标为或； (3)根据图象可知，在A点或A点左侧时，， 故当x≤1时，． 【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． 21. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论． 【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80． ∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x=50． 答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G． （1）证明：； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图所示，延长交的延长线于H， ∵E是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即B是的中点， 又∵， ∴中，． 【解析】 【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出； （2）延长交的延长线于H，根据，即可得出B是的中点，进而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 23. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE． （1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　． （2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图2，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的长． 【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）2 【解析】 【分析】（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD． （2）结论不变．证明过程同（1）． （3）在Rt△AOP中，求出OA，OP即可解决问题． 【详解】（1）BP=CE，CE⊥AD． 理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=60° ∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60° ∴△ABC、△ACD是等边三角形 ∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60° ∵△APE是等边三角形 ∴AP=AE，∠PAE=60° ∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC 即∠BAP=∠CAE， ∴△BAP≌△CAE（SAS） ∴BP=CE，∠ABP=∠ACE ∵BD平分∠ABC ∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30° ∴CE平分∠ACD ∴CE⊥AD． 故答案为BP=CE，CE⊥AD． （2）结论仍然成立．理由如下：如图，设CE交AD于H，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°． ∵△APE是等边三角形， ∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°． ∴△BAP≌△CAE． ∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°． ∵∠CAH=60°， ∴∠CAH+∠ACH=90°． ∴∠AHC=90°，即CE⊥AD． （3）如图，连接BE， 由（2）可知CE⊥AD，BP= CE． 在菱形ABCD中，AD∥BC，∴CE⊥BC． ∵BC=AB=2，BE=2， 在Rt△BCE中，CE==8． ∴BP=CE=8． ∵AC与BD是菱形的对角线， ∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD． ∴OA=AB=，BO==3， ∴OP=BP－BO=5， 在Rt△AOP中，AP==2， 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．第（2）题的证明过程可由（1）适当转化而得，第（3）题则可直接运用（2）的结论解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $