第1章 专题探究1 集合的综合问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 限时：45mim 题组1集合中的参数问题 5.(多选)(2024·江苏苏州中学高一期中)用 1,(多选)(2024·湖南岳阳高一期末)已知U= C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义 R,集合A=xlx≤a,集合B={xlx<1,则下 A*B= 1C(A)-C(B),C)≥C(B)·已知集 列正确的是 ( 1C(B)-C(A),C(A)<C(B), A.若BU(C,A)=R,则实数a∈ala<1日 合A=xlx2+x=0,B={x∈R1(x2+ax)(x2+ B.若BU(C,A)=R,则实数a∈{ala≤1 ax+1)=01,则下面结论正确的是() C.若Bn(C,A)=☑，则实数a∈{ala>1 A.3a∈R,C(B)=3 D.若Bn(C,A)=☑，则实数a∈{ala≥1 B.Ha∈R,C(B)≥2 2.(2024·安徽六安高一期末)已知集合A= C.“a=0”是“A*B=1”的必要不充分条件 xlx-11<3,B={x|x2-3x-10<01,若aEA, D.若S=a∈R1A*B=1},则C(S)=3 且a∈B,则a的取值范围是 6.(2024·北京海淀区高一期中)定义：给定整 3.(2024·四川成都高一月考)关于x的方程 数i,如果非空集合满足如下3个条件： x2+a=x(a∈R)的解集为A(A≠☑)，关于x ①ACN':②A≠1{：③Hx,y∈N',若x+ 的方程(x2+a)2+a=x(a∈R)的解集为B. y∈A,则xy-i∈A,则称集合A为“减i集” (1)对于集合M,N,若Hx∈M,x∈N,则 (1)P=1,2是否为“减0集”？是否为“减1 MCN求证：ACB. 集”？ (2)若A=B,求实数a的取值范围。 (2)证明：不存在“减2集” (3)是否存在“减1集”？如果存在，求出所有 “减1集”：如果不存在，说明理由。 题组2集合中的新定义问题 4.(2023·山东青岛一中高一月考)设U={1,2, 3,4,A与B是U的两个子集，若A∩B={3, 4},则称(A,B)为一个“理想配集”，那么符合 此条件的“理想配集”（规定(A,B)与(B,A)是 两个不同的“理想配集”)的个数是( A.7 B.8 C.9 D.10 第一章黑白题027 题组3集合中的新运算问题 11.(2023·湖北十堰高一月考)给定数集A,若 7.(多选)(2024·江苏苏州一中高一月考)定义 对于任意a,b∈A,有a+b∈A且a-b∈A,则 集合运算：A⑧B={zz=(x+y)×(x-y),x∈A, 称集合A为闭集合. y∈B,设A=2,3},B=11,w2{,则( (1)判断集合A=-4,-2,0,2,4,B={x A.1∈A⑧B x=3k,keZ是否为闭集合，并给出证明. B.(A☒A)⑧B=A☒⊙(A☒B) (2)若集合A,B为闭集合，则AUB是否一定 C.A⑧B中有4个元素 为闭集合？请说明理由。 D.A⑧B的子集有8个 (3)若集合A,B为闭集合，且AR,BR, 8.(2024·江苏南京高一月考)定义集合运算A- 证明：(AUB)R B={x|x∈A且xB}称为集合A与集合B的 差集：定义集合运算A△B=(A-B)U(B-A)》 称为集合A与集合B的对称差，有以下4个命 题：①A△B=B△A:②(A△B)△C=A△(B△ C):③A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C):④AU (B△C)=(AUB)△(AUC).则4个命题中是 真命题的是 ( A.①② B.①②③ C.①2④ D.①②③④ 9.集合G关于运算④满足：(1)对任 意的a,b∈G,都有a④b∈G:(2)存 在eeG,对任意aeG,都有a①e=e①a=a,则 称G关于运算①为“融洽集”.现给出下列集 合和运算：①G=非负整数，④为整数的加 法：②G=1偶数，④为整数的乘法：③G=1二 次三项式}，④为多项式的加法.其中G关于运 算⊕为“融洽集”的是 .(填序号)】 题组4集合中的新性质问题 10.(多选)(2024·黑龙江牡丹江高一月考)非 空集合A具有下列性质：①若x,y∈A,则 上∈A:②若，yEA,则x+yEA.下列选项正 确的是 ( A.-1A B.2022 “2023gA C.若x,y∈A,则∈A D.若x,y∈A,则x-y生A 必修第一册：BS黑白题028因为四名32四·高37.当组汉当=0时等号成 5A即解折：A正实数满足n=2。名宁n) 立，所以m≤7， (）(0）(2只要)3“2 2x 又因为45≤x≤75，eN”,所以当=75时，251取得最大值7， 当且仅当”.2m时，等号成立，故A正确：B.由m+n=2且m>0,>0 所以m≥7. n .7≤m≤7，即存在这样的m满足条件，其值为7. 得m≤空”1，当且仅当m==1时，等号成立，则≤放 压轴桃战 B正确：C.由m+1=2且m>0,n>0得(m)2+()2=2, |10≤k<4 123 折：产+1气)+子>0恒成立不等式 .(m+m)'≤2[(m)+(,分)1=4，侧√m+√m≤2，当且仅当m= 等价于x2-x+1≤0的解集是⑦.当=0时，1≤0不成立，解集是☑： n=1时，等号成立，放C错误：D,m+2≥m+m）=2,当且仅当m 2 (k>0. 当k0时。 解得0<k<4.综上.0≤k<4.故答案为|k10≤ n=1时，等号成立，故D正确.故选ABD △=k2-4k<0, 6C解析：由28y.可得2+y=上+8.则(24y)2（24 k<4. y §3-§4阶段综合 (2x+)=(2x+)(1+8）=2+16+8≥10+ y 黑题 阶段强化 c.工=18，当且仅当.上，即y=4红时取得等号，所以2x+ 2N* Y 2+6=7, b=5, 1.A 解析：由题设，有 y≥√18=32，即2x+y的最小值为3v2.故选C. 可得 故选A 2b=-a, (a=-10. 7.5解析：因为>0，b>0,a+b=1,所以a+8=n++h 6=1+ 2.B解析：因为关于x的不等式x2+m+g>0的解集为x|x<-1或 a x>2,所以x2+m+9=0的两根是-1或2.所以p=-1,9=-2,所以 名1()(仁）3+≥32=5，当且仅当a 9-80可转化为一4(+2》0，解得-2r<1或4所以原不 x+p -1 时取等号.故客案为5 等式的解集为{x-2cx<1或x>4,故选B. 8.解：(1)由题意可设y=2(1>0),当：=3时，y=9%=18000,素三 3.B解析：因为a>0.由基本不等式得c-6=a+2-2≥ 2000.故y=20002(1>0) (2)设这块矿石的质量为克，由(1)可知，按质量比为1：4切割后 2名-2=2万-2>0.放6a因为c+6=2242+号-6=a+ 2 的价值为200(（行+20(） 价值损失为2000a2- 2-2.两式相减得，2站=2+2a+2-a2+2=202+n+2,故6=02+ [2m(行)'+20m(;）门价值损失的百分率为 之1所6a-1=(e-）广名0截>，所以 2wm2-[m(3）广*2m(）】 100%=32% 2000a b>m.故选B (3)若把一块该种矿石按质量比为m:n切割成两块，价值损失的百 4A8解斩：对于Aho==瓜≤(a=艺当且 11 Ja b 分*应为1（广，(广] (mtn) 仅当=b时.等号成立，故A正确： 2+ 2 2 2nb 2ab ,当且仅当m=:时取等号，即质量比为1：1时， 对于B.1o(a,b)= 2 11a+62a =ab=G(a,b).当且仅当 (m+n)2 a+6 价值损失的百分率达到最大 a=时，等号成立，故B正确： 对于C,(a,b)=+h2_2+6+n2+82=a2+6+2b.（a+b2 专题探究1集合的综合问题 +6 2(a+b) 2(a+b) 2(a+6) 黑题 专盟强化 =A(a,b),当且仅当a=b时，等号成立，故C不正确： 2 1,AD解析：：U=R,渠合A=|xx≤，集合B=xlx<1,则A=x x>a,若BU(CA)=R,则实数a的取值范围是IaIa<1:若Bn 对于D,当n=1时，由C可知，h2(a.b)≥ 2 =L,(a,b),故D不正 (CA)=O,则实数a的取值范围是ala≥1.故选AD. 确.故选AB 2.14≤a<51解析：由题意得A=x-2<x<4|,B=x-2<x<5引.因 必修第一册·BS黑白题018 为a主A且aeB,所以4≤a<5,故a的取值范围是；a14≤<5 当x+y≠y-2时，则x+y=-1或x+y=-m(m>2).若x+y=y-1, 3.(1)证明：设0∈A,“+a=x。,将o代人方程(x2+a)2+a=x,等式 M为除1以外的最小元索，则x=M-1,y=1时-2=M-3小于， 成立.∴，0是方程(x2+a)2+a=x的解，∴，n■B,A二B 若要符合题意，则M=4,此时取x=2,y=2时，y-2=2不属于A,故 (2)解：A≠0.2-r+=0有实根，六1=1-4≥0心a≤4 不符合题意：m>2时，(x-1)(一1)=m+L,同样得出矛盾 综上所述，不存在“成2集” 集合B为方程(x2+a)2+n=x即x+2ax2-x+a2+a=0的根的集合， (3)解：存在“减1集”AA≠{11 由(1)的结论A二B,且集合A为方程x2-x+:=0的根的集合， 假设1∈A,则A中除了元素1以外，必然还含有其他元素。 、因式x+22-x+a2+n分解后必定含有因式2-+a, 假设2∈A,1+1eA,而1×1-1壁A,因此2EA 由多项式的除法得x4+22-x+a2+a=(x2-x+a)(x2+x+a+1). 假设3GA,1+2GA.而1×2-1∈A.因此3∈A :A=B.,x2+x+a+1=0无实根或其根为方程x2-x+a=0的根。 因此可以有A=1,3 当x2+x+a+1=0无实根时.4=1-4(a+)<0,解得a>云 3 假设4∈A,1+3∈A,面1×3-1主A,因此4A 假设5∈A,1+4∈A.1×4-1eA.2+3=5,2×3-1eA,因此5EA 当x2+x+a+1=0的根为方程2-x+a=0的根时， 因此可以有A=11.3,51. ①当x2+x+a+I=0有两个不等实根时，其根不可能与x2-x+a=0的 以此类推可得：A=11,3,5,…,2n-1,…(neN°). m+n=-1 根相同否则设这两个不等实根为m,,剥 无解： 所以满足条件A的集合为11,3引，1,3,5，*，xx=2n-1,n∈N·. m+n=1. 7.AD解析：由题设A⑧B=10,1,2,故1EA⑧B,且共有3个元素，放 ②当x2+x+n+1=0有两个相等实根时.即4=1-4(a+1)=0,即a= 子集有8个，AD对，C错：4⊙A=1-1,0,1,则(A⊙A)⊙B=-2, 子时，方程的根为=一了，此根附好是-+a=0的根，满足 -1,0,面A☒(A⑧B)=|-2.-1.1,2,3,显然(A因A)☒B+A②(A 条件 因B),B错：故选AD. 8.B解析：对于①，B△A=(B-A)U(A-B)=(A-B)U(B-A)=A△B. 综上，a的取值范周是-3。 1 “44 D对：对于②，A-B=|x|x∈A且x生B1=xlx∈A且x￥(A门 4.C解析：对子集A分类讨论：当A是二元集{3,4时，此时B可以为 B)=A-(A∩B),同理B-A=B-(A∩B),则A△B=(A-B)U 11,2,3,41,1,3,4,12,3,41,3,4,共4种结果：当A是三元集 (B-A)=(AUB)-(A∩B),所以(A△B)△C=(A△B)UC-(A 11.3,4时.此时B可以为2.3.4,3,41，共2种结果：当A是三元 △B)门C表示的集合如下图中的阴影靠分区域所示： 集12,3,4时.此时B可以为1.3.4.13.4，共2种结果：当A是四 元集1,2,3,4}时，此时B取13,4，有1种结果，知共有4+2+2+1= 9(种)结果.故选C 5.AD解析：对于A,当a=2时，B=0,-2,-11,此时C(B)=3, 故A正确：对于B,当a=0时，B=0,此时C(B)=1.故B错误：对 同理A△(B△C)=AU(B△C)-A∩(B△C)也表示如上图阴影部分 于C,当a=0时，B=0.所以C(B)=1.A=0,-1,所以C(A)=2. 区域所示，故(A△B)△C=A△(B△C),2对： 所以AB=1:当A*B=1时，因为C(A)=2,所以G(B)=1或3，若 对于③，An(B△C)=AA(BUC-BnC)=An(BUC)-A∩(BnC)= G)=1,满足=0， 解得a=0:若C(B)=3,因为方程x2+ (A∩B)U(AnC)-(AnB)n(A∩C)=(A∩B)△(AnC).③对： 4=a2-4<0. 对于④，如下图所示： ax=0的两个根1=0，x?=-a都不是方程x2++1=0的根，所以需 满足/0， 解得a=±2，所以“4=0”是“A*B=1”的充分不必 4=a2-4=0. 要条件，故C错误：对于D,因为C(A)=2,要使得A*B=1,那么 C(B)=1或3.由C可知a=0或a=±2，所以S=10.2.-2,所以 A△O AU)△(AU C(S)=3.故D正确：故选AD. 所以，AU(B△C)≠(AUB)△(AUC),④.故选B. 6.(1)解：PCN°，P≠f1,1+1=2eP,1×1-0eP.P是“减0集“： 9.①解析：根据题意，判断给出的集合对运算④是否满足条件(1) 同理，PCN”,P≠1,1+1=2P.1×1-1PP不是“减1集” (2)即可其中，条件(1)的含义是：集合G中任意两个元素关于运算 (2)证明：假设存在A是“威2集”，则若x+yeA, ④的结果仍然是集合G的元素：条件(2)的含义是：集合G中存在元 那么-2A,当x+y=y-2时，有(x-1)(y-1)=3. 素“，它与G中任何一个元素a关于运算④满足交换律，且运算结果 则xy一个为2，一个为4，所以集合A中有元素6， 等于.①中，G=1非负整数，①为整数的加法，满足对任意：，b∈G. 但是3+3∈A.3×3-2A.与A是“或2集”矛盾， 都有a④h∈G,且存在=0，使得①0=0©a=n.所以①中的G关于 参考答案黑白题019 运算④为“融洽集”：②中，G=1偶数，⊕为整数的乘法，若存在ee 集合为0，写}，所以实数。取值集合的真子集的个数为2少-1 G,使a④①e=e④a=a,则e=1,与e∈G矛盾，所以②中的G关干运算④ 不是“陆洽集”：3中，G=二次三项式1，田为多项式的加法，两个二 7.故选C 次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G关于运算 6.B解析：B:关于x的方程x2-x+1=0有实数根.则4=a2-4≥0，解 得a≥2或a≤-2.因为B所表示的集合是α所表示的集合的真子 ④不是“融治集”综上，G关于运算④为“陆治集”的只有①，故答案 集.∴，是B成立的必要不充分条件故选B 为①. k<0. 10,AC解析：对于A,若-1后，则1后A,此时-1+1=0eA,而当 7.A解析：由题意可知≠0，可得 解得-3<k<0,所以k 4=62+3k<0. =-1∈4，=0eA时，。显然无意义，不满足于e,所以-1e, 的取值范围为(-3,0).故选A 故A正确：对于B,若x0且xeA,则1=兰∈A,所以2=1+1∈A, 8.C解桥：若对任愈满是a+6=8的正数a6部有一云一岩收立。 3=2+1∈A.以此类推，得对任意的1=N,有n∈A,所以2022EA, 2023E.所以0eA,放B销误：对于C,者yEA,则≠0且 ]2]1.且仅当 y≠0.又1eA,所以 号∈，所以y=子A,故C正确：对于D,因 64(a+1) 他2时等号立所以(）1所 (b=6 +b=8 为2eA,1eA,取x=2,y=1,则xy=1eA,故D错误故选AC. 2x(x-1)≥0， 11.(1)解：集合A不是闭集合，集合B是闭集合.证明：4，-4∈A,但 以≤1.即+1-1-0s0,即 解得>1或x≤0.所 1-x I-x x-1≠0， 是4-(-4)=8年A,∴.A不是闭集合：任取a,b∈B.设a=3m,6= 以实数x的取值范围是（一，0们U(1.+),故选C 3n,m,neZ,则a+b=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z,+b∈B,同理， 9.BD解析：对于选项A,令a=6,b=2,c=-1,d=-2,则ac=-6,bd= 4-b∈B,故B是闭集合. -4.与>d矛盾.故选项A错误：对于选项B,因为a>b>0.c>d>0. (2)解：不一定理由：令A={xx=2k,keZ,B=xx=3k,keZ引， 则由(1)可知.A.B为闭集合，但2.3e(AUB),2+3=5g(AUB), 所以心又调为亡女0，所以止动故连项B正 因此AUB不一定是闭集合. 确：对于选项C,当b<1<0时，a,、瓜无意义，故选项C错误：对于 (3)证明：（反证法）若AUB=R,A年R,存在aeR且a年A,故 264 选项D,因为a≥>0，所以+ 2≥0，即6≤ a∈B.同理，BR,∴.存在bER且b使B,故bEA.a+6∈R=AU a B,六a+b∈A或a+b∈B.若a+b∈A,则由A为闭集合，得a=(a+6)- 2≤a,放选项D正确故选BD beA.与aA矛盾：若a+heB,则由B为闭集合，得b=(a+b)-ae 10.CD解析：对于A,命题“HxeR.x2+1<0”的否定是“3xeR,x2+ B,与gB矛盾.综上，存在eeR,使得e4(AUB),即(AUB)R 1≥0”，故A错误：对于B,当a=0时，集合A中也只有一个元素-1， 做B错误：对于C,因为关于x的不等式m2+r+>0的解集为(-2. 第一章章末检测 3).故a<0.不妨设a=-1.则由韦达定理可得b=1,e=6.所以不等 1.A解析：x2-x-2=0台(x+1)(x-2)=0,得x=-1或x=2,则B= 号<子，放C正确：对于 1 式6x2-x-1<0→(2x-1)(3x+1)<0→ 1-1,2.又因为A=1-2,-1,0,1,21.所以4门B=1-1,2.故选A D,由“m>2,b>2“可得“b>4”,但“ab>4”,比如a=b=-3时，“a>2, 2.B解析：命题“HxER.x2+2x+2>0”的否定是"3xeR,x2+2x+2≤ b>2”就不成立，故D正确.故选CD. 0”故选B. 3.D解析：y=x2+2x+m=(x+1)2+m-1≥m-1,当x=-1时.函数取得 11.BCD解析：绿然当-1时，=0<2，放A错误：原式可化为 最小值m-1,所以m-1=0一m=1.故选D 4.B解折：根据题意可得1a1>11,由acc0可得。>石故A销误 =21+1>220高1441.当且仅当20 由a<b<0可得a2>,故B正确：由ab<0可得>1，故C错误：由 1)=4即x=2+1时，等号成立，故B正确：由+2y=3→刻 x-11 a<b<0可得a2>ab,故D错误.故选B 3x 5.C解折：当a=0时，8=，满足BC4:当a≠0时，B={}因为 层多3.当组仅当家亲即1时.等号改立 2N33 Bc4,所以3或=5，得a=或a=行综上，实数a取值的 故C正确：由9x2+y2+y=1曰(3x+y)2=1+5y=1+ a 301 必修第一册，BS黑白题020