第一章 预备知识：集合、常用逻辑用语、不等式（高效培优单元测试·强化卷）高一数学北师大版2019必修第一册

第一章 预备知识（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，所以. 故选：C. 2．下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 【答案】C 【分析】由全称命题的定义，全称命题为含有全称量词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答案． 【解析】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题． 故选：C. 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解分式不等式，首先移项，通分，整理为，再转化为二次不等式，即可求解. 【解析】由原不等式可得，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：C． 4．已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【解析】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 5．已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【解析】当时，满足，但， 所以由不能得到. 当时，由不等式的基本性质得， 所以由能推出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【解析】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 7．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 8．某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】设，两项公益活动都参加的有人，得出仅参加，项和两项公益活动都不参加的人数，列出方程，即可求解. 【解析】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人， 则仅参加项的有人，仅参加项的有人， ，两项公益活动都不参加的有人， 由题意得，解得， 所以只参加项不参加项的有人）. 故选D． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【解析】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 10．使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【解析】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 11．若，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式和重要不等式逐个计算判断即可. 【解析】因为（）， 所以可变形为，， 解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为， 解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 由可变形为，所以，所以D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】由交集的运算可得，即可得到结果. 【解析】对于集合，当是，，当时，， 当时，，所以， 则其真子集的个数为. 13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 14．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或． 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【解析】（1）有限集.（5分） （2），无限集.（10分） （3），无限集.（15分） 16．（15分） 已知，命题：，；命题：，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立，分分类求解. （2）由存在量词命题真求出命题，再利用两个命题一真一假求出范围. 【解析】（1），，而； 则，（4分） 解得， 所以实数的取值范围是.（7分） （2），，而，因此，（10分） 即命题：，由（1）知，命题：， 由，中有且仅有一个为真命题，得真假或假真，（12分） 若真假，则；若假真，则， 所以实数的取值范围是.（15分） 17．（15分） 某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； (2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本） 【分析】（1）由题意可知，当x=100时，y=6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知，年利润，令，求出x的取值范围即可． 【解析】（1）当年产量是100吨时，总成本为6000万元， 所以，解得， 所以， 所以生产每吨产品的平均成本为，（6分） 当且仅当，即x=100， 所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元.(8分) （2）由题意可知，年利润， 令，得，（12分） 解得：， 所以该生产线年产量的最小值应为100吨．（15分） 18．（17分） 已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【解析】（1）当时，， 所以.(4分) （2）因为， 所以由，得， （6分） 当时，，解得，满足题意；（8分） 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为.(12分) （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是．（17分） 19.(17分) 已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【解析】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，即（3分） 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为.(7分) （2）因为当时，，所以， 即，所以，（9分） ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是.（12分） ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36.（17分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 预备知识（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 5．已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 6．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 10．使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 11．若，满足，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ． 13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 14．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 16．（15分） 已知，命题：，；命题：，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 17．（15分） 某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； (2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本） 18．（17分） 已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19.(17分) 已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$