第1章 预备知识（拔高练）-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

第一章 预备知识 81 集合 的一些三元子集(含有三个元素的子集)组 知识点 >集合的概念与表示 成的集合,使得X中的任意两个不同的元 1.(多选)(2023·福建福州高一期中)当一个 素,都恰好同时包含在唯一的一个三元子 集中,则称(X,A)组成一个v阶的Steiner三 非空数集G满足“如果a.beG.那么a+b. a-b,abeG,且b≠0时,"eG”时,我们就 元系.若(X.A)为一个7阶的Steiner三元 b 系,则集合A中元素的个数为 称G是一个数域,以下关于数域的说法 3.(2024·北京朝阳区高一期末)已知集合A= ①0是任何数域的元素;②若数域C有非零 a,a,...,a,其中nEN且n>4,aE 元素,则2022EG:③集合P= xlx=2k.ke $$ N (i=1.2....n).非空集合BCA.记T(B) 乙是一个数域;④有理数集是一个数域; 为集合B中所有元素之和,并规定当B中 无理数集不是一个数域,其中正确的有 只有一个元素6时,T(B)=b. _ ) (1)若A=1.2.5.6.7.8 .T(B)=8.写 出 A.①② B.②③ 所有可能的集合B; C.③④ D.④ ($2)若$A=3,4,5.9,10,11 ,B =$6,b$$$$ $. 对于集合M=ala=x}-y②},xeZ,yEZ ,给 b,且T(B)是12的倍数,求集合B的 出如下三个结论: 个数; ①如果P=blb=2n+1,EZ ,那么PCM; (3)若a.E1,2,3,..,2n-1(i=1,2,... ②如果c=4n+2.neZ.那么cM; n),证明:存在非空集合BCA,使得 ③如果a.eM,a.eM,那么a.a.EM. T(B)是2n的倍数 _ 其中正确结论的个数是 ~ A.0 B.1 C.2 D.3 知识点二 >集合的基本关系 1.对于任意两个正整数n,n.定义某种运算 “※”,法则如下:当m,n都是正奇数时,n ※n三mtn;当m,n不全为正奇数时,m※ =mn.则在此定义下,集合M=(a.b)la※ b=16.aEN*,beN*的真子集的个数是 _ ~ A.2-1 B.211-1 C.213-1 D.214-1 2.(2024·江苏南通高三模拟)已知X为包含 v个元素的集合(vEN*.v>3).设A为由X 进阶突破·拔高练01 82 知识点三 集合的基本运算 常用逻辑用语 1.(多选)(2024·江苏盐城高一月考)由无理 知识点一 >必要条件与充分条件 数引发的数学危机一直延续到19世纪.直 (2023·重庆万州区高一月考)定义A-B= xl 到1872年,德国数学家戴德金从连续性的 xEA.xB ,设A.B.C是某集合的三个子集 要求出发,用有理数的“分割”来定义无理 且满足(A-B)U(B-A)CC.则AC(C-B)C 数(史称戴德金分割),并把实数理论建立 ~ (B-C)是AOBOC=的 _ 在严格的科学基础上,才结束了无理数被 认为“无理”的时代,也结束了持续2000多 A.充要条件 年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金 B. 充分不必要条件 分割,是指将有理数集0划分为两个非空 C. 必要不充分条件 的子集M与N.且满足VUN=O.VON= D. 既不充分也不必要条件 .M中的每一个元素都小于N中的每一 知识点二 >全称量词与存在量词 个元素.则称(M.V)为戴德金分割.试判断 1.(多选)(2023·河南洛阳高一联考)对任意 对于任一戴德金分割(M.N),下列选项中 可能成立的是 _ ( 集合A.BCR.记A④B=xlxEAUB且x$ A. M没有最大元素,V有一个最小元素 AOB ,则称A④B为集合A.B的对称差 B. V没有最大元素,N也没有最小元素 例如,若A=0.1.2 ,B=1.2.3 ,则A$$ C. V有一个最大元素,N有一个最小元素 B=0.3,下列命题中为真命题的是( D. M有一个最大元素,N没有最小元素 A.若A.BCR且A④B=.则A=B$$ 2.(多选)(2024·山东济南高一期末)通常我 B. 若A.BCR且AB=B.则A= 们把一个以集合作为元素的集合称为族,若 C. 存在A.BCR.使得A④B=(CA)(B 以集合X的子集为元素的族C,满足下列三 D.若A.BCR且A④BCA.则ACB 个条件;(1)和×在r中;(2)广中的有 2. 设A是非空数集,若对任意x.yEA.都有x+ 限个元素取交后得到的集合在厂中;(3)/ 中的任意多个元素取并后得到的集合在/ yEA,xyEA,则称A具有性质P,给出以下 中,则称族广为集合X上的一个拓扑.已知 命题: 全集UV= 1.2.3.4 .A.B为V的非空真子 ①若4具有性质P.则A可以是有限集; 集,且AB,则下列说法正确的有( ) ②若A具有性质P.且AR.则n4具有性 A. 族P=,V为集合V上的一个拓扑 质P; B. 族P=,A.V为集合V上的一个拓扑 ③若A.A.具有性质P.且A.OA..则 C. 族P=,A.B.V为集合V上的一个 拓扑 A.OA.具有性质P; D. 若族P为集合V上的一个拓扑,将P的 ④若A..A. 具有性质P.则A. UA。具有性 每个元素的补集放在一起构成族0,则 质P 0也是集合V上的一个拓扑 其中所有真命题的序号是 02 黑白题 数学1必修第一册·BS $3 不等式 知识点 >不等式的性质 1. 已知实数x,y,z满足x2+y+2=1,当xy+y+ 2x取到最小值时,下列说法正确的是 2.(2024·山西晋城高三一模)定义minp,, ,→_ ~ r表示p.么.r中的最小值,已知实数a.b. A.x-y B.x=z 满足a+b+c=0.abc=-1.则下列说法正确的 C.x2+y2=1 D.x2+2=1 是 ( ) 2.(2023·山西朔州高一月考)已知实数a,b. A. mina,b.c的最大值是- c满足b+c=6-4a+3a^},c-b=4-4a+^②},则$$ B. mina,b.c的最大值是-/4 _△ a.b.c的大小关系为 ) B. b<c<a C. mina,b,cl的最小值是-1 A.a<b<c C. b<c<a D. b<a<c D. mina.b,c的最小值是-/4 3.(2024·江苏淮安高一月考)希罗平均数是 3.(2024·江苏常州高三一模)设实数x.v满 两个非负实数的一种平均,若a,b是两个非 3 a+Vab+b 负实数,则它们的希罗平均数刀= 2 -12x{}-3y}恒成立,则实数k的最大值为 _△ _~ a+b 记A= C.23 A.12 B.24 D.4/3 关系为 .(用“<”连接) 4.已知a,beR,a+b=2,则 -的最大 4.(2024·九省联考)以maxM表示数集M中 a2+162+1 最大的数.设0<a<b<c<1.已知b>2a或+ 值为 b<1.则maxb-a,c-b.1-c 的最小值 5.(2023·江西新余高三期末)已知a>0.b> 为 0.且a+=2.证明 >基本不等式 知识点二 (1)a26+b2a<2; 1.(多选)(2024·福建福州高一月考)三元均 (2) a3+2bb+2a a+2+b+2 三a+b. 值不等式:“当a,b,c均为正实数时 小干它们的几何平均数,当目仅当a三b 时,等号成立.”利用上面结论,判断下列不 等式成立的有 _ ) A.若x0.则x22=3 B.若0<x<1,则x2(1-x)<9 进阶突破·拔高练 03 84 一元二次函数与一元二次不等式 (2)为提高年销售量,增加市场份额,公司 1.(2024·河北鄣高一月考)已知关于x的 将在2024年对该种玻璃实施二次技术 方程x^}-++3=0有两个正根,那么两个 创新和营销策略改革:提高价格到n欧 ( 根的倒数和的最小值是 元/平方米(其中m>25).其中投人 5 A.-2 D.1 (m{}-600)万欧元作为技术创新费 2.(2024·江西南昌高一月考)已知对一切 用,投入500万欧元作为固定宣传费 xE[2,3],yE[3.6],不等式mx-xy+y>0 用,投入2m万欧元作为浮动宣传费用 恒成立,则实数n的取值范围是 。 __~ 试问:该种玻璃的销售量n(单位:万平 A.(-,6] B.[-6.0] 方来)至少达到多少时,才可能使2024 C. [0.+) D.[0,6] 年的销售收入不低于2023年销售收入 3.(2023·江苏扬州高一期中)若不等式ax^{}+ 与2024年投入之和?并求出此时的 售价. +c<0的解集为R,则 的最大值 为 4.(2024·福建萧田高一月考)研究问题:“已 知关于x的不等式axr{}-x+c>0的解集为 (1.2),解关于x的不等式cx}-bx+a>0”,有 如下解法:由ax^{}-bx+c>0→a-b· ())}→令-,则ye(,1),所以不# 6.(2024·江苏盐城高一期中)已知关于x的 等式cx-bx+a>0的解集为(,1).类比上 不等式(k-2k-3)x}+(k+1)x+1>0(kER) 的解集为M (1)若V=R.求的取值范围 x+a x+c (2)若存在两个不相等的负实数a,b.使得 的解集为(-2.-1)U(2.3),则关于x的不 M=xlxb或x<a,求实数的取值 范围. 等式一1 <0的解集为 ax-1cx-1 (3)是否存在实数5.满足:“对于任意n 5.(2024·河北廊坊高一月考)通过技术创 N*.都有nEM.对于任意的mEZ(负 新,某公司的汽车特种玻璃已进人欧洲市 整数集),都有meM”?若存在,求出 场2023年,该种玻璃售价为25欧元/平方 的值;若不存在,请说明理由 米,销售量为80万平方米 (1)据市场调查,售价每提高1欧元/平方 米,销售量将减少2万平方米:要使销 售收入不低于2000万欧元,试问:该种 玻璃的售价最多提高到多少欧元/平 方米? 04 黑白题 数学1必修第一册·BS进阶突破·拔高练参考答案 第一章 预备知识 因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在 唯一的一一个三元子集，所以A中元素满足要求的有： §1集合 la.b.el.la.d.el.laf.gl.1b.dn.b.e.gi.le.d.gi.lc.e 有7个： 知识点一集合的概念与表示 1a,b,el.a,d1.a,e,gl,b,d,e,lb,g,lc,d,g,c,J八，共 有7个： 1.AD解析：对于①，设aeG,有a-a∈G,即0eG,故①正确： ia.b.el.la,d.gl.la.en.1b.d.el.ibf.gl.le.dn.lc.e.gl. 对于②.设6eC6学0)，则有？eG,即1EG,若1e6,则1+1eG 有7个： 则2+1gG,…,则2021+1=2022eG.放②正确： 1a,b.d,fa,e,e,la,f,g,b,cf月，lb.e,g,1e.d,g,d,ef月，共 有7个： 对于3，当a=2,6=4时，？=号eP,所以集合P不是一个数线，故 la.b.dl.la.c.gl.la.en.16.c.el.bf.gl.le.df.id.e.gl. 3错误： 有7个： 对于④，因为a,be0.所以a+b,a-6,beQ,且60时.geQ,故 a,b,d.a.cf月，a,e,g,b,c.e,lbf,g,c.d.g,d.ef1,共 有7个： ④正确： 1a,b,e,a,e,d,ag,b,eJ,b.dg,fce,gl,d,eJ八，共 对于⑤，若a=2,6=2,则a-b=0,0∈Q,故无理数集不是一个数 有7个： 域，故⑤正确.故选AD a,b,el,a,cJ月，ia,d,g,be,d,bfg.c,e,g,d,e八，共 2.D解析：对于①.6=2m+1.n∈Z.则恒有2m+1=(+1)2-m2 有7个 所以2m+1eM.即P=6b=2n+1.meZ,则PCM,①正确： la.b.el.la.c.gl.ia.dn.b.c.dl.1b.f.gi.le.ef.id.e.g. 对于2，c=4n+2,neZ,若4n+2eM,则存在￥，yeZ使得x2-y2= 有7个： 4n+2.所以4m+2=(x+y)(x-y）,又x+y和x-y同奇或同偶。 la.bn.la.c.dl,la.e.gl.16.c.el,1b.d.gl.lef.gl.ld.e 若x+y和x-y都是奇数，则(x+y)(x-y)为奇数，而4n+2是间数： 有7个： 若x+y和xy都是偶数，则(x+y)(xy)能被4修除，而4n+2不能被 la.bnn.la.c.el.la.d.gl.(b.c.dl,1b.e.gl,leffgl,ide 4整除，所以4n+2gM.即cgM.②正确： 有7个： 对于③，41eM,aeM,可设a1=x-,2=x-yi,xeZ(i=1,2, la.bn.la.e.gl.la.d.el.1b.c.dl.16.e.gl.lc.en.ldf.gl. j=1,2), 有7个： 则414=(x-)(号-)=(x)2+(132)2-(2)2-(x1)2= la.6.gl.la.c.di.la.ef.1b.c.el.16.df.lcf.gl.ld.e.g!, (x2y12)2-(2+21)2∈M,那么4142∈1.③正确.综上，正确 有7个： 的结论是①②③.故选D. la.b.gl.la.c.el.la.dn.1b.c.dl.16.e.leff.gl.ld.e.gl. 知识点二集合的基本关系 有7个： 1.C解析：若a,b都是正奇数，则由a※b=16,可得a+b=16,此时符 la.b.gl.la.cf.la.d.el.1b.c.dl.16.en,le.e.gl.ldf.gl. 合条件的数对为(1,15)，(3,13)，…，(15,1)，共8个 有7个. 若4.b不全为正奇数.则由a嘉b=16,可得b=16,此时符合条件的 共有15种满足要求的集合A,但都只有7个元素.故答案为7。 数对为(1.16).(2,8)，(4.4).(82).(16,1)，共5个 3.(1)解：所有可能的集合B为18,11.7,12,6,11,2,5. 故集合M=I(a,b)1u※6=16,4N”,6eN”1中的元素个数是13， (2)解：不妨设b,<b2<山，h于3≤b1<b2<b≤11，且61,2，b1eA, 所以集合M=(a,b)Ia0b=16,aeN,beN1的真子集的个数 所以3+4+5=12≤T(B)=b1+b2+b3≤30=9+10+1l. 是23-1.故选C. 由题意，T(B)是12的倍数时，T(B)=12或T(B)=24 2.7解析：由题设.令集合X=a.b.c,d,efg,共有7个元素 当7(B)=12时，因为61+62+6，≥3+4+5=12. 所以X的三元子集如下（共有35个）： 所以当且仅当B=|3.4.5时，T(B)=12成立.故B=|3,4.5符合 a.6.cl.la.b.dl.la.b.el.la.bf.la.6.gl.la.c.di.la.c.e. 题意 la.en.la.e.gl.la,d.el.la,df.la,d.gl.la,efi.la.e.gl. 当T(B)=24时 laf.gl.16.c,dl.16.c.el.lb.cfl.1b.c.gl.i6.d,el.Ib.df. 若63=11，则b1+h2=13,故B=13.10,11或B=4.9,111符合题意： i6.d.gi.16.ef.16.e.gl.1b.f.gi.le.d.el.le.d.f.lc.d.gl. 若b1=10.则b,+b1=14,故B=|5,9.101符合题意： c,efl,le,e,g,ef,g,d,e乃，d,e,g,dJg,efg. 若=9，则6+b2+b3≤4+5+9=18，无解. 参考答案黑白题093 综上，所有可能的集合B为13,4,5,13,10,11,4,9,11,5,9,10 川中，满足条件(2)，再次，P=|☑，A,U川中的任意多个元素取并后 故满足条件的集合B的个数为4 得到的集合为☑或A或U,都在P=|O,A,U中，满足条件(3)，故 (3)证明：①当nA时，设a1<a<<n,则 B正确： a102,…,an,2n-a1,2n-a2,…,2n-we|1,2.3.…,n-1.n+1, 对于C,不妨设A=|1,2,B=12,3,则A∩B=2,AUB=1,2.3引， ,2n-1{. 不在P=☑，A.B,U川中，故C错误： 这2m个数取2n-2个值，故其中有两个数相等 对于D,由题意不妨设族P=☑，A,,4.U川(n≥1)为集合0上 因为4，<a2<+<aw,于是2n-a1>2n-a2>…>2n-am 的一个拓扑，由条件(2)可知P=☑，A1,…,4。,川(4≥1)中的有限 从面a1,4,“,。互不相等，2n-a1,2n-2,…,2=。互不相等， 个元素取交后得到的集合都在P=☑，A1,,A,U(n≥1)中，且 所以存在4，re12,…,n使得8n=2n-a, 由条件(3)可知P=☑.A1,…,A,.U川(n≥1)中的任意多个元素取 又因为4n≠n,a,≠n,故μ≠和， 并后得到的集合都在P=☑，41，“，4,01(n≥1)中， 则B=aa,a,l.则T(B)=+,=2n,结论成立 则Q={UC2A1,…,CA.,☑1(n≥1)，下证：Q也是集合U上的一个 ②当m∈A时，不妨设an=n, 拓扑 则a1,a2,…,a-(n≥4)，在这n-1个数中任取3个数，，<0，<a 首先☑.UeQ=U.CA.….CA.,☑1(n≥1)满足条件(1). 若a,-a,与a4-4都是n的倍数，a4-a,=(a,-a)+(a,-a,)≥2m, 其次，设0，…，0，e0,则0，n…n0,=C(00,)U…U 这与a,,a4∈(0,2n-1]矛盾。 (C0). 则4，a至少有2个数，它们之差不是n的倍数，不妨设2-a (a>a1)不是n的倍数. 面，Q,.dQ,eP,故(CQ,)U…U(CQ,)eP 考虑这n个数：a1,a2,1+a2,a1tay+0y,…,1+++0- 故Q,n…nQeQ,同理可证Q,U…U0∈Q ()若这n个数除以n的余数两两不同，则其中必有一个是m的倍 故Q={0,CA1…,CA,⑦1(m≥1)中的有限个元素取交后得到的 数，又a,2<2n且均不为n, 集合都在Q中， 故存在2≤r≤n-1,使得a1+a2++a,=m(neN), 任意多个元素取并后得到的集合都在Q=U,CA1,…,C,A.,☑ 若p为偶数，取B=a1,a,…,a,,则T(B)=pn,结论成立： (n≥1)中， 若p为奇数，取B=a1,a,…,a,u,则T(B)=m+n=(p+1)n,结 满足条件(3)，故D正确.故选ABD 论成立 四方法总结 (ⅱ)若这n个数除以n的余数中有两个相同，则它们之差是：的倍 解决集合创新型问题的方法：(1)紧扣定义，着先分析新定义的持 数，又-1,1均不是n的倍数， 点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够运用到具体的解顺 故存在2≤s<1≤n-1,使得(1+2+…+，）-（a1+a2+…+信，）=m 过程中；(2)用好集合性质，集合性质是破解斯定义型集合问题的 (geN). 基地，为是突破口， 若g为偶数，取B=}a1,a2,…,a,,则T(B)=gm,结论城立： 若g为奇数，取B=a1,a2…,a,0,,则T八B)=m+n=(g+1)n, §2常用逻辑用语 结论成立， 知识点一必要条件与充分条件 综上，存在非空集合BCA,使得T(B)是2n的倍数 A解析：如图，由于(A-B)U(B-A)二C,故两个阴影部分均为☑，于 知识点三集合的基本运算 是A=IUNUV,B=ⅢUNUV,C=IUⅡUⅢUV, 1.ABD解析：令M=xlx<10,x∈Q,N=xx≥10，x∈Q,显然集 若A门BnC=☑.则V=☑，所以A=IUV, 合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能： 面(C-B)U(B-C)=IUⅡUW,所以AC(C-B)U(B-C)成立： 令M=xx<2,xeQ,N=xlx≥2，x∈Q,显然集合M中没有最 反之，若AG(C-B)U(B-C), 大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能： 则由于(C-B)U(B-C)=I U I U N,A=IUNU V, 假设答案C可能，即集合M,中存在两个相邻的有理数，显然这是 所以(IUNUV)G(IUⅡUW),所以V=☑.所以AnBOC=☑.故 不可能的： 选A 令={xlx≤10，xeQ,N=xlx>10,x后Q引，显然集合M中有一个 最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.故选ABD 2.ABD解析：对于A,首先☑，UeP=|☑，U满足条件(1)，其次，P= 1☑，川中的有限个元素取交后得到的集合为⑦或U,都在P=☑. U川中，满足条件(2)，再次，P=☑，U中的任意多个元素取并后得 到的集合为☑或U,都在P=☑.U1中，满足条件(3)，故A正确： 对于B.首先☑.UP=1☑..A1满足条件(1)，其次.P=|☑，A.U 知识点二全称量词与存在量词 中的有限个元素取交后得到的集合为☑或A或U,都在P=1⑦，A,1,ABC解析：对于A,因为A©B=☑，所以☑=xx∈AUB且x生A门 必修第一册，BS黑白题094 B1,即AUB与A门B是相同的，所以A=B,故本选项符合题意： 若b≥2a,则1-n-p≥2(1-m-n-p),故2m+n+p≥1， 对于B,因为A①B=B,所以B=xlxEAUB且xgA∩B1,所以A二B, M=maxb-a,c-b,1-c =max m.n.pl, 且B中的元素不能出现在A门B中，因此A=☑，故本选项符合题意： 2M≥2n, 对于C,当A=B时，A①B=☑，(CgA)④(RB)=☑=A④B,故本选项 因此M≥m,故4≥2m+n+p≥1，则M≥ 49 符合题意： M≥p, 对于D,因为A①BSA,所以1xIx∈AUB且AnBICA,所以 若a+b≤1，则1-ap+1-m#-p≤1，即m+2n+2印≥1， B二A,故本远项不符合题意故选ABC M≥m 2.①③解析：对于①，取集合A=01具有性质P,故A可以是有限集， M=manb-a,c-b.1-c=maxm,n,Pl,则2M≥2n,故5M≥m+ 故①正确： 2M≥2p, 对于2，若A具有性质P,且A≠R,假设[gA也具有性质P 2m+2p≥1，则M≥5 设0@A.在A中任取一个x,x≠0，此时可证得-xcA,否则若-x CA.由于gA也其有性质P,则x+(-x)=0CRA,与0eA矛盾，故 当且仅当+2a+2p=1且m,P=号时，等号成立. xeA,由于A具有性质P,gA也具有性质P,所以(-x)2eA,x2∈A, 而(-x)2=x2.这与AntA=☑矛盾. 如取=np=写时可满足等号成立 故当0eA且A具有性质P时，CRA不具有性质P, 综上可知，sa,一6,1-e的最小值为了故答案为了 同理当0∈Cg4时，也可以类似推出矛盾，枚②错误： 对于③，取x,y∈A,∩A2,则xeA,xEA2y∈A1y∈A, 知识点二基本不等式 又A1A2具有性质P,所以x+yEA,灯EAx+yE小可@A2, 1.AC解析：对于A选项，因为x>0,2+2=2++1≥ 所以x+打EA,∩A,y∈AnA: 所以4，门42具有性质P,故③正确： 3·王3.当且仅当2上即=1时，等号成立.4 3 对于④，取A1=1xx=2k,4∈Z1.A2=1x1x=3k,k∈Z1.2∈A1 3∈A2,但2+3AUA2,故④错误，故答案为①③ 选项正确：对于B选项，因为0<1，所以2()宁· §3不等式 2-2≤·(2之厂产分组仅当=2-2a牌=号 3 知识点一不等式的性质 时，等号成立，B选项错误：对于C选项，因为>0，所以2+ 2g4 1.D解折：调为(+)）广=2++切+2如≥0， 3√3，当且议当子即=1时.等号成立.C 1 I+- 1以2≥0(2）-（2）-1 选项正确：对于D连项，因为0<1，所以：1-P=子·2x(1 当y=0时+y+2取到最小值，此时可得x2+:2=1故选D 2.A解析：因为c-b=4-4a+a2=(-2)2≥0.所以c≥b, (厂分组议有21博 b+c-(c-b)=2a2+2.即2b=2a2+2.所以6=a2+1. 所-(）广子0所n,甲≥旋适人 号时，等号皮立，D选项错说放选AC 2.B解析：因为ar=-1,所以在a,b.c中，负数的个数为1或3， 3.G≤H≤A 解析：由基本不等式可知G≤A,当且仅当4=b时.等号 又a+b+e=0,所以在a,b,e中，1个为负数.2个为正数，不妨设c<0, 成立： 侧ima,6c=6因为2Vd≤a+b=-e,所以b≤因为c<0,所 丙为-G+a6而=-2yb.6-6) 3 3 3 ≥0 以号≤-1，则≤好，放血a6,的能大值是-，无最小值故 当且仅当a=B,即a=6时，等号成立，所以H≥G: 选B 因为H-4+瓜6.a6a2瓜-b（后-≤0. 32 6 6 3.B解桥：D2D3变形为2-30,30 当且仅当a=v6,即a=b时，等号成立，所以H≤A 令a=2x-3>0,b=y-3>0. 综上所述，G≤H≤A,当且仅当a=b时等号成立，故答案为G≤H≤A 期(2x-3)(-3)≤8x3+y2-122-3y2可以转化为 45 解析：令b-a=m,c-b=n,1-心P, s8e2-122-3 ,即42 (2x-3)(y-3) 3234, 6=1-n-P, 其中m,n,P>0,所以 a=1-m-n- 其4三-a+32,302≥2v5,2v0 -32-3 6 b 参考答案黑白题095 a=3, 所议12所以 令三，放两个根的倒数和的最小值是 =(）24，·24，当且当3 即x=3, 6 a a6 子故毒取 y=6时，等号成立.可知素≤24，故选B 4.2解析：设a=1-6=1+,eR,则寸 2C解折：因为2≤≤33≤y<6,所以写≤<分所以1< x 2 a2+162+1(1-x)2+1 上3 1 2(x2+2) (0+x)+1-2x+2+2+2+2=(g-2+2)62+2+2 2(x2+2) 2 2 设1=子+2,1≥2.则原式P-4+88-4 又因为m0.且23.0，所m≥文（任}月 (x2+2)2-4(x2+2)+8 令1=y,则1≤1≤3，则原题意等价于对一切te1≤1≤3引，m≥1 2 +1,当且仅当1=8，即1=22时，等号成立故答 2恒成立 8 2 2 -4 因为函数y=1-子的图象开口向下，对称轴为直线=之 案为 所以当=1时，y=1-子取到最大值，即y=1-12=0, 故实数m的取值范围是[0，+).故选C 四方法总结 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积武“和将“积式”转化为“和 四方法总结 对Vx∈M八x)≥a但成立，等价千[U八x)]a: 式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决 对VxMx)≤a恒成立，等价于[/八x)门≤a 问的关健是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式 的切入点 3.√2解析：当a=0时，即不等式+e≤0的解集为R,则6=0，c≤0， 2.对于基本不等式，不仅墨记住原始形式，而且还要掌蓉它的九种 2布童义，此时<0，则=0当0时.若不等式 要使得 变形形式及公式的逆用等，间时还要注意不等式成立的条件和等号 成立的条件， r4r+e≤0的解集为R.则<0， 即c0, 所以 (4=b2-4c≤0，(b2≤4ac, 5.证明：(1)a23+62a3=a26(a+b)=2a2w2. 因为a>0.b>0,2=a+b≥2√ab,所以0<ab≤1， 2+2≤g因为6≤4e,所以0.当e=0时，6=0，此时 则a2b2≤1，当且仅当a=b时，等号成立，所以a2b+2a3≤2 b2 （2)426,62420_+2m2-2a2+2,6+262-262+2 0当e0时wo0,10.则5 =m2,26-2m2 a+26+2 a+2 b+2 a+2 62+2m-26 =a2+22-a)-2a2 +62+2(2-6)-26 (b2=4c, =02+2- b+2 a+2 b+2 =2,当且仅当 2上▣时，等号成立综上所述， 2a-10(a+2)2(6-10(b+22=a2+62-2(a+b-2)=2+b2。 2 2 a c a+2 b+2 面a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥4-（a+6 。+2的最大值为2.放答案为，2 =2=a+b,当且仅当a=6 2 时，等号成立，所以26,42≥a+ 4()( 解新：关于：的不家式流票0的 a+26+2 集为-2-U(2,3.用特换，不等式可以化为士 §4一元二次函数与一元二次不等式 +d 1.B解析：由题意可得4=(-k)2-4(+3)≥0.解得k≥6或k≤-2 +b (1+3=>0, 1 xe(-2,-1)U(2,3),所以 2crc1 设两个正根为，多，可得 解得k>0,综上可 te 《1·x2=+3>0. 知.素≥6 或-2< 即不等式品二0的解集为（） 1Ik1 两个根的倒数和为 3 1* (行)小故答案为()儿（位） 11 31 33 5.解：(1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元/平方米， 因为k≥6，所以6≤0.2≤0，故1+2≤0， 由题知[80-2(x-25)]x≥2000.即x2-65x+1000≤0.解得25≤x≤ 必修第一册，BS黑白题06 40,所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米 所以)（）是定值定值为4 (2)由题意得m≥200+00+2m+号(m2-600,整理得m≥ 1500+2m+5 m3m+2.又1500 m2,两边同除以m,得n≥1500,5 (3)解：由(2)知)+（日）=4，所以)+)=4,2)+ 5 3m+22 2Vm·3m+2=102,当且仅当1500.5 /15005 m厂云3m,即m三 ）43（号）=4.22)*()4，所以 30>25时，等号成立，所以≥102，放该种玻璃的销售量n(单位：万 2+2)+(）3)+(兮）+22(20ai)月 平方米)至少达到102万平方米时，才可能使2024年的销售收入不 低于2023年销售收人与2024年投人之和.此时的售价为30欧元/ 202)+/(20）-4202=808 平方米。 7 6.解：(1)当k2-2k-3=0时，k=-1或k=3,当k=-1时，1>0恒成立， 2.解：(1)因为当x=6时，4=千 当=3时，4+10→9不恒成立，备去：当-2水-30时， 所以(3）[](3)子]小 k2-2k-3>0. 13 解得k> 或k<-L.综上可知，k的取值范 (k+1)2-4(k2-2k-3)<0, 3 所以⅓(3）5(()）(）3=a 圈是{女≤1或} (2)因为f(x)=[4x]=1,g(x)=4x-[4x]=4r-1, 3 所以5(x)=(4x-1)=[16x-4]=3 (2)根据不等式解集的形式可知2-2必-3>0一k>3或<-1.因为不 1≤4x<2, 等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，即(k2-2弘-3)x2+(+ 所以 解得 3写16x-4<4 6≤2 (+1)2-4(2-2k-3)>0. +1 放清足题意的x的取值范围为62) 「71 1)x+1=0(k=R)有两个不相等的负根.即 -2-30. 知识点二函数的表示法 -2-30. 1.ABC解析：对于A,由集合A的特征函数的定义可知A不为空集， 解得3k<号综上可知，k的取值范周是{3<号} 圳AnB不为空集，如图所示，I部分表示AnB,Ⅱ表示An(CRB), Ⅲ表示表示Bn(CA),N表示(CA)n(CRB). (3)存在根据题意可知，得出解集1=xx>,-1≤1<1，当2-2- R 3=0时，解得k=3或=-1，当春=-1时，1>0恒成立，不满足条件， 当=3时，不等式的箭集是{：}，满足条作，肖-2止-30 时，此时一元二次不等式的解集形式不是xx>的形式，不满足条 当x后AnB时x)=1,g(x)=1,故x)g(x)=1. 件：当2-2k-3<0时.此时一元二次不等式的解集形式不是{xx> 当x生A门B时八x),g(x)中至少有一个为0，此时爪x)g(x)=0, 的形式，不满足条件综上，满足条件的。的值为3 符合特征函数的定义，即y=八x)g(x)是集合A门B的特征函 第二章 函数 数，A正确： 对于B,当x题AUB时， §1生活中的变量关系日§2函数 若x取值在1部分，则f(x)=1.g(x)=1,则八x)+g(x)- fx)g(x)=1: 知识点一函数概念 若x取值在Ⅱ部分，则∫(x)=1,g(x)=0,则(x)+g(x)- 1.(1)解：因为x)=1+ +x fx）g(x)=1: 若x取值在Ⅲ部分.则∫(x)=0,g(x)=1,则八x)+g(x)- 所以2)+八) 3+2 3+25,7 f八x)g(x)=1. 1+2 1+ 33=4 当x任AUB时/x)=0,g(x)=0,则x)+g(x)-x)g()=0, 2 符合特征函数的定义，即y=f代x)+g(x)-x)g(x)是集合AUB的特 3+x (2)证明：因为x)严1 征函数，B正确： 3￥1 对于C,当xeAn(CgB)时fx)=1,g(x)=0,则fx)-f代x)g(x)=1: a3+a.30+1_4n+4 所以a)+a1+a1+工i+aa*1a+=4, 当x住A门(CgB)时，即x取值在I,Ⅲ，W部分， 若x取值在1部分x)=1,g(x)=1,则代x)-八x)g(x)=0 参考答案黑白题097