第1章 1.2 集合的基本关系-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

1.2集合的基本关系 白题 基础过关 限时：25min 题组1子集的概念 A.M=(0,1),N=(1,0) 1.对于集合A,B,“A二B不成立"的含义是( B.M=11,01,N={(x,y)1x=1,y=0 A.B是A的子集 C.M=xlx2-4x+4=0},N={2 B.A中的元素都不是B的元素 D.M=☑，N=☑} C.A中至少有一个元素不属于B 7.(2024·广东惠州高一月考)若集合A={a2, D.B中至少有一个元素不属于A 2.(2023·江苏常州高一月考)已知集合A= a+b,0,集合B={a,,且A=B,则a四+ a {xeN1x<3,则 b2024= A.0A B.-1∈A A.1 B.-1 C.2 D.-2 C.0 CA D.-1 CA 重难聚焦 3.(2024·山东济宁高一期中)已知集合A=x 0<x<a,B=x1<x<3,若BCA,则实数a的 题组4子集的个数 取值范围为 8.(2024·云南楚雄高一月考)已知集合A= 题组2真子集的概念 {xx2-7x<0,x∈N},则集合A子集的个 4.(多选)(2024·山东青岛高一月考)下列说 数为 A.4 B.8 C.16 D.64 法正确的有 ( 9.若集合A={x∈Z1m<x<4}有15个真子集， A.集合11,2,4,5}有16个真子集 则实数m的取值范围为 B.对于任意集合A,⑦CA A.{ml-1≤m<0 B.|ml-1<m≤0 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 C.{ml-1<m<0 D.{ml-1≤m≤0 10.（2024·四川宜宾高一期末)定 D.若☑系A,则A≠☑ 义AB=ZIZ=xy+1,x∈A, 5.(多选)(2023·河北石家庄高一月考)已知集 yeB,设集合A=10,1|,集合B=1,2. 合M=12,4{,集合MCN,N是{1,2,3,4,5} 3,则A*B集合的子集的个数是() 的真子集，则集合N可以是 ( A.14 B.15 C.16 D.17 A.{2,4 B.2.3,4 题组5根据集合间的关系求参数 11.(2024·河南信阳高一期末)已 C.11,2,3,4 D.1,2,3,4,5 知集合A={-1,3,2m-1,B= 题组3集合的相等 3,m2,若B二A,则实数m= 6.(2024·河北石家庄高一月考)下面选项中的 12.已知a是实数，若集合xlx2+x+a=0是任何 两个集合相等的是 ( 集合的子集，则a的取值范围是 必修第一册：BS黑白题004 黑题 应用提优 限时：30min 1,已知集合A=1,2,A二B,则B可以为( 7.(2023·湖南长沙高一月考)集合P具有性质 A.13} B.11,3,4 “若x∈P,则二∈P”,就称集合P是伙伴关系 C.2 D.1,2,3 2.(2024·湖南长沙明德中学高一期末)以下五 个式子中，错误的个数为 ( 的集合，集合4={-1.0，写31.23,4的所 有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为 ①11∈0,1,2：②11，-3}={-3,1}：③{0， 1,2}C{1,0,2:④☑∈{0,1,2：⑤☑e01. ( A.3 B.7 C.15 D.31 A.5 B.2 C.3 D.4 8.(2024·山西太原高一月考)若存在一个集 3,(2023·湖北武汉高一月考)已知集合A={1, 合M,M同时满足如下的两个条件：(1)M□ a,b,B={-1,a2,b2},若A=B,则a·b= 11,2,3,4,5:(2)若a∈M,则6-a∈M.写出 一个满足要求的M为 ,非空集合M A.1 B.0 的个数为 C.-1 D.无法确定 9.已知集合A={x∈R1ax2+2(a+1)x+a=0}没 4.(2024·河北石家庄高一月考)已知集合{a, 有非空真子集，则实数a构成的集合 b,c={-1,0,1,若下列三个关系有且只有 为 一个正确：①a≠-1：②b=-1:③c≠0，则 10.设集合A=x-1≤x+1≤6}，B=x|m-1< a20m-2b+4c= ( x<2m+1,当xeZ时，集合A的非空真子集 A.2 B.3 C.5 D.8 的个数为 :当BCA时，实数m的取 5（多选)若集合A={xx=m 6,m∈Z},B= 值范围是 11.设a(i=1,2,3)均为实数，若集合a1,a2,3} {=mez.c={2 26,ke 的所有非空真子集的元素之和为12，则a,+ a2+a3= Z},则A,B,C之间的关系是 12.(2024·广东佛山高一期末)设集合A={xx2 A.A=B=C B.B=C 5x+6=0,xER,B=xlax-1=0,xER. C.ACB D.BCA 6.(多选)(2023·河南开封高一期中)当两个集 (1)若a=,试判断集合A与B的关系： 合中一个集合为另一个集合的子集时，称这 (2)若BA,求a的值组成的集合C. 两个集合构成“全食”：当两个集合有公共元 素，但互不为对方子集时，称这两个集合成 “偏食”对于集合A=(-20,)1,B=x (ax-1)(x+a)=0,若A与B构成“全食”或 “偏食”，则实数a的取值可以是 ( A.-2 C.0 D.1 进阶突破拔高练P01 第-章黑白题0050,得a=1,集合A只有一个元素x=-1,A中只有一个元素时a=0 9.解：(1)1▣ 或a=1. 君签有e有v短 (2)A中至少有一个元素包含两种情况：一个元素和两个元素，A中 √9-2w8=√8-28+1=√(8-1)2=8-1=-1+2w2..1eA. 有两个元素时，a≠0并且4=4-4a>0.得<1且1≠0.再结合A中 1=(1-32)子=19-6W23eA.综上1gA,26,x3后A 有一个元素的情况.∴，a的取值范围是1ula≤1. 21,③解析：本题属于新定义问题.采用特殊值可快速判斯，1+4= (2)任取，。eA,设1=m1+n12,2=m2+n22,m1,,m2,n2∈ 5年M,此集合对加法运算不是封闭的：4-1=3华M,此集合对 Z,则x1+2=(m1+n1√2)+(m2+22)=(m1+m2)+(n1+m2）2, 减法运算不是封闭的：9÷4=2.25M,.此集合对除法运算不是 其中m1+m2,月，+∈Z,1+2eA 封闭的：对于任意两个正整数a和6，a2和2在集合M中，而 x12=(m,+n12)(m2+42V2)=(m1m2+2n1:）+(mn2+ (ab)2=ab2也在集合M中，因此M对乘法运算是封闭的 m2n1)2, 黑题 应用提优 其中m,m2+2m1n2,m12+m2n1∈乙x1∈A 1.BCD解析：对于A,集合xeN1x=x中只含有两个元素0和1，所 综上，，+3EA,1为∈A 以用列举法表示为0.1，故A正确：对于B,R就表示实数集.实数 压轴挑战 集用引R:为错误表示，另外花括号具有“所有的”意义，描述内容中不 解：(1)不能.理由：假设A中仅含一个元素不妨设为a,则a∈A,有 能再出现=所有“字眼，故B皓误：对于C,解集应为{( /∈4，又A中只有一个元素.a=,,即2-红+1=0，但此方程4< )}放C信误：对于D,集合y=引为y的取值集合，集合 0,即方程无实数根.“不存在这样的实数：，故A不可能是单元素集合 (2)A中所含元索个数一定是3n(m后N)个.证明：~1年A,x∈A, 1(x,y)y=x2|表示点集.所以两个集合不是同一个集合，故D错误， 1x-1 故选BCD. 六A, 1- 1￥ 可.散对于4，一定有号。有 2.C解析：因为A=x12-4=01=-2.21,所以2∈A,-2eA,4gA, -x 故AD错误：12是集合，不是元素，故B错误故选C 1x-1 和eA下证户下 互不相等当x时.2-x+1=0.4=1-4长】 3.C解析：由x2=2x,解得x=2或x=0,所以方程x2=2x的所有实数 根组成的集合为{xeR1x2=2x=0,2,故选C 0.,方程子1=0无解当x号时2-41=0d=1-40. 4.D解析：因为集合A=|4,a2+2a,2a+11.且3∈A.所以u2+2a=3 或2a+1=3.当a2+2a=3时.a=1或a=-3.当2a+1=3时.a=1.当a= 方-10无第当时-1-0d1-40 当 1时，a2+2a=2a+1=3.集合A中的元素不满足互异性：当a=-3 方程2-x+1=0无解4≠ 。·1中所含元素个数一定是 时，A=4,3,-5引，符合题意.综上，a=-3.故选D. 3n(#gN")个 5.C解析：A=1xlx2≤4|={x1-2≤x≤2，B=1 xIx E N°且x 1E.B=1,2,3,故选C 1.2集合的基本关系 6.ACD解析：2022=4×505+2，所以2022∈A2,故A正确：若a+ bE4,则a∈A,bEA或a∈A2,beA,或a∈Ao.bEAy或aEA5 白题 基础过关 beAo,故B错误：-1=4×(-1)+3，所以-1EA,故C正确：令a= 1.C解析：ACB成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B 4n+.b=4m+k,m,n∈Z,则a-b=4(n-m)+0,n-m∈Z,故a-b∈A0, 的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B.故 故D正确.故选ACD. 选C 7.-1解析：因为2-meA,所以2-m=1或2-m=2或2-m=3,解 2.C解析：集合A由小于3的自然数组成，0EA,-1庄A,只有C正确. 得m=1或m=0或m=-1.因为n+2A,所以n+2=1或#+2=2或 故选C. 4+2=3.解得n-1或n=0或4=1，又因为B=|1.m.|,所以 3.1ala≥3引解析：由题意可知3≤a.故答案为ala≥3 (m=0,(m=-1, 4.BCD解析：集合11,2.4,51有4个元素，故其有24-1=15（个）真子 或 即m+n=-1.故答案为-1. (n=-1(n=0, 集，故A错误：空集是任何集合的子集，则☑GA.故B正确：空集是 8.10,1川（或1-1,1）解析：不妨设S=1a,b,根据题意有a2,ab. 任何集合的子集，是任何非空集合的其子集，故C正确：空集是任何 2∈S,所以a2,2,b中必有两个是相等的. 非空集合的真子集，若②年A,则A≠⑦，故D正确.故选BCD 若a2=2.则a=-b.故b=-a2,又a2=a或a2=b=-a,所以a=0(舍 5.ABC解析：集合M=2,4,集合MGN|1,2,3,4,5引，则集合N中 去)或a=1或a=-1.此时S=-l,: 至少包含2,4这两个元素，又不能等于或多于11,2,3.4,5中的元 若a2=ab,则a=0,此时b2=b,故6=1，此时S=10,1: 索，所以集合N可以是2,4|，2,3,4,11,2,34.故选ABC 若2=山，则6=0，此时a2=4,故4=1，此时S={0.1: 6,C解析：A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是 综上，S={0,1或S=-1.1.故客案为0.1川（成1-1.1） 相等集合，故A错误：B.集合M表示数集，有2个元素，分别是1和 必修第—册·BS黑白题002 0,集合N是点集，只有1个元素，为(1,0)，所以不是相等集合.故4.B解析：假设①a≠-1错，②b=-1错，③c≠0对，因为红，b,c= B错误；C.x2-4x+4=0,得x=2.即M=N=2,故C正确：D.集合M -1,0,1,所以有a=-1,b=0,e=1,此时a2心-26+4=-1+4=3：服 是空集，但集合N是非空集，里面有1个元索☑，所以不是相等集合， 设①a4-1错，③c≠0错，②6=-1对.因为a≠-1错，必有a=-1,面 故D错误，故选C b=-1.不符合集合元素的互异性，假设不成立：假设②b=-1错， 1.B解析：因为A=B,根据题意a≠0.故上=0=b=0.所以1a.0,1= ③c≠0错，①a≠-1对.因为c≠0错，所以e=0,因为6=-1错.所以 b≠-1对.而a≠-1对，因此只能=b=1,不符合集合元素的互异 1a2.a.0,则a2=1.即=±1，当a=1时.与集合的互异性矛盾.故舍 性，假设不成立综上所述：a2心-2h+4e=3.故选B 去：当a=-1时，1-1,0,1=1.-1,0，符合题意，所以a2m+ 624=-1.故选B .m E 6 重难聚焦 8.D解析：A=xx2-7x<0,x∈N·1=11,2,3.4,5.6,即子集的个数 为2=64.故选D. 为奇数n为整数A年B,即ASB,A,D错误，C正确：又C={x 9.A解析：因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所 以-1≤m<0. x=- 2 6 10,C解析：因为AB=1,2,3,4,所以A◆B集合的子集的个数 数，B=C.B正确故选BC 是2=16，故选C 6.BCD解析：当a=0时，B=xI(nr-1)(x+a)=0=|0,当u≠0时. 11,1解析：由题知A=1-1,3.2m-1,B=|3.m21,若B二A.则m2=-1 或m2=2m-1.当m2=-1时.方程无解：当m2=2m-1时，m2-2m+ B=(-1+o)=0={-a,}对选项4：若a=-2.则8 1=0,解得m=1,此时，A=1-1,3,1,B=3,1,符合题意，所以m= 1.故答案为1 {2,},此时A和B授有公共元素，不满是条作：对选项B:若 2{o} 解析：由题意可知，集合x1x2+x+a=0是空集.即 a=子则8={-2，}此时8cA,满足条件：对洁项C:者a=0, 方程r+r+a=0无解，则1=-4<0，解得a>4,所以a的服值范 B=0,此时BCA,清足条件：对选项D:若a=L,则B=-1,11,此 时A和B有公共元素1，满足条件故选BCD 国值是a>故答案为{心} 7.C解析：根据条件可知满足伙伴关系的集合里面有-L,1,了，3， ①重难点拨 1.若BCA,应分B=O和B≠⑦两种情流讨论. 子2中的某些元案，写和3，号和2都以整体出现，将号和3看皮 2.已知两个集合问的关系求参数时，关使是将两个集合问的关系 一个元素，和2也看成-个元素共有4个元素 转化为元素或区间端点间的关系.进而转化为参数满足的关系，解 :集合是非空集合，有2-1=15（个）.故选C 决这类何题常常要合理利用数轴、Vem图，化轴象为直观进行 8.1,2,3,4,5引（特合题意即可）7解析：根据题意可知，若满足 解 “a后，则6-∈”，则1和5,2和4必须同时属于某一集合，所以 黑题 应用提优 非空集合M可以是3,11,5,2,4,3,1.5.1,5,2,41，{3,2， 1.D解析：由A=11,21,ASB可知B中包含元素1和2.所以B可以 4,11,5.3,2,41.共7个 为11.2,31 解析：因为集合A=1x∈R1x2+2(a+1)x+ 2.C解析：对于①，集合与集合的关系是包含和包含于的关系，根据子 =0!没有非空真子集，所以集合A中元素的个数为1或0.当集合A 集的定义知1二0.1.2，错误：对于②，两集合元素相同，所以两 中元素的个数为1时.若a=0,则有2x=0.解得x=0,符合题意，若 集合相等，即1，-3=-3,1|，正确：对于③.由子集性质知，任意果 合是本身的子集，所以10,1,2}911,0,2，正确：对于④，空集是 00.则有14(a12-如=0，解得a=子：当集合A中元素的个 任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以☑C0,1.2引，☑二 (4=4(a+1)2-4a2<0 10,错误综上，五个式子中错误的个数为3故选C 数为0时 a≠0， 解得a<综上a=0或a≤ 3.B解析：由A=11,a,b可知a≠1，b≠1，因为A=B.所以a2=1或 2=1.当a2=1时.得a=-1或a=1(会)，则6=b2,解得b=0或b=1 子甲实数a构成的集合为{如a≤或a=0}故答案为{。 (舍)，此时A=1,-1.0,B=-1,1,0:,符合题意，此时a·b= (-1)×0=0:当62=1时，得6=-1或6=1（含）.则a=a2,解得a=0 a≤或a=0} 或■1（舍）.此时A=1.0,-1,B=-1.0.1{,符合题意，此时a· 10.2541mlm≤-2或-1≤m≤21解析：易得A={x1-2≤x≤5： 6=0×(-1)=0.综上所述.a·b=0.故选B 若x∈Z.则A=1-2.-1,0,1,2,3,4,5.即A中含有8个元素： 参考答案黑白题003 A的非空真子集的个数为2”-2=254： 所以NU(CM)=U,故D正确.故选D ①当m-1≥2m+1.即m≤-2时，B=⑦，BCA: 10.9解析：如图，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9（人）.故答案 2当m>-2时.B=|xlm-1<x<2m+1|*☑. 为9 (m-1≥-2. 因此，要使BCA.则需 解得-1≤m≤2 2m+1≤5， 综上所述，m的取值范围是-1≤m≤2或m≤-2. 故答案为254：m1-1≤m≤2或m≤-2引. 11.4解析：集合a1,a2,a3的所有非空真子集为a1.1@2,1a3, 11.D解析：因为AUB=A.所以BCA.当B=⑦时，4=2-16<0.即 a,2.a1a3.a2,a3,由题意可得3(a1+a2+a3）=12,解得 -4<a<4,满足题查：当B≠⑦时，若4=a2-16=0,则a=-4或4，当 口1++a1=4.故答案为4. a=-4时，B=-2,满足题意：当a=4时.B=12引，满足题意：若△= 12.解：(1)A=1xlx2-5x+6=0,xGR.B=1xlam-1=0,xeR|, a2-16>0,则-2,2是方程x2-ax+4=0的两根，显然-2×2=-4≠4， 当a=2时，A=2.3到，B=21B是A的直子集 故不合题意综上，实数a满足：1-4≤a≤41.故选D (2)A=12,3.若a=0,则B=☑.B是A的真子集成立 12.mm≥2引解析：由已知A=xx≥-m,所以C,A={xx<-m.因 为B=x1-2<x<41.(CA)nB=O,所以-m≤-2，即m≥2，所以m 若a40,则8={日}B是A的真子集。 的取值范国是m≥2，故答案为mm≥2. =2或3.=子或a=了的值组成的集合={0, 四方法总结 1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面科用集合元案的 } 互异性能顺利找到解题的切入点：另一方置，在解答完毕之时，注意 栓检集合的元素是否满足互异性以确保答案正确， 1,3集合的基本运算 2,对连续数集阿的远算，借助数轴的直观性，进行合理转化：对已知连 续数集间的关系，求其中参数的取值范困时，要注意单独考察等号能否 白题基础过关 取到， 1.C解析：由B=x1-2cx<2,xeZ=|-1,0,1},所以AUB=1-1.0. 3.对离牧的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Vm图.这是数 1.2故选C. 形结合思想的体现 2.D解析：因为集合A=10.1,AUB=10.1.则BCA.所以集合B 可能的情况有10！，11,0.1，☑，共有4个.故选D 黑题 应用提优 3.C解析：由题意得x=1是x2-4x+m-1=0的解，×1-4+m-1=0,解 1.BCD解析：由A∩B=②，得a+2≥3.a≥1.则A错误：由a>1.得B= 得m=4,.B=1x1x2-4x+m-1=0=1xlx2-4x+3=0=1,3. xx>3,从而AnB=O,则B正确：由AUB=R.得a+2<3,a<1,则 4D解析：设集合M,N分别有m,n(m,neN)个元素，由题意可 C正确：由<I,得AUB=R,则D正确.故选BCD 知m≥3，≥3，m+n-3✉7.即m=10-n,当且仅当n=3时，m取到最 2.A解析：由题知M=11,2.N=14.8{..C(MUN)=16.故选A 大值7，即集合M的元素个数最多有7个，所以集合M的子集个数最 3.B解析：由题设知2是方程x2-3x+1=0的解，将x=2代人方程，得 多为27=128（个）.故选D. 1=2.所以x2-3x+2=0的解为x=1或x=2,所以B=1.21.所以AU 5.(1)|xlx≥3或x<2(2)ala≤0或a≥4解析：(1)当a=3时， B=1,2,3,4.故选B 集合A=1xlx≥3或x≤1|，B=x0<x<2,所以AUB={xIx≥3或 4.ABD解析：4=}xlx2-8x+15=01=}3,5,因为AUB=A,所以BCA x<2,(2)因为A∩B=B.所以BA.于是有a≤0或2≤a-2.即a≤0 若B=⑦，则a=Q若B=3,则3a-1=0,解得a=了若B=5,则 或a≥4，因此实数a的取值范围为ala≤0或a≥4. 6.D解析：由题设C,M=11,2,8},C,N=12.4,81,所以(C,M)U a-1=0.解得a=号放a=号或或0，放选Am (CN)=1,2,4,81.故选D. 5.D解析：AnB=3,5,故A错误：AUB=12,3,5,8,放B错误：A门 7,B解析：集合A=x-1写x≤2，B=xlx<1,则CgB=xx≥ (CB)=12,故C错误：Bn(CgA)=|8,故D正确.故选D. 1,AU(CB)=xlx≥-1.故选B. 四重难点拨 8.C解析：根据题意，阴影部分为集合M的外部与集合N、集合P交 1,进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化筒的先化筒，再研究 集的公共部分，即(CM)O(NOP).故选C 其关系并提行运算」 9.D解析：如图，因为MN,所以MU围 2注意数形结合思想的应用. N=N≠U,故A错误：因为(CN)U(C,M)= (1)离散型数集或轴象集合间的运算，常借助Venn图求解： C(MnN)=CM≠U.故B错误：因为MN至U. (2)连续型数集的还算，常借助数轴求解，运用数轴时婴特别注意 所以MU(CN)≠U.故C错误：因为MNU. 端点用实心点还是空心图表示。 必修第一册，BS黑白题004