第1章 1.1 集合的概念与表示-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

第一章 预备知识 81 集合 1.1 集合的概念与表示 白题 础过关 限时:25min 题组1 集合的概念与元素的特征 (2)设集合V为所有四边形组成的集合,集 1.(多选)(2024·江西景德镇高一期中)下列各 合N为所有平行四边形组成的集合;p表 组对象中,可以组成集合的有 ( _ 示某个梯形,。表示某个正三角形,则 A. 高中数学必修第一册课本中所有的难题 M;p. N; P M. B. 2023年参加杭州亚运会的全体运动员 8.(2024·山东滩坊高一期中)已知集合M= x C. 小于9的所有素数 x+2.2,若0=M.则x= D. 高一年级视力比较好的同学 9.已知集合A中的元素x满足x=n^{}-n^②}(n.n 2.(2024·河北邢台高一期中)英文单词 Z).试判断下列元素与集合A之间的关系 excellent的所有字母组成的集合共有( _~ (1)0; B.7个元素 A.6个元素 (2)3; C.8个元素 D.9个元素 (3)4; 3. 由a.lal,-a组成集合A.则集合A中的元素 (4)已知一个元素aeA,试判断-a与集合A 最多有 ) ( 的关系,并说明理由 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(2024·安徽铜陵一中高一月考)已知正数集 合A=a,,,l,则以,,,a为边 ( 长构成的四边形可能是 ~ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 题组2 元素与集合的关系 题组3 集合的表示方法 5.(2024·河北保定一中高一月考)下列选项 10.集合1.3.5.7用描述法表示应为 _~ ( 中正确的是 _。 A. xlx是不大于7的非负奇数 A. 2eN B. 0eN B. xl1<x>7 C. alea,b,cl D.0= C. xlxEN且x<7 6.(2023·江西上饶高一月考)若A=|(2,-2), D. xlxE乙且1<x<7 ) (2.2).则集合A中元素有 11.(多选)(2024·陕西汉中高一期中)下列说 A.1个 D.4个 ( B.2个 C.3个 法中不正确的是 ) 7.用符号“=”或“”填空。 A.0与0表示同一个集合 (1)集合A中的元素x满足x=5+2.keZ.则 B. 集合1.2.3与3.2.1是两个相同的 A. 3 A;-3 集合 第一章 黑白题001 C. 方程(x-1)(x-2)=0的所有解组成的集 重难聚焦 合可表示为1.1,2 题组5 根据元素与集合间的关系求参数 D. 集合x14<x<5可以用列举法表示 $8.设集合$A=-4.2a-1,2,B=9.a-5.1 12.(2024·重庆南开中学高一月考)下列集合 al,且A.B中有唯一的公共元素9.则实数 中表示同一集合的是 ) a的值为 _. A.M=(3.2) ,N= (2.3) 19. 已知集合A=xlx-2x+a>0,且1A.则 B. M=(x,)lx+=1./=ylx+=1 实数a的取值范围是 C.M= 1.2,V=(1.2) 20.(2023·江苏连云港高一期中联考)已知集 D. M=$vly=x$}+3 V=xly=x-3$$$ 合A=xlax2}+2x+1=0.aER. 13.设集合A={2,4l,B=1,2,集合M={22= (1)若A中只有一个元素,求a的值 (2)若A中至少有一个元素,求a的取值 范围. _~_ A.3 B.5 C.7 D.9 14.(2023·湖北十堰高一月考)设集合B= #1 #. (1)试判断元素1和2与集合B的关系; (2)用列举法表示集合B 题组4 空集与区间的表示 15.(多选)(2024·广东广州高一月考)给出下 ( 列四个集合,其中为空集的是 ) A.{ B. xERlx+x+1=0 (_0 题组6 集合中的新定义问题 21.集合M由正整数的平方组成 即M=1.4.9,16.25.... .若对 D. xERllxl<0 某集合中的任意两个元素进行某种运算. 16.(2024·河北石家庄高一期中)xl0<x 运算结果仍在此集合中,则称此集合对该 2024用区间表示为 ;xlx<2023{ 运算是封闭的,V对下列运算是封闭的 用区间表示为 是 .(填序号) 17.(2024·山东青岛高一月考)已知区间(4p- ①加法;②减法;③乘法;④除法 1.2p+1),则p的取值范围为 必修第一册·BS 黑白题002 应用提优 限时:30min 1.(多选)(2023·福建泉州高一期中)给出下列 7.(2023·河南南阳高一期中)已知集合A= 说法,其中不正确的是 1.2.3 ,B= 1.m.n ,若2-mEA,n+2e/.$$ A. 集合xENlx=x用列举法表示为0.1 则m+n= B.实数集可以表示为xlx为所有实数或R 8.(2023·广东惠州高一期中)非空有限数集s [x+y=0. 满足:若a.beS.则必有a2,b,abeS.则满足 C.方程组 的解组成的集合为x= -y=-1 条件且含有两个元素的数集S= .(写 1 出一个即可) 9.已知集合A是由元素x组成的,其中x=mt D. 集合yly=x2}与 (x,y)ly=x是同一个 n/2,m.nE乙 集合 ( 2.若集合A-{xx*-4-0,则 _二 A.4EA B.(2EA (1-3v②),试判断x,x,x.与A之间的 C.2EA D.-2A 关系; 3. 方程x2=2x的所有实数根组成的集合为 _ (2)任取x,xA,试判断x.+x,xx与A之 A.(0,2) B. (0,2)) 间的关系. C. 0,21 D. 2=2x{ 4.(2023·湖北孝感高一期中联考)已知集 合A=4.a2+2a.2a+1,且3EA.则a= 。 __ A.1 B.-3或1 压轴挑战 C.3 D.-3 5.(2023·湖南衡阳高一月考)已知集合A= (2024·福建厦门高一月考)已知由实数组成 xl<4.集合B=xlxEN*且x-1EA .则$ B= (1)A能否是仅含一个元素的单元素集,试说明 A.0.1 B. 0,1,2{ 理由; C. 1,2,3/ D. 1.2,3,4{ (2)A中含元素个数一定是3n(neN)个吗? 6.(多选)(2023·河南洛阳高一月考)设所有被 若是,给出证明:若不是,说明理由 4除余数为h(k=0.1.2.3)的整数组成的集合 为A..即A.=xlx=4n+k,nEZ ,则下列结论 中正确的是 __ A. 2022eA. B. 若a+bEA.,则aEA.,beA C.-1eA. D. 若aEA,bEA,则a-beA 进阶突破 拨高练P01 第一章 黑白题003正文参考答案 第一章预备知识 故M,N为不同集合，故A错误：对于B,M是点集，N是数集， §1集合 故M,N为不同集合，故B错误：对于C,M是数集，N是点集。 1.1集合的概念与表示 故M,N为不同集合，故C借误：对于D.M=1y1y=2+3=y1y≥ 白题基础过关 3引，N=x=√-3|=xIx3引，故M,N为同一集合，故D正确 1,BC解析：A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合，B选项， 故选D. “2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合.C选项.“小 13.C解析：当x=2,y=1时，z=2:当x=2.y=2时.：=1：当x=4.y=1 于9的所有素数”是“2,3,5,7”，可以组成集合.D选项，“视力比较 时，=4：当x=4,y=2时.2=2，所以M=1,2,41,M中所有元素之 好”无法确定，所以不能组成集合.故选C 和为7.故选C 2。A解析：exeellent的所有字母组成的集合为e,x,e,L,n.t,共有 14,解：)当x=1时，2412eN: 6个元素，故选A 3.C解析：根据集合中元素的互异性可知，集合A中的元素最多有 当=2时2名子eN.所以1eR2e 2个.故选C. 4,D解析：根据集合中元素的互异性可知，构成的四边形边长都不相 （26的因数有1,23.6，面eN,令=0,14代人eN检验，可 等，其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四 得B=0.1,4. 边可能互不相等，故可能为梯形故选D 15.BCD解析：对于A,表示集合中的元素为空集，做A不是空集：对 5.B解析：对于A,2不是自然数，故A错误：对于B,0是自然数，故 于B,集合中的元素为方程x2+x+1=0的实数根，4=12-4=-3< B正确：对于C,集合之闻不用属于符号，故C错误；对于D.0不属于 0.方程2+1=0无实数根，故B为空集：对于C,方程x=-」 空集.故D错误，故选B 无实数解，故C为空集：对于D,不等式1xI<0的解集是空集，故D 6.B解析：因为A=1(2.-2).(2,2).所以集合A中有(2，-2)， 为空集，故选BCD. (2,2)两个元素.故选B. 16.(0.2024](-,2023)解析：1x0<x≤20241=(0,2024].x 7.(1)年e(2)e￥ x<2023引=(-，2023).故答案为(0.2024]：(-，2023). 解析：(1)令5k+2▣3，得k没有整数解，故3A:令5让+2=-3，得- 17.(-0,1)解析：由题意，区间(4p-1,2p+1)满足4p-1<2p+1,解得 -1.故-3eA.(2)梯形是四边形但不是平行四边形.故n∈1. p<1,即p的取值范围为(-x,1).故答案为(-x,1). V:正三角形不是四边形.故g年M. 重难聚焦 8.-2解析：因为0eM,若=0，则x+2=2,与集合中元素的互异性矛 盾，因此x≠0：若x+2=0.则x=-2,此时M=}-2,0,2引，满足题意.故 18.-3解析：：A=|-4,2a-1.421,B=19,1-5,1-4,且A,B中有唯 答案为-2 一的公共元素9.2a-1=9或a2=9.当21-1=9时，4=5，此时A= 1-4,9,25引，B=9,0,-41,A.B中还有公共元素-4，不符合题意：当 9.解：(1)，0=m2-m2(meZ)..0eA (2)3=22-12(2,1=Z).3EA a2=9时，a=±3，若a=3,则B=9,-2,-2,集合B违背互异性若 (3)4=22-02(2.0eZ),∴.4eA a=-3,则A=-4.-7,9,B=19.-8,41,A∩B={9满足题意. (4)-@A理由：由于：A,则一定存在m,neZ清足a=m2-n2,因 六a=-3.故答案为-3. 此-a=m2-m2,结合m,neZ可知-eA 四重难点拨 10.A解析：对于A选项集合中的元素为1,3,5,7，符合题意.对于B 【,研究集台何题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该 选项，集合中的元素还包括2,4,6以及分数和无理数，不符合题意 集合是数集，点集，还是共他集合：再看集合的构战元素满足的限制 对于C选项，集合中的元素还包括0,2,4,6，不符合题意对于D 条件是什么，从而准确把握集合的含义 选项，集合中的元素还包括2,4,6.不符合题意故选A. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数 11.ACD解析：0是元素不是集合，01表示以0为元素的一个集合， 时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性， 故A铅误：集合11,2,3与3,2,11的构成元素完全相同，所以是 19.1a1a≤11解析：根据1￥A,可知元素1不满足x2-2x+a>0.故问 两个相同的集合，故B正确：方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成 题可转化为元素1满足不等式x2-2x+≤0.即1-2+≤0.解得 的集合可表示为1,2，集合中的元素是不同的，故C错误：集合 a≤1. x14<x<5引表示大于4且小于5的全体实数，有无数个，不能一 列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误故选AC). 20解：()由题意，当a=0时，21=0，得=子集合4只有-个元 12.D解析：对于A,两个集合都为点集，(3,2)与(2,3)是不同点， 素，满足条件：当a≠0时，x2+2x+1=0为一元二次方程.4=4-4a= 参考答案黑白题001 0,得a=1,集合A只有一个元素x=-1,A中只有一个元素时a=0 9.解：(1)1▣ 或a=1. 君签有e有v短 (2)A中至少有一个元素包含两种情况：一个元素和两个元素，A中 √9-2w8=√8-28+1=√(8-1)2=8-1=-1+2w2..1eA. 有两个元素时，a≠0并且4=4-4a>0.得<1且1≠0.再结合A中 1=(1-32)子=19-6W23eA.综上1gA,26,x3后A 有一个元素的情况.∴，a的取值范围是1ula≤1. 21,③解析：本题属于新定义问题.采用特殊值可快速判斯，1+4= (2)任取，。eA,设1=m1+n12,2=m2+n22,m1,,m2,n2∈ 5年M,此集合对加法运算不是封闭的：4-1=3华M,此集合对 Z,则x1+2=(m1+n1√2)+(m2+22)=(m1+m2)+(n1+m2）2, 减法运算不是封闭的：9÷4=2.25M,.此集合对除法运算不是 其中m1+m2,月，+∈Z,1+2eA 封闭的：对于任意两个正整数a和6，a2和2在集合M中，而 x12=(m,+n12)(m2+42V2)=(m1m2+2n1:）+(mn2+ (ab)2=ab2也在集合M中，因此M对乘法运算是封闭的 m2n1)2, 黑题 应用提优 其中m,m2+2m1n2,m12+m2n1∈乙x1∈A 1.BCD解析：对于A,集合xeN1x=x中只含有两个元素0和1，所 综上，，+3EA,1为∈A 以用列举法表示为0.1，故A正确：对于B,R就表示实数集.实数 压轴挑战 集用引R:为错误表示，另外花括号具有“所有的”意义，描述内容中不 解：(1)不能.理由：假设A中仅含一个元素不妨设为a,则a∈A,有 能再出现=所有“字眼，故B皓误：对于C,解集应为{( /∈4，又A中只有一个元素.a=,,即2-红+1=0，但此方程4< )}放C信误：对于D,集合y=引为y的取值集合，集合 0,即方程无实数根.“不存在这样的实数：，故A不可能是单元素集合 (2)A中所含元索个数一定是3n(m后N)个.证明：~1年A,x∈A, 1(x,y)y=x2|表示点集.所以两个集合不是同一个集合，故D错误， 1x-1 故选BCD. 六A, 1- 1￥ 可.散对于4，一定有号。有 2.C解析：因为A=x12-4=01=-2.21,所以2∈A,-2eA,4gA, -x 故AD错误：12是集合，不是元素，故B错误故选C 1x-1 和eA下证户下 互不相等当x时.2-x+1=0.4=1-4长】 3.C解析：由x2=2x,解得x=2或x=0,所以方程x2=2x的所有实数 根组成的集合为{xeR1x2=2x=0,2,故选C 0.,方程子1=0无解当x号时2-41=0d=1-40. 4.D解析：因为集合A=|4,a2+2a,2a+11.且3∈A.所以u2+2a=3 或2a+1=3.当a2+2a=3时.a=1或a=-3.当2a+1=3时.a=1.当a= 方-10无第当时-1-0d1-40 当 1时，a2+2a=2a+1=3.集合A中的元素不满足互异性：当a=-3 方程2-x+1=0无解4≠ 。·1中所含元素个数一定是 时，A=4,3,-5引，符合题意.综上，a=-3.故选D. 3n(#gN")个 5.C解析：A=1xlx2≤4|={x1-2≤x≤2，B=1 xIx E N°且x 1E.B=1,2,3,故选C 1.2集合的基本关系 6.ACD解析：2022=4×505+2，所以2022∈A2,故A正确：若a+ bE4,则a∈A,bEA或a∈A2,beA,或a∈Ao.bEAy或aEA5 白题 基础过关 beAo,故B错误：-1=4×(-1)+3，所以-1EA,故C正确：令a= 1.C解析：ACB成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B 4n+.b=4m+k,m,n∈Z,则a-b=4(n-m)+0,n-m∈Z,故a-b∈A0, 的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B.故 故D正确.故选ACD. 选C 7.-1解析：因为2-meA,所以2-m=1或2-m=2或2-m=3,解 2.C解析：集合A由小于3的自然数组成，0EA,-1庄A,只有C正确. 得m=1或m=0或m=-1.因为n+2A,所以n+2=1或#+2=2或 故选C. 4+2=3.解得n-1或n=0或4=1，又因为B=|1.m.|,所以 3.1ala≥3引解析：由题意可知3≤a.故答案为ala≥3 (m=0,(m=-1, 4.BCD解析：集合11,2.4,51有4个元素，故其有24-1=15（个）真子 或 即m+n=-1.故答案为-1. (n=-1(n=0, 集，故A错误：空集是任何集合的子集，则☑GA.故B正确：空集是 8.10,1川（或1-1,1）解析：不妨设S=1a,b,根据题意有a2,ab. 任何集合的子集，是任何非空集合的其子集，故C正确：空集是任何 2∈S,所以a2,2,b中必有两个是相等的. 非空集合的真子集，若②年A,则A≠⑦，故D正确.故选BCD 若a2=2.则a=-b.故b=-a2,又a2=a或a2=b=-a,所以a=0(舍 5.ABC解析：集合M=2,4,集合MGN|1,2,3,4,5引，则集合N中 去)或a=1或a=-1.此时S=-l,: 至少包含2,4这两个元素，又不能等于或多于11,2,3.4,5中的元 若a2=ab,则a=0,此时b2=b,故6=1，此时S=10,1: 索，所以集合N可以是2,4|，2,3,4,11,2,34.故选ABC 若2=山，则6=0，此时a2=4,故4=1，此时S={0.1: 6,C解析：A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是 综上，S={0,1或S=-1.1.故客案为0.1川（成1-1.1） 相等集合，故A错误：B.集合M表示数集，有2个元素，分别是1和 必修第—册·BS黑白题002