精品解析：山东省烟台市2023-2024学年高一下学期期中学业水平诊断数学试题

2023～2024学年度第二学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列说法正确是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则，夹角为锐角 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 在高为6三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在边长为2的正三角形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10. 一圆锥侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（ ） A. 该圆锥体积为 B. 在扇形中， C. 该圆锥内半径最大的球的表面积为 D. 该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 11. 已知为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，若，，则_________． 13. 在直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的体积为__________，在三棱锥中，底面上的高长为_________． 14. 南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为____________m． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． （1）若复数，求； （2）在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，． （1）若点A，B，P不能构成三角形，求； （2）当取得最小值时，求的面积． 17. 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台的表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 18. 请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． （1）求B的大小： （2）若，求周长的取值范围； （3）若边上的高为1，求面积的最小值． 19. 近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． （1）是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则，夹角为锐角 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的相关概念及数量积定义与计算公式一一判定选项即可. 【详解】对于A，两向量模长相等，不一定共线，故A错误； 对于B，若，不能得到， 比如为任意非零向量，时满足，但不一定相等，故B错误； 对于C，若，则有，所以，故C正确； 对于D，若同向，即夹角为零角时仍能满足，故D错误. 故选：C 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法法则和共轭复数的概念即可求解. 【详解】由,得， 所以. 故选：B. 3. 在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则求出底面三角形面积，再利用柱体体积公式计算即得. 【详解】直观图对应的原图形为如图所示的，其中， ，因此的面积， 所以三棱柱的体积为. 故选：D 4. 在边长为2的正三角形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 5. 若，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算即可. 【详解】由题意可知在上的投影向量， 所以，又，所以 故选：C 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱台体积公式先求棱台的高，再利用勾股定理计算侧棱即可. 【详解】 如上图所示，正四棱台，，易知即棱台的高， 由棱台的体积公式知：， 所以， 所以侧棱长. 故选：C 8. 在锐角三角形中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理化简得到，结合正弦定理、三角恒等变换公式，推导出，可得，然后将化简为，结合为锐角三角形算出角的取值范围，进而根据正弦函数的性质算出答案． 【详解】解：根据， 结合余弦定理， 得，即， 由正弦定理化简， 得， 其中， 所以， 结合、为三角形的内角， 可得，即， 因为为锐角三角形，所以，即， 解得， 而 ， 因为， 所以， 即的取值范围为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可. 【详解】根据题意知，所以， 不妨令，， 则，， ，而， 故A、B、C正确，D错误. 故选：ABC 10. 一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 在扇形中， C. 该圆锥内半径最大的球的表面积为 D. 该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件及弧长公式，利用圆锥的体积公式及向量的线性运算，再利用数量积的定义，等体积法锥体内切球半径表面积和球的表面积公式，结合正四棱柱的表面积公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为， 所以，解得， 设圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为，故A正确； 因为，为线段的中点，为弧中点， 所以 ，故B错误； 圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，设内切球半径为， 由等体积可得，解得， 所以该圆锥内半径最大的球的表面积为，故C正确； 设圆锥内接正四棱柱的高为，底面正方形边长为，则 ， 所以正四棱柱的表面积为 ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理化简，结合推导出，然后化成正切的式子，得到，判断出A项正确；根据基本不等式取等号的条件，得到当的最小值时，，此时为等腰直角三角形，与题设矛盾，可知B项不正确；利用正弦定理证出，结合余弦定理，证出，判断出C项正确；若，利用余弦定理与三角恒等变换公式，化简得到，求得或，可知D项不正确． 【详解】A．由，得， 因为， 所以， 两边都除以，得， 整理得，故A项正确； B．若的最小值为2，则此时，可得， 结合，得， 此时，可得，与为斜三角形矛盾，故B项不正确； C．若，由正弦定理，得， 结合，可得， 所以，可得， 由余弦定理得， 因此，，整理得，故C项正确； C．， 若，则， 可得，即， 结合为三角形的内角，可知或， 所以或，故D项不正确． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，若，，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及其与模长的关系计算即可. 【详解】由， 即，解之得. 故答案为：3 13. 在直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的体积为__________，在三棱锥中，底面上的高长为_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用补形法结合长方体的特征及球的体积公式计算即可得第一空，利用等体积法计算即可得第二空. 【详解】 如图所示，补三棱柱为长方体， 易知三棱柱的外接球即长方体的外接球， 其体对角线即球的直径，易得， 所以球体积为； 易知直角三角形，其面积为， 设底面上的高长， 则. 故答案为：；. 14. 南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为____________m． 【答案】 【解析】 【分析】作于，作于E，利用正弦定理及锐角三角函数解三角形计算即可. 【详解】 作于，作于E， 由题意易知，， 易知， ， 所以， 在中，由题意可知， 根据正弦定理有， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． （1）若复数，求； （2）在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的四则运算法则及的周期性，再利用复数的模公式即可求解； （2）根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解. 【小问1详解】 由题可知， ， ， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，． （1）若点A，B，P不能构成三角形，求； （2）当取得最小值时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量三点共线的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量数量积的坐标表示、二次函数的性质可先确定值，再利用平面向量数量积公式计算夹角结合三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为点A，，不能构成三角形，所以A，，三点共线，即， ，，则有， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，， 所以， 当时，取得最小值1，此时，， 所以， 因为，所以， 则的面积． 所以面积为． 17. 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台的表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． 【小问2详解】 在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 18. 请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． （1）求B的大小： （2）若，求周长的取值范围； （3）若边上的高为1，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若选①，利用平面向量垂直的坐标表示及正弦定理边化角计算即可；若选②，先正弦定理角化边，化简变形后利用余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算即可； （3）利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式计算即可. 【小问1详解】 选择①：因为，所以， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以． 选择②：因为， 由正弦定理得，， 即，即， 即，即， 由余弦定理得，， 又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得，， 即，即， 所以，得，当且仅当时取得等号， 所以周长的取值范围为． 【小问3详解】 由面积公式，得， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，当且仅当“”时等号成立 所以， 所以面积的最小值为． 19. 近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． （1）是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 【答案】（1）是定值； （2）8742元． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 是定值； 理由如下：在中，，，所以， 由正弦定理得，，所以． 在中，，，， 由正弦定理得，，所以． 所以为定值． 【小问2详解】 由题意可知，要使总费用最低，只需最小， 在中， ， 当且仅当时“=”成立， 所以，所以的最小值为， ， （元） 所以修路费用最少为8742元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$