精品解析：浙江省 衢州市衢江区第一初级中学2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题

2022学年度第一学期学业过关检测试题卷 九年级数学 （时间：120分钟 满分：120） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中最符合题意的一个选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. ⊙O的半径为5，点A与圆心O的距离为OA＝4，则点A与⊙O的位置关系为( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 以上三种情况都有可能 3. 抛物线y＝5（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，1） B. （2，﹣1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，1） 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，DE∥AC，若AD=4，BD=8，CE=3，则BC的长为（ ）． A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 6. 如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ） A. 只闭合个开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 10. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在答题纸的对应位置上） 11. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形． 12. 2020年6月1日起，公安部门在全国开展“一盔一带”安全守护行动，其中要求骑行电动车需要佩戴头盔．为了确保头盔质量，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表，根据下表请估计合格头盔的概率为____________． 抽查的头盔数n 50 100 150 200 500 1000 3000 合格的头盔数m 42 88 141 176 445 920 2790 合格头盔的频率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.92 0.93 13. 如图，四边形是的内接四边形，，，则_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 __． 15. 已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为_________． 16. 婆罗摩笈多，是位印度数学家和天文学家，他提出了著名的婆罗摩笈多定理： 婆罗摩笈多定理的已知与结论符号表示如下： 已知：如图，四边形内接于，对角线于点，于点，延长交于点．结论：． 证明：略（感兴趣的同学考后可以加以证明） 根据上述已知条件，回答下列问题： （1）若，则__________； （2）若，，，则的长为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图，并写出结论． （1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形． （2）在图2中仅用无刻度的直尺，画出的中线AE（保留画图痕迹，不写画法）． 19. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求函数表达式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 20. 一只不透明的箱子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为_________ （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 21. 如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为，高为． （1）如图①，小明通过按压点打开杯盖注入热水（点，为对应点）．若，求点的运动路径长． （2）如图②，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面呈时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点距离桌面的距离．（参考数据，） 22. 如图，在等腰中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 水平距离（） 0 2 6 10 14 18 铅垂高度（） （1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式 （2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？ （3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（）与时间（）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？ 24. 如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向朝点匀速运动，同时点由点出发沿方向朝点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为秒，解答下列问题： （1）当为何值时，使得? （2）设的面积为，当为何值时，取得最大值？的最大值是多少？ （3）当为何值时，是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年度第一学期学业过关检测试题卷 九年级数学 （时间：120分钟 满分：120） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中最符合题意的一个选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，，然后代入求解． 【详解】解： ∴设，，， ∴． 2. ⊙O的半径为5，点A与圆心O的距离为OA＝4，则点A与⊙O的位置关系为( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系即可判断. 【详解】∵OA＝5，⊙O的半径为5， ∴OA＝r， ∴点A在⊙O上， 故选：B. 【点睛】此题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3. 抛物线y＝5（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，1） B. （2，﹣1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2+1， ∴顶点坐标为：（2，1）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题． 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、余弦的定义，由勾股定理得出，再根据余弦的定义计算即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在△ABC中，DE∥AC，若AD=4，BD=8，CE=3，则BC的长为（ ）． A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求得BE的长，即可求得BC的长． 【详解】解：∵DE∥AC，AD=4，BD=8，CE=3， ∴，即， ∴BE=6， ∴BC=BE+CE=9， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 6. 如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ） A. 只闭合个开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关 【答案】B 【解析】 【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案． 【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路， 只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意； 闭合个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意； 只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意； 只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意． 故选B． 【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接OB，OC，如图， ∵正方形ABCD内接于， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 8. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”是解答此题的关键． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为， 故选C． 9. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【详解】解：连接OA、OC，如图： 由题意得：C为AB的中点， 则O、C、D三点共线，OC⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝5（寸）， 设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸． 在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2， 解得：x＝13． ∴圆材直径为2×13＝26（寸）． 故选：D 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由题意得出一元二次方程有解，从而得出，，计算即可得出答案，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程有解， ∴，， 解得：，， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在答题纸的对应位置上） 11. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形． 【答案】9##九 【解析】 【分析】对变形的内角和公式可以表示为，又因为所给多边形的每个内角均相等，故又可以表示为，列方程即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数是，由内角和公式，得， ， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根据多边形的内角和公式求多边形的边数，解答时，要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 12. 2020年6月1日起，公安部门在全国开展“一盔一带”安全守护行动，其中要求骑行电动车需要佩戴头盔．为了确保头盔质量，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表，根据下表请估计合格头盔的概率为____________． 抽查的头盔数n 50 100 150 200 500 1000 3000 合格的头盔数m 42 88 141 176 445 920 2790 合格头盔的频率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.92 0.93 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此可解． 【详解】解：根据表格数据得，随着抽查的数据越大：合格头盔的概率接近为， 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，，则_________． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为， 点的坐标为，，即点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，则位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 15. 已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键． 由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时；当时，结合题意利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，当时，y的最大值为4， ∵y的最大值为4，距离对称轴最远， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最大值， ∴， 解得； 综上所述：k的值为或． 故答案为：或． 16. 婆罗摩笈多，是位印度数学家和天文学家，他提出了著名的婆罗摩笈多定理： 婆罗摩笈多定理的已知与结论符号表示如下： 已知：如图，四边形内接于，对角线于点，于点，延长交于点．结论：． 证明：略（感兴趣的同学考后可以加以证明） 根据上述已知条件，回答下列问题： （1）若，则__________； （2）若，，，则的长为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的余角相等得出，即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质得出的长，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案即可． 【详解】解： ． 18. 在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图，并写出结论． （1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形． （2）在图2中仅用无刻度的直尺，画出的中线AE（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格画图，平行四边形的判定与性质，三角形的中线定义； （1）由勾股定理得：，，；画出图形即可； （2）根据网格特点取的中点，连接即可； 准确掌握相关知识并利用网格特点画图是关键． 【小问1详解】 解：由勾股定理得： ，， ； 画出图形如图1所示； 故图中平行四边形，平行四边形，平行四边形即为所求； 【小问2详解】 根据网格特点取的中点，连接，如图所示； 故线段AE即为所求； 19. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求函数表达式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 略 20. 一只不透明的箱子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为_________ （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算即可得出答案； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一只不透明的箱子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同， ∴共有个球， ∴搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为； 【小问2详解】 解：将2个红球记为红1，红2， 列表得： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红2，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （红2，红2） （白，红2） 白 （红1，白） （红2，白） （白，白） 共有9种等可能出现的结果，其中两次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的情况有4种， ∴两次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为． 21. 如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为，高为． （1）如图①，小明通过按压点打开杯盖注入热水（点，为对应点）．若，求点的运动路径长． （2）如图②，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面呈时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点距离桌面的距离．（参考数据，） 【答案】（1）点的运动路径长为， （2）此时杯子最高点距离桌面的距离为． 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式计算求解即可； （2）如图②，过点作于，过点作于，由题意可知，，根据，，求出的值，根据，求出的值，进而可得杯子最高点距离桌面的距离． 【小问1详解】 解：由题意知，点的运动路径长为cm， ∴点的运动路径长为cm． 【小问2详解】 解：如图②，过点作于，过点作于， 由题意可知，， ∵cm， cm， ∴，， ∴cm，cm， ∴cm， ∴此时杯子最高点距离桌面的距离为cm． 【点睛】本题考查了弧长公式，解直角三角形的应用．解题的关键在于建立数学模型． 22. 如图，在等腰中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，从而推出，结合，得出，即可得证； （2）连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，，解直角三角形得出，再由含角的直角三角形的性质得出，最后再由勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ∵是直径， ∴，即， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、切线的判定定理、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 水平距离（） 0 2 6 10 14 18 铅垂高度（） （1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式 （2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？ （3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（）与时间（）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？ 【答案】（1）； （2）不达标 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再把点代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）设直线的解析式为：，利用待定系数法求得解析式为：．联立方程组：，得抛物线与交点坐标为，当时和当时，代入二次函数求得时间，再与运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留时间相比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即， 即该运动员铅垂高度的最大值为； 把点代入得： ，解得：， ∴满足的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴该运动员的成绩不达标； 【小问3详解】 设直线的解析式为：，将点和代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得：， 解得：（舍去）或， 抛物线与交点坐标为， 当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：或（舍去）， 该运动员从起跳到落地所用时间为：（秒）， 运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟， 该运动员从起跳到落地能完成动作． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 24. 如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向朝点匀速运动，同时点由点出发沿方向朝点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为秒，解答下列问题： （1）当为何值时，使得? （2）设的面积为，当为何值时，取得最大值？的最大值是多少？ （3）当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）当时，使得 （2）当时，有最大值是 （3）当的值为或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得出，由题意得出，，，再结合当时，，则，计算即可得解； （2）作于，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，最后利用二次函数的性质即可得出答案； （3）分三种情况：当时；当时；当时；分别利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 由题意得：，， ∴， 当时，，则， 解得：， ∴当时，使得； 【小问2详解】 解：如图，作于， ， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值是； 【小问3详解】 解：∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：； 当时，作于， ， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当时，作于， ， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 综上所述，当的值为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $