湖南省长沙市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

湖南省长沙市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 一．选择题（共14小题） 1．（2024•开福区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D，E为圆心，以大DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G，若AC＝9，AG＝5，过点G作GP⊥AB交AB于点P，则GP的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024•雨花区二模）如图，已知直线l1∥l2，若∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．（2024•长沙县二模）如图，直线a∥b，∠2＝108°，∠B＝45°，则∠1的度数为（　　） A．65° B．63° C．60° D．45° 4．（2024•长沙县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝100°，则∠AOC的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．160° 5．（2024•长沙县二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠ADC＝120°，则AC的长为（　　） A． B．1 C． D． 6．（2024•雨花区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 7．（2024•雨花区二模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A．110° B．120° C．70° D．140° 8．（2024•雨花区二模）将直尺和三角板进行如图摆放，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．42° B．45° C．48° D．52° 9．（2024•雨花区二模）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A 10．（2024•雨花区二模）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝107°，则∠2的度数为（　　） A．63° B．73° C．83° D．107° 11．（2024•雨花区二模）已知三角形的两边长分别为2cm和6cm，则下列长度能作为第三边的是（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．11cm 12．（2024•开福区二模）如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB＝90°．若∠1+∠B＝70°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．40° C．30° D．25° 13．（2024•开福区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 14．（2024•开福区二模）一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝50°，那么∠BAF的大小为（　　） A．20° B．40° C．45° D．50° 二．填空题（共12小题） 15．（2024•开福区二模）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是 　 　． 16．（2024•雨花区二模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于E点，过点E 作MN∥BC交于点M，交AC于N点，若BM+CN＝8，则线段MN的长为　 　． 17．（2024•长沙县二模）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若该工件内槽宽AB的长为8cm，则CD的长为 　 　cm． 18．（2024•长沙县二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E，若AC＝5，CD＝6，则BC＝　 　． 19．（2024•雨花区二模）如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为 　 　． 20．（2024•雨花区二模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的度数为 　 　. 21．（2024•开福区二模）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，若AB＝2，AC＝3，则BC＝　 　． 22．（2024•开福区二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，BC＝8cm，动点D从点B出发以2cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，过点D作DE⊥AC，交边AC于点E，当点E落在AC边上的中点处时，点D移动的时间为 　 　s． 23．（2024•雨花区二模）某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24米，净高CD＝18米，则此圆的半径OA的长为 　 　． 24．（2024•雨花区二模）正多边形的一个内角是120°，则它的边数是 　 　． 25．（2024•开福区二模）如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为　 　． 26．（2024•雨花区二模）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径　 　． 三．解答题（共19小题） 27．（2024•雨花区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E．F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当BE⊥EF时，BE＝4，BF＝6，求BD的长． 28．（2024•雨花区二模）如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E． （1）求证：DE∥AB． （2）若⊙O的半径为1，求CA•CE的最大值． （3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值． 29．（2024•雨花区二模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． （1）求证：△AEC≌△BED． （2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数． 30．（2024•开福区二模）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF， （1）求证：AD平分∠BAC． （2）若AB＝5，AD＝4，求△ABC的面积． 31．（2024•长沙县二模）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且 MF∥AD． （1）求证：BE＝MN； （2）若AB＝8，AE＝6，求BM的长． 32．（2024•长沙县二模）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，∠CDE+∠C＝180°． （1）求证：DE＝BC； （2）若DE＝12，点D为线段BC的中点，求AC的长． 33．（2024•雨花区二模）在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线． 已知：直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小华同学按下列步骤作图（如图）： ①任取一点M，使点M和点A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AM长为半径作弧，交直线l于点B和D； ③分别以点B，D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C； ④作直线AC，直线AC即为所求． （1）证明：AC⊥直线l； （2）若点A到直线l的距离为6，∠BAC＝30°，求四边形ABCD的面积． 34．（2024•雨花区二模）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝3，AC＝2． （1）求CE的长； （2）如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，交圆O于点K，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y． ①求y关于x的函数表达式； ②延长PN交半圆O于点Q，求当x为何值时PK•PQ的值最大时，并求出最大值． 35．（2024•长沙县二模）如图，AC为⊙O的直径，点B是圆上的动点，点D在⊙O外，连接DB交AC于点E，连接DA． （1）若∠CAD+∠CDA＝∠BAC+∠BCA，求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC∥AD，设△BEC，△BEA，△ADE的面积分别为S1、S2、S3，当S1+S2＝S3时，求的值； （3）在（1）的条件下，若CA＝CD，，求tan∠ACB的值． 36．（2024•雨花区二模）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上，AE＝AF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 37．（2024•雨花区二模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若BG＝3，BC＝5，BD＝2，求CF的长． 38．（2024•雨花区二模）如图，点C在AB为直径的圆O上，连接AC，BC，∠ACB的角平分线交AB于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接AG并延长交CB的延长线于点F，连接EG． （1）求证：AC＝CF； （2）若BC＝6，AC＝8，求△AEG的面积． （3）设，tan∠AGE＝y，求y关于x的函数表达式． 39．（2024•开福区二模）如图，已知△ABC，AC＝6． （1）尺规作图：作出线段AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交BC于点E（不写作法，但保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若∠C＝60°，连接AE，求△AEC的面积． 40．（2024•开福区二模）四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O直径，对角线BD平分∠ADC，对角线AC、BD相交于点M． （1）求的值； （2）若tan∠ABD＝2，⊙O的半径长为6，求BM的长； （3）设△ABD、△CBD、四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S．若，令⊙O半径为R，求DM•MB的值．（用含R的代数式表示） 41．（2024•开福区二模）四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E是上的一动点，连接AE，BE，DE，其中BE交AD于点F． （1）如图1，当AB＝ED时， ①求证：△AEB≌△EAD； ②若∠EAD＝30°，连接BO，EO．求证：四边形ABOE是菱形． （2）如图2，若BC＝2AB＝2，，请用含k的式子表示EA•ED的值． 42．（2024•雨花区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在线段AD上． （1）求证：EB＝EC； （2）若∠BAC＝60°，∠ABE＝39°，求∠ECB的度数． 43．（2024•雨花区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点F，∠ADC的平分线交AB于点E． （1）求证：BF＝DE． （2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长． 44．（2024•开福区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，连接BE． （1）求证：∠DAC＝∠E； （2）若，BE＝10，求线段AD的长． 45．（2024•开福区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积． 湖南省长沙市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题） 1．（2024•开福区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D，E为圆心，以大DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G，若AC＝9，AG＝5，过点G作GP⊥AB交AB于点P，则GP的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：由作法得BG平分∠ABC， ∵GP⊥BA，∠C＝90°， ∴GP＝GC＝AC﹣AG＝9﹣5＝4， 故选：C． 2．（2024•雨花区二模）如图，已知直线l1∥l2，若∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解答】解：∵直线l1∥l2， ∴∠3＝∠4， ∵∠4＝∠1+∠2＝35°+35°＝70°， ∴∠3＝70°． 故选：C． 3．（2024•长沙县二模）如图，直线a∥b，∠2＝108°，∠B＝45°，则∠1的度数为（　　） A．65° B．63° C．60° D．45° 【解答】解：∵∠2＝108°，∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠2﹣∠B＝63°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠BCD＝63°． 故选：B． 4．（2024•长沙县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝100°，则∠AOC的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．160° 【解答】解：∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠D＝180°﹣100°＝80°， ∴∠AOC＝2∠D＝160°． 故选：D． 5．（2024•长沙县二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠ADC＝120°，则AC的长为（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°∠DAB＝60°， ∴OA＝OC，∠OAD（180°﹣120°）＝30°， ∴∠AOB＝90°， ∴ODAD， ∴OA， ∴AC＝2OA， 故选：D． 6．（2024•雨花区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴∠D＝∠A＝30°， 故选：B． 7．（2024•雨花区二模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A．110° B．120° C．70° D．140° 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠D＝180°，而∠BDC＝110°， ∴∠A＝180°﹣∠D＝70°， ∴∠BOC＝2∠A＝140°． 故选：D． 8．（2024•雨花区二模）将直尺和三角板进行如图摆放，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．42° B．45° C．48° D．52° 【解答】解：如图， 由题意得：∠ABC＝90°， ∵∠1＝42°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠1＝48°， ∵BD∥CE， ∴∠2＝∠DBC＝48°． 故选：C． 9．（2024•雨花区二模）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A 【解答】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D、E共5人，显然不合题意， 同理，当B进入前三强时，也不合题意，所以应从C开始进入前三强．即进入前三强的是C，D，E． 故选：C． 10．（2024•雨花区二模）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝107°，则∠2的度数为（　　） A．63° B．73° C．83° D．107° 【解答】解：如图： ∵CD∥EF， ∴∠1＝∠3＝107°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝73°， 故选：B． 11．（2024•雨花区二模）已知三角形的两边长分别为2cm和6cm，则下列长度能作为第三边的是（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．11cm 【解答】解：设第三边为x，根据题意，得 6﹣2＜x＜6+2， 即4＜x＜8， 所以长度能作为第三边得是6cm． 故选：B． 12．（2024•开福区二模）如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB＝90°．若∠1+∠B＝70°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．40° C．30° D．25° 【解答】解：∵∠3为三角形的外角， ∴∠3＝∠1+∠B＝70°， ∵a∥b， ∴∠3+∠4+∠2＝180°， ∵∠4＝90°，∠3＝70°， ∴∠2＝20°． 故选：A． 13．（2024•开福区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝55°， ∴∠B＝35°， ∴∠ADC＝∠B＝35°． 故选：C． 14．（2024•开福区二模）一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝50°，那么∠BAF的大小为（　　） A．20° B．40° C．45° D．50° 【解答】解：由图可得，∠CDE＝50°，∠C＝90°， ∴∠CED＝40°， 又∵DE∥AF， ∴∠CAF＝40°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝60°﹣40°＝20°， 故选：A． 二．填空题（共12小题） 15．（2024•开福区二模）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是 　1　． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝2， ∴BC＝CE＝1，AC＝CD＝2， ∴CE＝CA﹣CE＝2﹣1＝1， 故答案为：1． 16．（2024•雨花区二模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于E点，过点E 作MN∥BC交于点M，交AC于N点，若BM+CN＝8，则线段MN的长为　8　． 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN， ∴MN＝ME+EN， 即MN＝BM+CN． ∵BM+CN＝8 ∴MN＝8， 故答案为：8． 17．（2024•长沙县二模）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若该工件内槽宽AB的长为8cm，则CD的长为 　4　cm． 【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点， ∴CD是△AOB的中位线， ∴AB＝2CD＝8cm， ∴CD＝4cm， 故答案为：4． 18．（2024•长沙县二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E，若AC＝5，CD＝6，则BC＝　　． 【解答】解：由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线， ∵CD＝6， ∴CE＝DE＝3， ∵CA＝5， ∴AE4， ∵∠AEC＝∠BAC，∠C＝∠C， ∴△AEC∽△BAC， ∴即，， ∴AB． 故答案为：． 19．（2024•雨花区二模）如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为 　2　． 【解答】解：连接OA， ∵M是AB的中点， ∴OM⊥AB，AM＝MB＝4， 在Rt△AOM中，OA5， ∴MN＝ON﹣OM＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 20．（2024•雨花区二模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的度数为 　75°　. 【解答】解：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣30°＝105°． 根据作图痕迹，可知：点D在线段BC的垂直平分线上， ∴DB＝DC， ∴∠DCB＝∠B＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝105°﹣30°＝75°． 故答案为：75°． 21．（2024•开福区二模）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，若AB＝2，AC＝3，则BC＝　　． 【解答】解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠A＝90°， ∵AB＝2，AC＝3， ∴， 故答案为：． 22．（2024•开福区二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，BC＝8cm，动点D从点B出发以2cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，过点D作DE⊥AC，交边AC于点E，当点E落在AC边上的中点处时，点D移动的时间为 　　s． 【解答】解：如图，连接AD， ∵DE⊥AC，点E为AC的中点， ∴DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C， ∵∠C＝15°， ∴∠DAC＝15°， ∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝30°， 设BD＝x cm， ∵∠B＝90°， ∴cos30°， ∴， ∴ cm， ∴CD cm， ∵BC＝8cm， ∴CD+BD＝8cm， ∴， 解得x， 即BD， ∴点D移动的时间（s）， 故答案为：（）． 23．（2024•雨花区二模）某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24米，净高CD＝18米，则此圆的半径OA的长为 　13　． 【解答】解：∵CD⊥AB且CD经过点O， ∴， ∵CD＝18， ∴OD＝18﹣r， 在Rt△ADO中根据勾股定理可得， r2＝122+（18﹣r）2， 解得r＝13． 故答案为：13． 24．（2024•雨花区二模）正多边形的一个内角是120°，则它的边数是 　6　． 【解答】解：∵一个正多边形的一个内角是120°， ∴正多边形的外角是60°， ∴360°÷60°＝6， ∴正多边形的边数是6． 故答案为：6． 25．（2024•开福区二模）如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为　5　． 【解答】解：∵ON⊥AB， ∴AN＝BNAB， ∵AB＝24， ∴AN＝BN＝12， 在Rt△OAN中，ON2+AN2＝OA2， ∴ON5， 故答案为：5 26．（2024•雨花区二模）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径　1　． 【解答】解：根据扇形的弧长公式l2π， 设底面圆的半径是r， 则2π＝2πr ∴r＝1． 故答案为：1． 三．解答题（共19小题） 27．（2024•雨花区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E．F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当BE⊥EF时，BE＝4，BF＝6，求BD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°， ∴EF2， 由（1）可知，OE＝OF，OB＝OD， ∴OE＝OFEF， ∴OB， ∴BD＝2OB＝2， 即BD的长为2． 28．（2024•雨花区二模）如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E． （1）求证：DE∥AB． （2）若⊙O的半径为1，求CA•CE的最大值． （3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵DE为⊙O的切线， ∴OD⊥DE． ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°， ∴OD⊥AB， ∴DE∥AB； （2）解：∵DE∥AB， ∴∠E＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠E＝∠ADC， ∵∠ECD＝∠ACD， ∴△DCE∽△ACD， ∴， ∴CD2＝CA•CE． ∴当CD取得最大值时，CA•CE的值最大， ∵CD是圆O的弦， ∴CD为直径时取得最大值， ∵⊙O的半径为1， ∴CD的最大值为2， ∴CA•CE的最大值为4． （3）解：设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴y＝tan∠AEC． 由（2）知：， ∴y＝tan∠AEC， 过点D作DF⊥CE于点F，如图， 设EF＝a， ∵DE∥AB， ∴∠ABC＝∠DEC， ∴tan∠DEC＝tan∠ABC＝x， ∴DF＝EF•tan∠DEC＝ax， ∵∠DCE＝45°， ∴CF＝DF＝ax， ∴CDDFax，CE＝ax+a， ∴y， ∵， ∴， ∴：7：3， ∴x：y＝7：3， ∴yx． 把yx代入y中， ∴， 解得：x1，x2， 当x时，y， 当x时，y． ∴tan∠AEC的值为或． 29．（2024•雨花区二模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． （1）求证：△AEC≌△BED． （2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中 ∴△AEC≌△BED（ASA）； （2）解：∵△AEC≌△BED， ∴ED＝EC，∠ACE＝∠BDE， ∴∠ECD＝∠EDC， ∵∠1＝40°， ∴∠ECD＝∠EDC＝70°， ∴∠ECA＝70°， ∴∠BDE＝70°， 即∠BDE是70°． 30．（2024•开福区二模）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF， （1）求证：AD平分∠BAC． （2）若AB＝5，AD＝4，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴AD平分∠BAC． （2）解：∵△BED≌△CFD， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∴BD3， ∴BC＝2BD＝6， ∴△ABC的面积BC•AD6×4＝12． 31．（2024•长沙县二模）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且 MF∥AD． （1）求证：BE＝MN； （2）若AB＝8，AE＝6，求BM的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°， 又∵MF∥AD， ∴四边形AMFD为矩形（矩形定义）， ∴∠MFD＝∠MFN＝90°（矩形的性质）， ∴AD＝MF， ∴AB＝MF， ∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O， ∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°， ∴∠FMN＝∠MBO（等量代换）， 在△ABE和△FMN中， ∴△ABE≌△FMN（ASA）； ∴BE＝MN； （2）解：∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE 是公共角， ∴△BOM∽△BAE， ∴（相似的性质）． ∵AB＝8，AE＝6， ∴根据勾股定理． ∵MN是BE的垂直平分线（已知） ∴． ∴， ∴． 32．（2024•长沙县二模）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，∠CDE+∠C＝180°． （1）求证：DE＝BC； （2）若DE＝12，点D为线段BC的中点，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠CDE+∠C＝180°， ∴∠BDE＝∠C， 在△BED和△ABC中， ， ∴△BED≌△ABC（AAS）， ∴DE＝BC． （2）解：由（1）得DE＝BC， ∵DE＝12， ∴BC＝12， ∵点D为线段BC的中点， ∴BD＝CDBC12＝6， ∵BD＝AC， ∴AC＝6， ∴AC的长是6． 33．（2024•雨花区二模）在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线． 已知：直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小华同学按下列步骤作图（如图）： ①任取一点M，使点M和点A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AM长为半径作弧，交直线l于点B和D； ③分别以点B，D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C； ④作直线AC，直线AC即为所求． （1）证明：AC⊥直线l； （2）若点A到直线l的距离为6，∠BAC＝30°，求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：由作法得AB＝AD＝CB＝CD， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，即AC⊥直线l； （2）解：如图，设AC与BD相交于O点，则AO＝6， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°， ∴AC＝2AO＝2×6＝12，BD＝2BO，AC⊥BD， 在Rt△OAB中，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD的面积为． 34．（2024•雨花区二模）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝3，AC＝2． （1）求CE的长； （2）如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，交圆O于点K，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y． ①求y关于x的函数表达式； ②延长PN交半圆O于点Q，求当x为何值时PK•PQ的值最大时，并求出最大值． 【解答】解：（1）连接OD，如图， ∵AB为半圆O的直径，OA＝3，AC＝2， ∴OC＝5，CB＝8，OD＝OA＝3． ∵CD切半圆于点D， ∴OD⊥CE， ∴CD4． ∵BE⊥CE， ∴OD∥BE， ∴△COD∽△CBE， ∴， ∴， ∴CE． （2）①过点E作EG⊥BC于点G，交MN于点K，如图， ∵MN∥BC， ∴EK⊥MN． ∵PH⊥BC，EG⊥BC，NM∥BC， ∴四边形PHGK为矩形， ∴KG＝PH＝x． 由（1）知：BC＝8，EC， ∴BE． ∵CE•BEBC•EG， ∴EG， ∴EK＝EG﹣GKx． ∵MN∥BC， ∴△EMN∽△ECB， ∴， ∴， ∴yx+8． ②连接AK，FQ，如图， ∵∠APK＝∠QPF，∠KAP＝∠Q， ∴△KAP∽△FQP， ∴， ∴PK•PQ＝PA•PF． ∵AB为半圆O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴AF⊥BE， ∵CE⊥BE， ∴AF∥CE， ∴△BAF∽△BCE， ∴， ∴AF． ∴BF． ∵∠AHP＝∠AFB＝90°，∠PAH＝∠BAF， ∴△PAH∽△BAF， ∴， ∴APx， ∴PF＝AF﹣APx． ∴PK•PQ＝PA•PFx（x）8x， ∵0， ∴当x时，PK•PQ的值最大，最大值为． 35．（2024•长沙县二模）如图，AC为⊙O的直径，点B是圆上的动点，点D在⊙O外，连接DB交AC于点E，连接DA． （1）若∠CAD+∠CDA＝∠BAC+∠BCA，求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC∥AD，设△BEC，△BEA，△ADE的面积分别为S1、S2、S3，当S1+S2＝S3时，求的值； （3）在（1）的条件下，若CA＝CD，，求tan∠ACB的值． 【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC+∠BCA＝90°， ∴∠CAD+∠CDF＝∠BAC+∠BCA＝90°， ∴∠ACB＝90°， 即：AC⊥DC， ∵AC是⊙O的直径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵△ADE，△BEA在BD上的高相等， ∴， ∵BC∥AD， ∴△BEC∽△DEA， ∴，． ∴． ∵S1+S2＝S3， ∴， 即 ， 解得： （舍去负值）． （3）解：过点B作BH⊥AC于点H，如图， 则∠BHE＝90°． 由（1）得：∠ACD＝90°， ∴∠BHE＝∠DCE＝90°， ∵∠BEH＝∠DEC， ∴△BHE∽△DCE， ∴， ∵， ∴， 设EC＝k，则DC＝4k＝AC，EH＝a，则BH＝4a， ∴AE＝AC﹣EC＝3k，AH＝AE﹣EH＝3k﹣a，HC＝EH+EC＝a+k， ∵∠AHB＝∠BHC＝∠ABC＝90°， ∴∠ABH+∠CBH＝90°，∠BCH+∠CBH＝90°， ∴∠ABH＝∠BCH， ∴△ABH∽△BCH， ∴， 即BH2＝AH•CH， ∴（4a）2＝（3k﹣a）（a+k） 解得：k （舍去负值）， ∴BH＝4ak，HC＝a+kk， ∴tan∠ACB． 36．（2024•雨花区二模）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上，AE＝AF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线， ∴，， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BCF＝∠AEB， ∴AE∥FC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝EB， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE＝BE＝4，BE边上的高为， 由（1）知四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝4， ∴BC＝8， ∴平行四边形ABCD的面积为：． 37．（2024•雨花区二模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若BG＝3，BC＝5，BD＝2，求CF的长． 【解答】（1）证明：∵AB∥CF， ∴∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． （2）解：∵AB∥CF， ∴△GBD∽△GCF， ∴， ∵GB＝3，BC＝5， ∴GC＝GB+BC＝8， ∵BD＝2， ∴， ∴CF． 38．（2024•雨花区二模）如图，点C在AB为直径的圆O上，连接AC，BC，∠ACB的角平分线交AB于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接AG并延长交CB的延长线于点F，连接EG． （1）求证：AC＝CF； （2）若BC＝6，AC＝8，求△AEG的面积． （3）设，tan∠AGE＝y，求y关于x的函数表达式． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CP平分∠ACB， ∴∠PCA＝∠PCB， ∵， ∴∠PAB＝∠PAB＝45°， ∵PG＝BC， ∴， ∴∠PAG＝∠BAC， ∴∠PAG+∠BAG＝∠BAC+∠BAG， ∴∠CAG＝∠PAB＝45°， ∴∠F＝90°﹣∠CAG＝45°， ∴∠F＝∠CAG， ∴AC＝CF； （2）解：①如图1， 连接PB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠APB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， ∴AP＝AB•sin∠PAB＝10•sin45°＝5， ∵CP平分∠ACB， ∴， ∴AE， ∵∠CAB＝∠PAF，∠APG＝∠ABC， ∴△PAG∽△EAC， ∴， ∴， ∴AG＝7； ②如图2， 连接BG， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BGF＝∠AGB＝90°， ∵CF＝AC＝8，CB＝6， ∴BF＝CF﹣AC＝2， ∴BG＝BF•sinF＝2•sin45°， ∵∠EAH＝∠BAG，∠AHC＝∠AGB＝90°， ∴△AEH∽△ABG， ∴，即， ∴EH， ∴S△AEGEH•AG74； （3）解：如图3， 连接PB，PG， ∵CP平分∠ACB， ∴， ∴AP＝BP， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠APB＝90°， ∴ABAP， ∵， ∴AP＝BE•x， ∴， ， ∵CP平分∠ACB， ∴， ∴AC＝（）BC， 不妨设BC＝PG＝2a，则PH＝GHa，AC＝（）•2a， ∴AH＝CHACa•（）＝（2x）a， 由（2）知：△AEC∽△APG， ∴， ∴， ∴CE， ∴EH＝CH﹣CE＝（2x）a， ∴y＝tan∠AGE， ． 39．（2024•开福区二模）如图，已知△ABC，AC＝6． （1）尺规作图：作出线段AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交BC于点E（不写作法，但保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若∠C＝60°，连接AE，求△AEC的面积． 【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，以大于长为半径在AC上下画弧，相交于一点，连接两个交点即为所求，如图所示， （2）∵DE垂直平分AC，AC＝6， ∴，∠CDE＝90°， ∵∠C＝60°， ∴， ∴． 40．（2024•开福区二模）四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O直径，对角线BD平分∠ADC，对角线AC、BD相交于点M． （1）求的值； （2）若tan∠ABD＝2，⊙O的半径长为6，求BM的长； （3）设△ABD、△CBD、四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S．若，令⊙O半径为R，求DM•MB的值．（用含R的代数式表示） 【解答】解：（1）∵AC为⊙O直径，对角线BD平分∠ADC， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45° ∴∠ACB＝∠ADB＝45°，则△ABC是等腰直角三角形， ∴AC2＝2AB2，AB＝BC， 在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2， ∴； （2）如图1所示，连接BO，过点C作CE∥DM交AD的延长线于点E， ∴∠ECD＝∠CDB，∠E＝∠ADB， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠E＝∠ECD， ∴CD＝DE， ∵CE∥DM， ∴， ∴， ∵， ∵AC＝12， ∴AM＝8，MC＝4， ∴OM＝AM﹣AO＝8﹣6＝2， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴， 在Rt△BOM中，； （3）如图2所示，过点A，C分别作BD的垂线，垂足分别为N，T， ∵∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴△ADN，△DTC是等腰直角三角形， ∴， 又∵AN∥CT， ∴△AMN∽△CMT， ∴， ∵S＝S1+S2，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵AM+CM＝2R， ∴，， ∵∠ABM＝∠MCD，∠DMC＝∠AMB， ∴△AMB∽△DMC， ∴， ∴． 41．（2024•开福区二模）四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E是上的一动点，连接AE，BE，DE，其中BE交AD于点F． （1）如图1，当AB＝ED时， ①求证：△AEB≌△EAD； ②若∠EAD＝30°，连接BO，EO．求证：四边形ABOE是菱形． （2）如图2，若BC＝2AB＝2，，请用含k的式子表示EA•ED的值． 【解答】（1）证明：①∵， ∴∠EDA＝∠ABE， ∵ED＝AB， ∴， ∴∠EAD＝∠AEB， 在△AEB和△AED中， ， ∴△AEB≌△AED（AAS）；， ②解：如图，连接AO、BO、EO， ∵四边形ABCD是矩形，∠EAD＝30°， ∴∠AEB＝∠EAD＝30°，∠BAD＝90°， ∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝30°， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB， ∵∠ABE＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵OA＝OE， ∴△AEO是等边三角形， ∴AE＝EO， ∴AB＝EO＝BO＝AE， ∴四边形ABOE是菱形； （2）解：如图，连接BD，过点E作EH⊥AD于H， ∵∠BAD＝90°， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BED＝90°， ∵sin，，sin∠EBD， ∴∠EBD＝∠EAH， ∴，即EA•ED＝EH•BD， ∵BC＝2AB＝2， ∴， ∴， ∵∠BAF＝∠EHF＝90°，∠AFB＝∠HFE， ∴△EHF∽△BAF， ∴， ∴． 42．（2024•雨花区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在线段AD上． （1）求证：EB＝EC； （2）若∠BAC＝60°，∠ABE＝39°，求∠ECB的度数． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， 又∵DE＝DE， ∴△BDE≌△CDE（SAS）， ∴EB＝EC． （2）解：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，D为BC中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝30°． ∵∠ABE＝39°， ∴∠BED＝69°， ∴∠EBD＝90°﹣69°＝21°， 由（1）得△BDE≌△CDE， ∴∠ECB＝∠EBC＝21°． 43．（2024•雨花区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点F，∠ADC的平分线交AB于点E． （1）求证：BF＝DE． （2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC， ∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC， ∴， ∴∠ADE＝∠CBF， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴BF＝DE； （2）解：过D点作DG⊥AB于点G， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠AED＝∠CDE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AE＝AD， 又∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∵AD＝4， ∴DE＝AE＝AD＝4， ∴， ∴， ∵AE＝2EB， ∴， ∴BG＝4， ∴． 44．（2024•开福区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，连接BE． （1）求证：∠DAC＝∠E； （2）若，BE＝10，求线段AD的长． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵PD切圆于C， ∴半径OC⊥PD， ∵AD⊥PD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， ∵∠BEC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠BEC； （2）解：连接AE， ∵弦CE平分∠ACB， ∴， ∴AE＝BE， ∵AB是圆的直径， ∴∠AEB＝∠ACB＝90°， ∴△AEB是等腰直角三角形， ∴ABBE＝10， ∵tan∠ABC， ∴令BC＝3x，AC＝4x， ∵AB5x＝10， ∴x＝2， ∴AC＝4x＝8， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴cos∠DAC＝cos∠CAB， ∴， ∴， ∴AD． 45．（2024•开福区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠BCD＝∠OCA， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝∠BCD+∠OCB＝90° ∴∠OCD＝90° ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为r， ∴AB＝2r， ∵∠D＝30°，∠OCD＝90°， ∴OD＝2r，∠COB＝60° ∴r+2＝2r， ∴r＝2，∠AOC＝120° ∴BC＝2， ∴由勾股定理可知：AC＝2 易求S△AOC21 S扇形OAC ∴阴影部分面积为 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/9 16:09:35；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$