精品解析：内蒙古兴安盟乌兰浩特市第五中学2022-2023学年九年级上学期期中数学

九年级数学试题 一、选择题（10×3=30） 1. 的半径为2，线段，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 2. 如下图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ） A. 96° B. 98° C. 102° D. 100° 3. 已知二次函数与轴的一个交点，则值为（ ） A. B. C. 或 D. 任何实数 4. 下列说法正确的是（　 　） A. 同弧或等弧所对的圆心角相等 B. 所对圆心角相等的弧是等弧 C. 弧长相等的弧一定是等弧 D. 平分弦的直径必垂直于弦 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 刻舟求剑 B. 从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形 C. 方程在实数范围内有解 D. 在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球 6. 从图中的四张图案中任取一张，取出图案是中心对称图形的概率是（　　） A. B. C. D. 1 7. 如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（　　） A. B. C. D. 8. 将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（　　） A. a＞3 B. a＜3 C. a＞5 D. a＜5 9. 抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 当x＞﹣2时，y随x增大而增大 C. 函数图象与x轴没有交点 D. 函数有最小值是﹣2 二、填空题（8×3=24） 11. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 12. 一个半径为的圆内接正三角形的面积等于________． 13. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 14. 已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为__________°． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 16. 如图，将绕点旋转得到，点A的坐标为，则点的坐标为________． 17. 已知是方程一个实数根，则代数式的值是________． 18. 如图，已知扇形的圆心角为72°，半径为10，将它沿着箭头所示的方向无滑动滚动到扇形位置时，则点O到点所经过的路径的长为____． 三、解答题（共66分） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（不写解答过程，直接写出结果） （1）若与关于原点成中心对称，则点的坐标为_______； （2）将绕点顺时针方向旋转，则点走过的路径长为_______； （3）在轴上找一点，使的值最小，则点的坐标为_______． 20. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？ （2）请把条形统计图补充完整； （3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率． 22. 如图，内接于，，点在直径的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 23. 宜昌四中男子篮球队在2016全区篮球比赛中蝉联冠军，让全校师生倍受鼓舞．在一次与第25中学的比赛中，运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮，如图所示，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）运动员小涛的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，小涛跳离地面的高度是多少？ 24. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 25. 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（10×3=30） 1. 的半径为2，线段，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由⊙O的半径分别是2，点P到圆心O的距离为4，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系． 【详解】解：∵⊙O的半径是2，点P到圆心O的距离为4， ∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外． 故选：C. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 2. 如下图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ） A. 96° B. 98° C. 102° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】连接OC，根据圆的性质确定OB=OC=OD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接OC． ∵点B、C、D在上， ∴OB=OC=OD． ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 3. 已知二次函数与轴的一个交点，则值为（ ） A. B. C. 或 D. 任何实数 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入二次函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【详解】∵二次函数y=(k2−1)x2+2kx−4与x轴的一个交点为(−2,0)， ∴0=(k2−1)×(−2)2+2k×(−2)−4，且k2−1≠0， 解得：k1=−1，k2=2， 当k=1时，k2−1=0，不合题意舍去， ∴k=2. 故答案选：A. 【点睛】本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点. 4. 下列说法正确的是（　 　） A. 同弧或等弧所对的圆心角相等 B. 所对圆心角相等的弧是等弧 C. 弧长相等的弧一定是等弧 D. 平分弦的直径必垂直于弦 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆中的基本概念逐个分析选项即可． 【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆心角相等．选项说法正确，符合题意； B. 所对圆心角相等的弧是等弧．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故选项说法错误，不符合题意； C. 弧长相等的弧一定是等弧．长度相等的不一定是等弧，但等弧的长度相等，故选项说法错误，不符合题意； D. 平分弦的直径必垂直于弦．需要添加此弦非直径的条件，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查圆的基本概念，解题的关键是掌握并理解与圆有关的基本概念． 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 刻舟求剑 B. 从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形 C. 方程在实数范围内有解 D. 在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意； B、从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形，是随机事件，符合题意； C、方程在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意； D、在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 6. 从图中的四张图案中任取一张，取出图案是中心对称图形的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】在这四个图片中第一、二、三幅图案是中心对称图形，因此是中心对称图形的概率是． 故选C． 7. 如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用切线长定理得出，，，进而求出的长． 【详解】∵，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D． ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键． 8. 将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（　　） A. a＞3 B. a＜3 C. a＞5 D. a＜5 【答案】D 【解析】 【分析】先利用配方法将原解析式化为顶点式，再根据平移规律得出平移后的解析式，再将y=2代入得到一元二次方程，最后根据判别式△>0列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a， ∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2， 将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0， 由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5． 故答案为D． 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移、二次函数与一元二次方程的关系、一元一次不等式的解法等知识点，确定平移后的函数解析式是解答本题的关键． 9. 抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 当x＞﹣2时，y随x增大而增大 C. 函数图象与x轴没有交点 D. 函数有最小值是﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象经过（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3）与（﹣2，﹣2）可得抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣2），进而求解． 【详解】∵抛物线经过（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3）， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）， ∵﹣2为函数最大值， ∴抛物线开口向下， ∴x＞﹣2时，y随x增大而增小， ∴选项A，B，D错误， ∵y≤﹣2， ∴图象与x轴无交点， ∴选项C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（8×3=24） 11. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】根据圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 12. 一个半径为的圆内接正三角形的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外接圆与外心，正三角形的性质等知识点，掌握正三角形与外接圆的性质是解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据正三角形与圆的性质得出的度数，从而得出，再通过含角的直角三角形的性质及勾股定理求得与的长，然后求得的面积即可． 【详解】解：如图，∵O为正三角形的中心，于点D，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴. 故答案为：. 13. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 【答案】2； 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0． 【详解】根据题意得：m(m−2)=0， ∴m=0或m=2， ∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2. 故填2. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，需理解二次函数与y轴的交点的纵坐标即为常数项的值. 14. 已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为__________°． 【答案】30°或150 ° 【解析】 【分析】求出，再利用圆周角定理，圆内接四边形的性质解决问题即可； 【详解】如图，∵弦AB将圆周分为5：1两段弧， ∴， 在优弧AB上取一点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取一点D，连接AD，BD， ∵，， ∴，； 故答案是30°或150 °． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，准确计算是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 【答案】（2，1） 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 16. 如图，将绕点旋转得到，点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、中点坐标公式等知识点，是理解题意、灵活运用所学知识成为解题的关键． 设，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设， ∵将绕点旋转得到，点A的坐标为， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 17. 已知是方程一个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解的概念、代数式的变形、整体代入的数学思想方法等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键. 由m是方程的一个实数根可得与的值，然后整体代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴，显然，两边同时除以m得：， ∴，， ∴. 故答案为：. 18. 如图，已知扇形的圆心角为72°，半径为10，将它沿着箭头所示的方向无滑动滚动到扇形位置时，则点O到点所经过的路径的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】首先得出点O到点所经过的路径，然后根据扇形弧长公式求解即可． 【详解】解：点O到点所经过的路径的长． 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是正确得出点O到点所经过的路径． 三、解答题（共66分） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（不写解答过程，直接写出结果） （1）若与关于原点成中心对称，则点的坐标为_______； （2）将绕点顺时针方向旋转，则点走过的路径长为_______； （3）在轴上找一点，使的值最小，则点的坐标为_______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解即可得； （2）点走过的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧长，根据弧长公式计算即可得； （3）先找到点关于轴对称的点的坐标，再求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点坐标即可得． 【小问1详解】 解：关于原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意可知，点走过的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧长， ， ， 则点走过的路径长为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴对称的点的坐标，则， 连接，交轴于点，则，此时的值最小， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 即当的值最小时，点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的点的坐标特征、弧长公式、一次函数的几何应用、轴对称的性质，较难的是题（3），正确找出点的位置是解题关键． 20. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 21. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？ （2）请把条形统计图补充完整； （3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率． 【答案】（1）本次调查的学生总人数为40人，∠α=108°； （2）补全图形如下： （3）书法与乐器组合在一起的概率为． 【解析】 【详解】【分析】（1）用A科目人数除以其对应的百分比可得总人数，用360°乘以C对应的百分比可得∠α的度数； （2）用总人数乘以C科目的百分比即可得出其人数，从而补全图形； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是“书法”“乐器”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）本次调查的学生总人数为4÷10%=40人，∠α=360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=108°； （2）C科目人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=12人， （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好是书法与乐器组合在一起的结果数为2， 所以书法与乐器组合在一起的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法求概率，读懂统计图、熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键. 22. 如图，内接于，，点在直径的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理求得，进而有，再根据等腰三角形的性质求得，然后根据三角形的内角和定理求得，根据切线判断定理即可解答； （2）先利用锐角三角函数求得，再根据扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴, ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、扇形和三角形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的有关知识是解答的关键． 23. 宜昌四中男子篮球队在2016全区篮球比赛中蝉联冠军，让全校师生倍受鼓舞．在一次与第25中学的比赛中，运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮，如图所示，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）运动员小涛的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，小涛跳离地面的高度是多少？ 【答案】（1） （2）球出手时，他跳离地面的高度为. 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法确定函数解析式等知识点，求得函数解析式是解答本题的关键． （1）设抛物线的表达式为，再将点代入求得a的值即可． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为,则可得，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为． 由图知图象过以下点：． ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：设球出手时，他跳离地面的高度为, 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为, ∴， ∴． 答：球出手时，他跳离地面的高度为. 24. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 （3） 【解析】 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【小问1详解】 解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点E的坐标为 （3）存在；点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $