湖南省长沙市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数

湖南省长沙市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 一．选择题（共8小题） 1．（2024•雨花区二模）在平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和点B（x2，4）在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（　　） A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．无法确定 2．（2024•长沙县二模）下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＞y2的是（　　） A．y＝﹣3x+2 B．y＝2x+1 C．y＝2x2+1 D． 3．（2024•长沙县二模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，若四边形ABCO的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024•雨花区二模）若函数y的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2 5．（2024•开福区二模）二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 6．（2024•开福区二模）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•开福区二模）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 8．（2024•雨花区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共6小题） 9．（2024•长沙县二模）在函数关系式中，自变量x的取值范围为 　 　． 10．（2024•开福区二模）若点P（﹣3，2）关于原点的对称点在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为 　 　． 11．（2024•雨花区二模）在平面直角坐标系中，点M（﹣4，3）到y轴的距离是 　 　． 12．（2024•开福区二模）学习完生物课《血液》知识后，生物兴趣小组发现医生通常嘱咐“四小时后方可继续服药”是与药物在血液中的浓度有关的．课后查阅资料获取到下列信息：成人服用某一药物后血药浓度变化如图所示，刚开始血药浓度逐渐升高，达到最大值后开始逐渐下降，下降过程中血药浓度y（mg/ml）是服药时间x（h）的反比例函数，点A（4，10）在该反比例函数图象上，当血药浓度为8mg/ml时，药物几乎失效，则需要服用此种药物的成人 　 　h后服药更合理． 13．（2024•开福区二模）如图，菱形ABCD的顶点C、B分别在x轴、y轴的正半轴上，对角线AC、BD的交点E在第一象限，反比例函数的图象经过点E，已知AC⊥x轴． （1）若菱形ABCD的面积为6，则k的值为 　 　． （2）在（1）的条件下，若反比例函数的图象与边AB交于点F，则　 　． 14．（2024•雨花区二模）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，C为x轴上的一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 　 　． 三．解答题（共12小题） 15．（2024•开福区二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA＝右盘物体重量×OP（不计托盘与横梁重量）． 任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为y（g），OP长x（cm）．当天平平衡时，求y关于x的函数表达式，并求y的取值范围． 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 16．（2024•开福区二模）综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，▱ABCD的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，OA＝OC＝2OB＝4，直线y＝x+t（﹣2≤t≤4）分别与x轴、y轴、线段AD、直线AB交于点E、F、P、Q． （1）当t＝1时，求证：AP＝DP． （2）探究线段AP、PQ之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得∠PMQ＝90°，且以点M、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024•开福区二模）对于抛物线，我们发现其图象上任意一点到点（0，a）的距离和到直线y＝﹣a的距离总是相等，于是规定点（0，a）为抛物线的焦点，直线y＝﹣a为抛物线的准线． 例如：如图1，，其焦点为A（0，a），准线为直线y＝﹣a，抛物线上任意一点P（x，y）到准线的距离为PH，则，，即PA＝PH；同理可得a＜0时，PA＝PH也成立．利用焦点和准线的性质解决下列问题： （1）请直接写出抛物线的焦点和准线； （2）如图2，已知抛物线的焦点为C，其准线与y轴交于点D，过焦点C的直线与抛物线交于A，B两点，求证：tan∠ADC＝tan∠BDC； （3）已知抛物线，焦点为F，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，EF＝40F且， ①求p的值； ②过焦点F的直线与该抛物线交于M，N两点，P为抛物线准线上一点，当△PMN为等边三角形时，求直线MN的解析式． 18．（2024•雨花区二模）我们不妨约定：若点A（xA，yA）、B（xB，yB）（xA≠xB）是同一函数图象上不同的两点，且线段AB∥x轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”． （1）若点M（xM，yM）和点N（xN，yN）为函数y＝|x|图象上的一对“平行点”，求xM+xN的值； （2）关于x的函数y＝mx+n（m、n为常数）的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由； （3）若点P（1，p）、Q（3，q）、R（r，t）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足c＞q＞p．求直线与x轴、y轴围成的三角形面积的取值范围． 19．（2024•雨花区二模）健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 20．（2024•长沙县二模）春夏之交，正适合去山野间漫游．蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．长沙县某公司准备在周末组织一次露营活动，需要租用A、B两种型号的帐篷．若租用A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需520元；若租用A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需280元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的租金； （2）若该该公司需要租用A、B两种型号的帐篷共20顶，租用A种型号帐篷数量不超过B种型号帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？租用帐篷的总费用最低为多少元？ 21．（2024•雨花区二模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”．根据该约定，完成下列各题． （1）下列函数是“T函数”的有 　 　．（填序号） ①y＝x+1； ②y＝2024x2+3； ③y＝||； ④y＝﹣x2+2x+2024． （2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是“T函数”，将此“T函数”进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c（c＜0），新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若AB＝2，且满足∠ACO＝∠ABC，求平移后新函数的解析式； （3）已知关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴无交点，过点H（0，2c）的一次函数的图象与二次函数的图象交于M，N两点（M在N的左侧），过点M，N分别作ME⊥x轴于点E，NF⊥x轴于点F，分别用S1，S2，S3表示△MEH，△HEF，△HFN的面积，问：是否存在实数m，使mS1S3恒成立？若成立，求出m的值，若不存在，说明理由． 22．（2024•长沙县二模）我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“生成”函数，一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“生成点”． （1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“生成”函数？并求出它的“生成点”； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“生成点”，且AB＝3MN，求a的值； （3）若一次函数y＝ax+3b和反比例函数的“生成”函数的两个“生成点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令，求l的取值范围． 23．（2024•雨花区二模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“开心函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“开心点”． （1）判断以下函数上是否是“开心函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①y＝x 　 　②y 　 　③y＝x2　 　 （2）关于x的函数y＝ax2+（a+4）x为常数）是“开心函数”吗？如果是，指出有多少个“开心点”，如果不是，请说明理由； （3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数），与x轴分别交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其中x1＜x2；与y轴交于C点（0，c），抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接AC，BM交于N点，连接BC，CM，记S△MCN＝S1，S△BCN＝S2，若满足：①抛物线顶点P为“开心点”；②b﹣2a＝0；③△ABP是等边三角形；若m≤t≤2m，的最大值为，求m的值． 24．（2024•开福区二模）规定：如果某函数的图象关于直线x＝m（m为常数）对称，则称该函数为“芳方美美函数”，直线x＝m叫做“芳方直线”． （1）下列函数，是否为“芳方美美函数”？若是，请在括号内直接填写其“芳方直线”，若不是，请在括号内打×． ①y＝|x﹣2024|　 　；②y 　 　；③y＝x2﹣2024x+2024 　 　； （2）函数y1＝x2+b1x+c1和y2＝x2+b2x+c2（其中b1、b2、c1、c2为常数，c1＜c2）均为“芳方美美函数”，且其“芳方直线”为同一直线．若直线y＝kx+m与y1＝x2+b1x+c1、y2＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．求证：EF＝GH． （3）若关于x的“芳方美美函数”y1＝ax2+bx+3a（a≠0）的“芳方直线”为x＝2，其函数图象与x轴交于点A、B（点A在点B的右边），其顶点为M；函数y2＝﹣ax2+bx﹣3a的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的右边），其顶点为N，以A、D、M、N为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出a的值，若不能请说明理由． 25．（2024•开福区二模）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系． 通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表． 飞行水平距离x/m 0 20 30 50 80 … 飞行高度y/m 0 40 54 70 64 … 根据上面的信息，解决下列问题： （1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离； （2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m，若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 26．（2024•开福区二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，4）． （1）直接写出结果：b＝　 　，c＝　 　，点B的坐标为 　 　，直线BC的解析式为 　 　； （2）点D（t，0）是x轴上一点，将线段DC绕点D逆时针旋转90°得线段DE，若点E恰好落在抛物线上，求点E的坐标； （3）若点P是点A（含点A）右侧抛物线上一点，且点P的横坐标为m，PQ⊥BC于Q，连接OQ，令S＝S△OBQ． ①求S与m的函数解析式； ②若S为整数，根据S的不同取值，直接写出点P的个数情况． 湖南省长沙市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•雨花区二模）在平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和点B（x2，4）在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（　　） A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．无法确定 【解答】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， ∵点A（x1，2）和B（x2，4）中，4＞2， ∴x1＞x2， 故选：A． 2．（2024•长沙县二模）下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＞y2的是（　　） A．y＝﹣3x+2 B．y＝2x+1 C．y＝2x2+1 D． 【解答】解：A、y＝﹣3x+2中k＝﹣3， ∴y随x值的增大而减小， ∴A选项不符合题意； B、y＝2x+1中k＝2， ∴y随x值的增大而增大， ∴B选项符合题意； C、y＝2x2+1中a＝2， ∴当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大， ∴C选项不符合题意； D、y中k＝﹣1， ∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大， ∴D选项不符合题意． 故选：B． 3．（2024•长沙县二模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，若四边形ABCO的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：延长BA交y轴于点D， ∵AB∥x轴， ∴DA⊥y轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵四边形ABCO的面积为2， ∴S矩形OCBD＝3， ∴k＝3． 故选：C． 4．（2024•雨花区二模）若函数y的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【解答】解：∵函数y的图象在第二、四象限， ∴m+2＜0， 解得m＜﹣2． 故选：B． 5．（2024•开福区二模）二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）． 故选：A． 6．（2024•开福区二模）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m为常数，m＞0）， 将y＝kx+b代入z＝my得：z＝m（kx+b）＝mkx+mb， ∴z与x的函数关系为一次函数关系， ∵k＜0，b＞0，m＞0， ∴mk＜0，mb＞0， ∴z与x的函数图象过一、二、四象限． 故选：C． 7．（2024•开福区二模）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣3＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． 又∵﹣2＜0， ∴点B（﹣2，y2）位于第二象限， ∴y2＞0； 又∵0＜1＜3， ∴点A（2，y1），点C（3，y3）位于第四象限， ∴y1＜y3＜0； ∴y1＜y3＜y2， 故选：C． 8．（2024•雨花区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•长沙县二模）在函数关系式中，自变量x的取值范围为 　x≥2024　． 【解答】解：若有意义，则x﹣2024≥0， 解得x≥2024． 故答案为：x≥2024． 10．（2024•开福区二模）若点P（﹣3，2）关于原点的对称点在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为 　　． 【解答】解：点P（﹣3，2）关于原点的对称点是（3，﹣2）， 把（3，﹣2）代入得：k＝﹣6， ∴该反比例函数的解析式为， 故答案为：． 11．（2024•雨花区二模）在平面直角坐标系中，点M（﹣4，3）到y轴的距离是 　4　． 【解答】解：点M（﹣4，3）在第二象限，到y轴的距离是4． 故答案为：4． 12．（2024•开福区二模）学习完生物课《血液》知识后，生物兴趣小组发现医生通常嘱咐“四小时后方可继续服药”是与药物在血液中的浓度有关的．课后查阅资料获取到下列信息：成人服用某一药物后血药浓度变化如图所示，刚开始血药浓度逐渐升高，达到最大值后开始逐渐下降，下降过程中血药浓度y（mg/ml）是服药时间x（h）的反比例函数，点A（4，10）在该反比例函数图象上，当血药浓度为8mg/ml时，药物几乎失效，则需要服用此种药物的成人 　5　h后服药更合理． 【解答】解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意，得：k＝xy＝10×4＝40， ∴y与x之间的函数关系式为； 当y＝8时，则， 故答案为：5． 13．（2024•开福区二模）如图，菱形ABCD的顶点C、B分别在x轴、y轴的正半轴上，对角线AC、BD的交点E在第一象限，反比例函数的图象经过点E，已知AC⊥x轴． （1）若菱形ABCD的面积为6，则k的值为 　3　． （2）在（1）的条件下，若反比例函数的图象与边AB交于点F，则　　． 【解答】解：（1）∵S菱形ABCD＝6， ∴． ∵E点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵k＞0， ∴k＝3， 故答案为：3． （2）过A点作AG⊥y轴，过F点作FH⊥BD于H点， 则S矩形OCAG＝S菱形ABCD＝6． 设，， 则， ∵∠FHB＝∠AEB＝90°，∠FBH＝∠ABE， ∴△FBH∽△ABE， ∴， ∵BH＝n，BE＝m，，， ∴， 得n2﹣m2+mn＝0， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 14．（2024•雨花区二模）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，C为x轴上的一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 　6　． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB⊥y轴， ∴x轴∥AB， ∴． 故答案为：6． 三．解答题（共12小题） 15．（2024•开福区二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA＝右盘物体重量×OP（不计托盘与横梁重量）． 任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为y（g），OP长x（cm）．当天平平衡时，求y关于x的函数表达式，并求y的取值范围． 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【解答】解：任务1：根据链接中给的杠杆原理，可以列出y与x之间的关系式：100×12＝y•x． 将其化为y关于x的函数表达式：y， 由于OB＝OC+BC＝12+28＝40（cm）． ∴OC≤x≤OB，即为12≤x≤40． ∴y的取值范围为30≤y≤100（ g ）． 任务2：根据素材2，设第一次加入水的质量为a（g），空矿泉水瓶的质量为b（g）． 第一次称量时，x＝OB＝40，y＝a+b， 根据杠杆原理列出方程：40（a+b）＝1200． 第二次称量时，x＝OC+PC＝12+12＝24，y＝2a+b， 根据杠杆原理列出方程：24（2a+b ）＝1200． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为10g． 16．（2024•开福区二模）综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，▱ABCD的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，OA＝OC＝2OB＝4，直线y＝x+t（﹣2≤t≤4）分别与x轴、y轴、线段AD、直线AB交于点E、F、P、Q． （1）当t＝1时，求证：AP＝DP． （2）探究线段AP、PQ之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得∠PMQ＝90°，且以点M、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：由OA＝OC＝2OB＝4知，OC＝4，OB＝2， 则AD＝BC＝6， 则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（﹣2，0）， 当y＝4时，y＝x+t＝4， 则x＝4﹣t＝4﹣1＝3AD， 即点P（3，4）， 即AP＝DP． （2）解：PQ＝2AP，理由： 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝2x+4， 联立上式和y＝x+t得：2x+4＝x+t， 解得：x＝4﹣t， 即点Q（t﹣4，2t﹣4）， 同理可得，点P（4﹣t，4）， 则AP＝4﹣t， 由点PQ的坐标得，PQ＝2（4﹣t）＝2AP； （3）解：过点P作PH⊥x轴于点H，过点Q作QI⊥x轴于点I，见图1、2、3， 设点M（m，0）， 由（2）知，点P、Q的坐标分别为：（4﹣t，4）、（t﹣4，2t﹣4）， 则PH＝|m﹣4+t|，HM＝OA＝4，QI＝|m﹣t+4|，IM＝4﹣2t， ∵∠PMH+∠QMI＝90°，∠QMI+∠IQM＝90°， ∴∠IQM＝∠PMH， ∴Rt△PHM∽Rt△MIQ， ∵以点M、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似， 则PM：QM＝2或， 故Rt△PHM和Rt△QMI的相似比为：2或， 则PH：MI＝HM：QI＝2或， 当m＞0时，如图1，2， 当相似比为2时，如图1， ， 则PH＝2MI，MH＝2QI， 即4＝2（m﹣t+4）且4﹣t﹣m＝2（2t﹣4）， 解得：m，t， 即点M（，0），t； 当相似比为时，如图2， ， 则PHMI，MHQI， 则2×4＝m﹣（t﹣4）且2（m﹣4+t）＝4﹣2t， 解得：m，t， 则点M（，0），t； 当m＜0时，如图3， 当相似比为2时，如图1， ， 则PH＝2MI，MH＝2QI， 则4＝2[（t﹣4）﹣m]且4﹣t﹣m＝2（4﹣2t）， 解得：m＝﹣7，t＝﹣1， 即点M（﹣7，0），t＝﹣1； 当相似比为时， 经验证，该情况不存在， 综上，点M（，0），t或M（，0），t或M（﹣7，0），t＝﹣1． 17．（2024•开福区二模）对于抛物线，我们发现其图象上任意一点到点（0，a）的距离和到直线y＝﹣a的距离总是相等，于是规定点（0，a）为抛物线的焦点，直线y＝﹣a为抛物线的准线． 例如：如图1，，其焦点为A（0，a），准线为直线y＝﹣a，抛物线上任意一点P（x，y）到准线的距离为PH，则，，即PA＝PH；同理可得a＜0时，PA＝PH也成立．利用焦点和准线的性质解决下列问题： （1）请直接写出抛物线的焦点和准线； （2）如图2，已知抛物线的焦点为C，其准线与y轴交于点D，过焦点C的直线与抛物线交于A，B两点，求证：tan∠ADC＝tan∠BDC； （3）已知抛物线，焦点为F，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，EF＝40F且， ①求p的值； ②过焦点F的直线与该抛物线交于M，N两点，P为抛物线准线上一点，当△PMN为等边三角形时，求直线MN的解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线可化为x2＝4y，其中p为2， ∴焦点（0，1），准线y＝﹣1． （2）∵AM⊥CD，BN⊥CD， ∴AM∥BN， ∴△AMC∽△BNC， ∴， 即， ∵点C为焦点，PQ为准线， ∴AC＝AP，BC＝BQ， ∴， ∵四边形APDM，BQDN为矩形， ∴AP＝MD，BQ＝DN， ∴， ∴tan∠ADC＝tan∠BDC． （3）①由已知可知在，F为焦点，连接FE，过点E作准线的垂线，垂足为M， ∴F（0，p），准线y＝﹣p， 设E（xE，yE）， ∴EF＝EM＝yE+p，OF＝p， ∵EF＝4OF， ∴yE+p＝4p， ∴yE＝3p， ∴令y＝3p，则， ∴x2＝12p2， ∵x＞0， ∴， ∴， ∴S△OEF， 代入数值可得， 解得p1＝1，p2＝﹣1， ∵p＞0， ∴p＝1． ②按照题意作图，过点P作MN的垂线，垂足为H， 根据题意可得P（xp，﹣1），F（0，1），MH＝NH，抛物线的解析式为， 故可设直线MN解析式为y＝kx+1， 联立， 得， 即x2﹣4kx﹣4＝0， 设方程的两根为xM，xN， ∴xM+xN＝4k， ∴， ∴yM+yN＝kxM+1+kxN+1， 即yM+yN＝k（xM+xN）+2， 代入数值可得， ∴， ∴线段MN中点H（2k，2k2+1）， ∴， ∵MH⊥PH， ∴kPH×kMN＝﹣1， ∴， ∴P（2k（k2+2），﹣1）， ∴， 又∵，∠NMP＝60°， ∴， 即， 解得， ∴直线MN的解析式或． 18．（2024•雨花区二模）我们不妨约定：若点A（xA，yA）、B（xB，yB）（xA≠xB）是同一函数图象上不同的两点，且线段AB∥x轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”． （1）若点M（xM，yM）和点N（xN，yN）为函数y＝|x|图象上的一对“平行点”，求xM+xN的值； （2）关于x的函数y＝mx+n（m、n为常数）的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由； （3）若点P（1，p）、Q（3，q）、R（r，t）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足c＞q＞p．求直线与x轴、y轴围成的三角形面积的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可知yM＝yN， 即|xM|＝|xN|，xM≠xN， ∴xM＝﹣xN， ∴xM+xN＝0； （2）①当m＝0时，y＝mx+n＝n， ∴函数图象上任意两点的纵坐标都相等，函数图象是平行x轴的直线， ∴函数y＝mx+n是上存在无数组“平行点”； ②当m≠0时，不存在“平行点”，理由如下： 若存在，设这组“平行点”为A（x1，mx1+n）、B（x2，mx2+n）（x1≠x2）， 则有mx1+n＝mx2+n， 即mx1＝mx2（x1≠x2）， 得m＝0，与m≠0矛盾； 当m＝0时，函数y＝mx+n是上存在无数组“平行点”； 当m≠0时，不存在“平行点”． （3）∵点P（1，p）、Q（3，q）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上， ∴p＝a+b+c，q＝9a+3b+c， 又∵c＞q＞p， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c（a＞0）， 解得， 即， ∴点P、R为该函数的一组“平行点”，纵坐标相等， 由抛物线对称性可得， 即， ∴3＜r+1＜4， ∴2＜r＜3，， 令，则与N轴交点为； 令x＝0，则直线与y轴交点为（0，r）， ∴直线与x轴、y轴围成的三角形面积为S， ∴， 将看成关于的二次函数，开口向上，对称轴为：其上点横坐标都是1的竖线， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，有上限值（不取此值），S有下限值（不取此值）， 即； 当时，有下限值（不取此值），S有上限值（不取此值）， 即， ∴直线与x轴、y轴围成的三角形面积的取值范围为． 19．（2024•雨花区二模）健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设购进A型净水器x台，则购进B型净水器（40﹣x）台，依题意得， ， 解得：20≤x≤24， ∴x＝20，21，22，23，24， ∴共有5种进货方案； （2）设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意得， ∴y＝（300﹣200）x+（350﹣300）（40﹣x）＝50x+2000， ∵50＞0，y随x的增大而增大， 又∵20≤x≤24， ∴当x＝24时，y取得最大值，最大利润为：50×24+2000＝3200（元）， 40﹣24＝16； 答：购进A型净水器24台，则购进B型净水器16台，能使得总利润最大，最大利润是3200元． 20．（2024•长沙县二模）春夏之交，正适合去山野间漫游．蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．长沙县某公司准备在周末组织一次露营活动，需要租用A、B两种型号的帐篷．若租用A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需520元；若租用A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需280元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的租金； （2）若该该公司需要租用A、B两种型号的帐篷共20顶，租用A种型号帐篷数量不超过B种型号帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？租用帐篷的总费用最低为多少元？ 【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷租金m元，每顶B种型号帐篷租金n元， ， ， ∴每顶A种型号租金60元，每顶B种帐篷租金100元； （2）设租用A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则租用B种型号帐篷 （20﹣x） 顶， ∵租用A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的， ∴，解得x≤5， 根据题意得：w＝60x+100（20﹣x）＝﹣40x+2000， ∵k＝﹣40＜0，∴w随x的增大而减小， ∴当 x＝5 时，w取最小值，最小值为﹣40×5+2000＝1800（元）， ∴20﹣x＝20﹣5＝15， 答：总费用最低为1800元． 21．（2024•雨花区二模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”．根据该约定，完成下列各题． （1）下列函数是“T函数”的有 　②③　．（填序号） ①y＝x+1； ②y＝2024x2+3； ③y＝||； ④y＝﹣x2+2x+2024． （2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是“T函数”，将此“T函数”进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c（c＜0），新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若AB＝2，且满足∠ACO＝∠ABC，求平移后新函数的解析式； （3）已知关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴无交点，过点H（0，2c）的一次函数的图象与二次函数的图象交于M，N两点（M在N的左侧），过点M，N分别作ME⊥x轴于点E，NF⊥x轴于点F，分别用S1，S2，S3表示△MEH，△HEF，△HFN的面积，问：是否存在实数m，使mS1S3恒成立？若成立，求出m的值，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）①y＝x+1的图象上不存在两点关于y轴对称，不是“T函数”； ②y＝2024x2+3的图象关于y轴对称，是“T函数”； ③的图象关于y轴对称，是“T函数”； ④y＝﹣x2+2x+2024的图象关于x＝1对称，不是“T函数”； 故答案为：②③； （2）∵二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是“T函数”， ∴抛物线关于y轴对称， ∴k2﹣1＝0且k+1≠0， ∴k＝2， ∴y＝2x2+1， 设平移后的解析式为y＝2x2+bx+c， 当x＝0时，y＝c，当y＝2x2+bx+c＝0时，设A，B的横坐标为x1，x2， 则：C（0，c），x1+x2，x1x2， ∵AB＝2， ∴4x1x2422， 整理得：b2﹣8c＝16， ∵∠ACO＝∠ABC，∠AOC＝∠BOC， ∴△ACO∽△CBO， ∴， ∴OC2＝OA•OB，即：c2＝|x1|•|x2|＝|x1x2|， 解得：c＝0（舍去）或（舍）或， 当时，b2＝12，则：， ∴平移后的抛物线的解析式为：y＝2或y； （3）存在；理由如下： 设过H（0，2c）的直线为y＝kx+2c， ∵y＝ax2+bx+c是“T函数”， ∴b＝0， ∴y＝ax2+c， 令kx+2c＝ax2+c，即：ax2﹣kx﹣c＝0，设M（t，kt+2c），N（n，kn+2c）， 则：，E（t，0），F（n，0）， ∴EF＝n﹣t，， ∴S1|t|•|kt+2c|，S2（n﹣t）•|2c|，S3|n|•|kn+2c|， ∵y＝ax2+c与x轴无交点，分两种情况： ①a＞0，c＞0， 则：S1t（kt+2c），S2（n﹣t）2c＝（n﹣t）c，S3n•（kn+2c）， 当＝mS1S3，则： （n﹣t）2c2mn（kn+2c）t（kt+2c），即： ， 即：， ∵＝mS1S3恒成立， ∴， ∴m＝4； ②a＜0，c＜0时， 则：S1t（kt+2c），{S}_{2}＝\frac{1}{2}（n﹣t）（﹣2c）＝﹣（n﹣t）c，{S}_{3}＝﹣\frac{1}{2}n（kn+2c）$， 当${S}{_{2}}^{2}＝m{S}_{1}{S}_{3}$，则： ${（n﹣t）}^{2}{c}^{2}＝﹣\frac{1}{4}mn（kn+2c）t（kt+2c）$， 即：$（\frac{{k}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4c}{a}）{c}^{2}＝﹣\frac{1}{4}m（﹣\frac{c}{a}）[{k}^{2}（﹣\frac{c}{a}）+2ck•\frac{k}{a}+4{c}^{2}]$ ＝﹣$\frac{1}{4}m{k}^{2}{（\frac{c}{a}）}^{2}+\frac{m{c}^{2}{k}^{2}}{2{a}^{2}}+\frac{m{c}^{3}}{a}$， 即：$（1+\frac{1}{4}m﹣\frac{m}{2}）\frac{{k}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}+（4﹣m）•\frac{{c}^{3}}{a}＝0$， ∵＝mS1S3恒成立， ∴$1+\frac{1}{4}m﹣\frac{m}{2}＝0，4﹣m＝0$， ∴m＝4； 综上：m＝4． 22．（2024•长沙县二模）我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“生成”函数，一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“生成点”． （1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“生成”函数？并求出它的“生成点”； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“生成点”，且AB＝3MN，求a的值； （3）若一次函数y＝ax+3b和反比例函数的“生成”函数的两个“生成点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令，求l的取值范围． 【解答】解：（1）关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“生成”函数，据此可知：二次函数y＝x2﹣3x﹣4中，p＝1，q＝﹣3，k＝4； ∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4是一次函数y＝x﹣3与反比例函数的“生成”函数， 联立得：， 解得， 经检验，两组解均是方程组的解， ∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4的“生成点”是（﹣1，﹣4），（4，1）； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“生成点”，且AB＝3MN， ∴令y＝0，则ax2+bx+c＝0，得：， ∴， ∵二次函数y＝ax2+bx+c是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“生成”函数， ∴由得ax+b， ∴ax2+bx+c＝0， ∴A，B两个“生成点”的横坐标满足：， 纵坐标yA＝axA+b，yb＝axb+b， ∴yA+yB＝a（xA+xB）+2b＝b，yAyB＝（axA+b）（axB+b）＝ac， ， ∵AB＝3MN， ∴， ∴， ∵二次函数 y＝ax2+bx+c 与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴1+a2＝9， ∴； （3）若一次函数y＝ax+3b和反比例函数的“生成”函数的两个“生成点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0， ∴a＞0，c＜0， ∴a＞﹣a﹣c＞c， ∴， ∵一次函数y＝ax+3b与反比例函数的“生成”函数的两个“生成点”的横坐标是x1，x2， ∴x1x2 是方程，即ax2+3bx+c＝0的两根， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴l的取值范围是． 23．（2024•雨花区二模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“开心函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“开心点”． （1）判断以下函数上是否是“开心函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①y＝x 　×　②y 　×　③y＝x2　√　 （2）关于x的函数y＝ax2+（a+4）x为常数）是“开心函数”吗？如果是，指出有多少个“开心点”，如果不是，请说明理由； （3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数），与x轴分别交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其中x1＜x2；与y轴交于C点（0，c），抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接AC，BM交于N点，连接BC，CM，记S△MCN＝S1，S△BCN＝S2，若满足：①抛物线顶点P为“开心点”；②b﹣2a＝0；③△ABP是等边三角形；若m≤t≤2m，的最大值为，求m的值． 【解答】解：（1）①y＝x，直线上的所有点的纵坐标均为横坐标的1倍， ∴函数图象上无开心点； ②联立y＝3x，可得：3x2＝﹣1，此式不存在，故函数图象上没有开心点； ③y＝x2，当x＝3时，y＝9＝3×3，纵坐标是横坐标的3倍， ∴函数图象上有开心点； 故答案为：×，×，√； （2）是开心函数；理由如下： ，联立y＝3x，得到：，整理得： ， 第一种情况：当a＝0 时，x+2＝0，x＝﹣2， 所以函数是开心函数，有1个开心点； 第二种情况：当a≠0时，， ∴△＞0时，； Δ＝0时，； Δ＜0时，； 综上所述：当a＝0或时，函数是开心函数，有1个“开心点”； 当且a≠0 时，函数是开心函数，有2个“开心点”； 当时，函数不是开心函数； （3）∵b﹣2a＝0， ∴b＝2a， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点的横坐标为﹣1， ∵抛物线顶点为“开心点”， ∴顶点的纵坐标为：﹣1×3＝﹣3， ∴二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣3＝ax2+2ax+a﹣3， ∵三角形ABP是等边三角形， ∴Δ＝（2a）2﹣4a（a﹣3）＝12a＝12， ∴a＝1， ∴二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣2， 当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x2+2x﹣2＝0， 解得：x1，x2， ∴A（﹣1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）， 设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 则：， 解得：， y＝（1）x﹣2， 过点M作x轴的垂线交AC于点D，过点B作x轴的垂线交AC于点E， ∵点M（t，t2+2t﹣2）， 则D（t，（1）t﹣2），E（，26）， ∴MD＝﹣t2，BE＝6﹣2， ∴，即， ∴是关于t的二次函数，且对称轴为直线，开口向下； 又∵，， ∴随t的增大而减小， ∴当t＝m时，取得最大值，最大值为：， 解得m＝﹣1或（舍去）， ∴m＝﹣1． 24．（2024•开福区二模）规定：如果某函数的图象关于直线x＝m（m为常数）对称，则称该函数为“芳方美美函数”，直线x＝m叫做“芳方直线”． （1）下列函数，是否为“芳方美美函数”？若是，请在括号内直接填写其“芳方直线”，若不是，请在括号内打×． ①y＝|x﹣2024|　x＝2024　；②y 　×　；③y＝x2﹣2024x+2024 　x＝1012　； （2）函数y1＝x2+b1x+c1和y2＝x2+b2x+c2（其中b1、b2、c1、c2为常数，c1＜c2）均为“芳方美美函数”，且其“芳方直线”为同一直线．若直线y＝kx+m与y1＝x2+b1x+c1、y2＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．求证：EF＝GH． （3）若关于x的“芳方美美函数”y1＝ax2+bx+3a（a≠0）的“芳方直线”为x＝2，其函数图象与x轴交于点A、B（点A在点B的右边），其顶点为M；函数y2＝﹣ax2+bx﹣3a的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的右边），其顶点为N，以A、D、M、N为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出a的值，若不能请说明理由． 【解答】解：（1）解：①y＝|x﹣2024|关于直线x＝2024对称，是“芳方美美函数”，其芳方直线为x＝2024； ②其函数图象，不是轴对称图形，不是“芳方美美函数”； ③y＝x2﹣2024x+2024，对称轴为直线x＝1012，是“芳方美美函数”，其芳方直线为x＝1012， 故答案为：①x＝2024；②×；③x＝1012． （2）①当k＝0时，y＝m，如图所示， 依题意，函数和（其中b1、b2、c1、c2为常数，c1＜c2．均为“芳方美美函数”，且其“芳方直线”为同一直线． 根据抛物线的对称性可得EF＝GH， ②当k≠0时，∵y1，y2的“芳方直线”为同一直线． ∴b1＝b2，设b1＝b2＝b， 如图所示，过E，G分别作x轴的平行线，过点F，H分别作y轴的平行线，交于点P，Q，则∠P＝∠Q＝90°，PE∥GQ， ∴∠FEP＝∠HGQ 联立， ∴x2+（b﹣k）x+c1﹣m＝0， ∴x1+x4＝k﹣b，同理可得x2+x3＝k﹣b， ∴x1+x4＝x2+x3， 即x2﹣x1＝x4﹣x3， 即EP＝GQ， ∴△FEP≌△HGQ（ASA）， ∴EF＝GH， 综上所述，EF＝GH； （3）∵关于x的“芳方美美函数”的“芳方直线”为x＝2，与x轴交于点A、B（点A在点B的右边）， 当，即b＝﹣4a， ∴， 令y＝0，即ax2﹣4ax+3a＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴A（3，0），B（1，0）， 当x＝2时，y＝﹣a，则M（2，﹣a） 函数的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的右边），其顶点为N， ∴， 令y＝0，即﹣ax2﹣4ax﹣3a＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，则对称轴为直线， ∴C（﹣1，0），D（﹣3，0）， 当x＝﹣2时，y＝a，则M（﹣2，a）， ∴OM＝ON，OA＝OD， ∴四边形AMDN是平行四边形， ∵AD在x轴上， ∴MN不可能垂直于AD， ∴四边形AMDN不可能是菱形， 当四边形AMDN为矩形时， ∴， 即， 解得：． 25．（2024•开福区二模）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系． 通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表． 飞行水平距离x/m 0 20 30 50 80 … 飞行高度y/m 0 40 54 70 64 … 根据上面的信息，解决下列问题： （1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离； （2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m，若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【解答】解：（1）设y＝ax2+bx， 将（20，40）和（30，54）代入y＝ax2+bx得，， 解得：， ∴， 当y＝0时，x2x＝0， 解得x＝120或x＝0， 答：飞机落到水平安全线时飞行水平距离为120m； （2）设， ∵125+5＝130， ∴125＜x＜130， 将（125，0）代入得：c＝12.5； 将（130，0）代入得：c＝26， ∴12.5＜c＜26． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m． 26．（2024•开福区二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，4）． （1）直接写出结果：b＝　3　，c＝　4　，点B的坐标为 　（4，0）　，直线BC的解析式为 　y＝﹣x+4　； （2）点D（t，0）是x轴上一点，将线段DC绕点D逆时针旋转90°得线段DE，若点E恰好落在抛物线上，求点E的坐标； （3）若点P是点A（含点A）右侧抛物线上一点，且点P的横坐标为m，PQ⊥BC于Q，连接OQ，令S＝S△OBQ． ①求S与m的函数解析式； ②若S为整数，根据S的不同取值，直接写出点P的个数情况． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得，， ∴y＝﹣x2+3x+4， 令﹣x2+3x+4＝0， 解得，x＝﹣1或x＝4， ∴B（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+d， 将B（4，0），C（0，4）代入得， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 故答案为：3，4，（4，0），y＝﹣x+4； （2）如图1，过D作MN⊥x轴，CN⊥MN于N，EM⊥MN于M， 由旋转的性质可得，DE＝DC，∠CDE＝90°， ∵∠MDE+∠MED＝90°＝∠MDE+∠NDC， ∴∠MED＝∠NDC， ∵∠MED＝∠NDC，∠EMD＝90°＝∠DNC，DE＝DC， ∴△MED≌△NDC（AAS）， ∴DM＝CN＝t，EM＝DN＝4， ∴E（t﹣4，﹣t）， 将E（t﹣4，﹣t）代入y＝﹣x2+3x+4得，﹣t＝﹣（t﹣4）2+3（t﹣4）+4， 解得，或， ∴或； （3）①由题意知，P（m，﹣m2+3m+4），（m≥﹣1）， ∵OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝45°， 如图2，作PM∥x轴，QM⊥PM于M， ∴∠QPM＝45°， 设Q（n，﹣n+4），则PM＝n﹣m，QM＝﹣n+4+m2﹣3m﹣4＝﹣n+m2﹣3m， ∴， 解得，， ∴， ∴； ∴S＝|﹣m2+2m+8|（m≥﹣1）； ②解：由题意知，， 如图3， 当m＝﹣1时，S＝5， 当m＝1时，S＝9； 当m＝4时，S＝0； ∴由图象可知，当0＜S＜5时，对应的点P的有2个，当5≤S≤9时，对应的点P的有3个，当S＞9时，对应的点P的有1个． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/9 16:01:36；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$