2024年湖南省长沙市中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式

湖南省长沙市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式 一.选择题(共10小题) 1.(2024•开福区二模)若关于x的分式方程的解为正数,则k的取值范围是( ) A.﹣2 B.k>﹣2且k≠﹣1 C.k>﹣2 D.k<2且k≠1 2.(2024•开福区二模)《孙子算经》中有个问题:若三人共车,余两车空;若两人共车,剩九人步.问人与车各几何?意思是:若三个人乘一辆车,则空余两辆车;若两个人乘一辆车,则剩余9人需要步行.试问人和车辆各有多少?设有x辆车,则根据题意可列出方程为( ) A.3(x+2)=2x﹣9 B.3(x+2)=2x+9 C.3(x﹣2)=2x﹣9 D.3(x﹣2)=2x+9 3.(2024•开福区二模)不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 4.(2024•雨花区二模)不等式组的解集表示在数轴上正确的是( ) A. B. C. D. 5.(2024•开福区二模)《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题:“今有共买羊,人出六,不足四十五;人出八,不足三.问人数、羊价各几何?”题意是:若干人共同出资买羊,每人出6元,则差45元;每人出8元,则差3元.求人数和羊价各是多少?设买羊人数为x人,则根据题意可列方程为( ) A.6x+45=8x+3 B.6x+45=8x﹣3 C.6x﹣45=8x+3 D.6x﹣45=8x﹣3 6.(2024•雨花区二模)不等式组的解集在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 7.(2024•雨花区二模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书大约一千五百年前,书中记载一个数学问题:“今有木、不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸,屈绳量之,不足一尺,木长几何?”其大意是:“想知道一根木头的长度,用一条绳子量这根木头,绳子还剩余4.5尺,将这条绳子对折后再量木头,绳子比木头短1尺,问木头长多少尺?”设绳长x尺,木头长y尺,可列方程组为( ) A. B. C. D. 8.(2024•雨花区二模)如果不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,则a必须满足( ) A.a<0 B.a≤1 C.a>﹣1 D.a<﹣1 9.(2024•长沙二模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市,需要的时间比规定时间多1天;如果用快马送,所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为,其中x表示( ) A.快马的速度 B.慢马的速度 C.规定的时间 D.以上都不对 10.(2024•望城区二模)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 二.填空题(共8小题) 11.(2024•雨花区二模)若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的解是x=﹣1,则2024﹣a+b的值是 . 12.(2024•开福区二模)已知a,b是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根,则a+b= . 13.(2024•开福区二模)方程的解为 . 14.(2024•长沙县二模)若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0没有实数根,则m的取值范围是 . 15.(2024•开福区二模)方程3x2﹣6x=0的解是 . 16.(2024•开福区二模)分式方程的解是 . 17.(2024•开福区二模)高速公路某收费站出城方向有编号为A,B,C,D,E的五个小客车收费出口,假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的.同时开放其中的某两个收费出口,这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下: 收费出口编号 A,B B,C C,D D,E E,A 通过小客车数量(辆) 260 330 300 360 240 在A,B,C,D,E五个收费出口中,每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是 . 18.(2024•开福区二模)元旦期间,商业大厦推出全场打八折的优惠活动,持贵宾卡可在八折基础上继续打折,小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品,共节省280元,则用贵宾卡又享受了 折优惠. 三.解答题(共7小题) 19.(2024•开福区二模)我校九年级学生准备观看电影《长津湖》.由各班班长负责买票,每班人数都多于40人,票价每张30元,一班班长问售票员买团体票是否可以优惠,售票员说:40人以上的团体票有两种优惠方案可选: 方案一:全体人员打8折; 方案二:打9折,有5人可以免票. (1)若一班有50人,则方案一需付 元钱,方案二需付款 元钱; (2)一班班长思考一会儿说,我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的,你知道一班有多少人吗? 20.(2024•开福区二模)2024年4月18日上午10时08分,华为Pura70系列正式开售,华为Pura70Ultra和Pura70Pro已在华为商城销售,约一分钟即告售罄.“4G改变生活,5G改变社会”,不一样的5G手机给人们带来了全新的体验,某营业厅现有A、B两种型号的5G手机出售,售出1部A型、1部B型手机共获利600元,售出3部A型、2部B型手机共获利1400元. (1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元; (2)某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部,其中B型手机的数量不超过A型手机数量的,请设计一个购买方案,使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润,并求出最大利润. 21.(2024•开福区二模)解不等式组:. 22.(2024•雨花区二模)2023﹣2024赛季欧洲冠军杯决赛于6月2日在伦敦温布利大球场拉下帷幕,赛前某体育运动专卖店决定采购某款运动T恤,最初用6000元购进一批该款T恤,由于市场供不应求,该专卖店又用15000元购进了第二批该款T恤,所购数量是第一批购进量的2倍,由于供货紧张,每件价格比第一次贵10元. (1)该专卖店购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元? (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售,要使两批T恤衫全部售完后利润不低于16800元,那么每件T恤衫的标价至少是多少元? 23.(2024•长沙县二模)解不等式组 ,并把它的解集在数轴上表示. 24.(2024•开福区二模)如图,某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF,另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD,中间再用铁栅栏分割成两个长方形,铁栅栏总长180米,已知墙AE长90米,墙AF长为60米. (1)设BC=x米,则CD为 米,四边形ABCD的面积为 米2; (2)若长方形ABCD的面积为4000平方米,问BC为多少米? 25.(2024•开福区二模)解不等式:. 湖南省长沙市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题) 1.(2024•开福区二模)若关于x的分式方程的解为正数,则k的取值范围是( ) A.﹣2 B.k>﹣2且k≠﹣1 C.k>﹣2 D.k<2且k≠1 【解答】解:∵, ∴x+k=2(x﹣1), ∴x=2+k, ∵关于x的分式方程的解为正数, ∴x>0且x﹣1≠0,即x>0,x≠1, ∴2+k>0且2+k≠1, ∴k>﹣2且k≠﹣1, 故选:B. 2.(2024•开福区二模)《孙子算经》中有个问题:若三人共车,余两车空;若两人共车,剩九人步.问人与车各几何?意思是:若三个人乘一辆车,则空余两辆车;若两个人乘一辆车,则剩余9人需要步行.试问人和车辆各有多少?设有x辆车,则根据题意可列出方程为( ) A.3(x+2)=2x﹣9 B.3(x+2)=2x+9 C.3(x﹣2)=2x﹣9 D.3(x﹣2)=2x+9 【解答】解:设有x辆车,则可列方程:3(x﹣2)=2x+9. 故选:D. 3.(2024•开福区二模)不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:解不等式x﹣1≤0得x≤1, 解不等式x+3>0得x>﹣3, 所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是:. 故选:A. 4.(2024•雨花区二模)不等式组的解集表示在数轴上正确的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:解不等式x+1≤﹣x+5,得:x<2, 解不等式x≥1,得:x≤﹣2, 在数轴上表示为, 故选:B. 5.(2024•开福区二模)《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题:“今有共买羊,人出六,不足四十五;人出八,不足三.问人数、羊价各几何?”题意是:若干人共同出资买羊,每人出6元,则差45元;每人出8元,则差3元.求人数和羊价各是多少?设买羊人数为x人,则根据题意可列方程为( ) A.6x+45=8x+3 B.6x+45=8x﹣3 C.6x﹣45=8x+3 D.6x﹣45=8x﹣3 【解答】解:设买羊人数为x人,则根据题意可列方程为6x+45=8x+3. 故选:A. 6.(2024•雨花区二模)不等式组的解集在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【解答】解:, 解不等式①得:x>1, 解不等式②得:x≤2, ∴原不等式组的解集为:1<x≤2, ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示: 故选:C. 7.(2024•雨花区二模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书大约一千五百年前,书中记载一个数学问题:“今有木、不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸,屈绳量之,不足一尺,木长几何?”其大意是:“想知道一根木头的长度,用一条绳子量这根木头,绳子还剩余4.5尺,将这条绳子对折后再量木头,绳子比木头短1尺,问木头长多少尺?”设绳长x尺,木头长y尺,可列方程组为( ) A. B. C. D. 【解答】解:∵用这条绳子量这根木头,绳子还剩余4.5尺, ∴x﹣y=4.5; ∵将这条绳子对折后再量木头,绳子比木头短1尺, ∴yx=1. ∴根据题意可列方程组. 故选:B. 8.(2024•雨花区二模)如果不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,则a必须满足( ) A.a<0 B.a≤1 C.a>﹣1 D.a<﹣1 【解答】解:∵不等式(a+1)x>(a+1)的解为x<1, ∴a+1<0, 解得:a<﹣1. 故选:D. 9.(2024•长沙二模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市,需要的时间比规定时间多1天;如果用快马送,所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为,其中x表示( ) A.快马的速度 B.慢马的速度 C.规定的时间 D.以上都不对 【解答】解:∵快马的速度是慢马的2倍,所列方程为, ∴表示慢马的速度,表示快马的速度; ∵把一份文件用慢马送到900里外的城市,需要的时间比规定时间多1天;如果用快马送,所需的时间比规定时间少3天, ∴x表示规定的时间. 故选:C. 10.(2024•望城区二模)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:, 解不等式①得:x<﹣2, 解不等式②得:x≥2, ∴原不等式组无解, ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示: 故选:C. 二.填空题(共8小题) 11.(2024•雨花区二模)若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的解是x=﹣1,则2024﹣a+b的值是 2025 . 【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的解是x=﹣1, ∴a (﹣1)2+b (﹣1)+1=0,即a﹣b=﹣1, ∴2024﹣a+b=2024﹣(a﹣b)=2024﹣(﹣1)=2025, ∴2024﹣a+b的值是2025. 故答案为:2025. 12.(2024•开福区二模)已知a,b是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根,则a+b= 4 . 【解答】解:根据根与系数的关系得a+b=4. 故答案为:4. 13.(2024•开福区二模)方程的解为 x=4 . 【解答】解:方程两边同时乘以最简公分母(x﹣1)(2x+1)得, 2x+1=3(x﹣1), 解得x=4, 检验:当x=4时,最简公分母(x﹣1)(2x+1)≠0, 故原方程的解为x=4. 故答案为:x=4. 14.(2024•长沙县二模)若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0没有实数根,则m的取值范围是 m>4 . 【解答】解:由题意可知: <0, ∴16﹣4m<0, ∴m>4 故答案为:m>4 15.(2024•开福区二模)方程3x2﹣6x=0的解是 x1=0,x2=2 . 【解答】解:3x(x﹣2)=0, 3x=0或x﹣2=0, 所以x1=0,x2=2. 故答案为:x1=0,x2=2. 16.(2024•开福区二模)分式方程的解是 x=3 . 【解答】解:, 3(x+1)=4x, 解得:x=3, 检验:当x=3时,2x(x+1)≠0, ∴x=3是原方程的根, 故答案为:x=3. 17.(2024•开福区二模)高速公路某收费站出城方向有编号为A,B,C,D,E的五个小客车收费出口,假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的.同时开放其中的某两个收费出口,这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下: 收费出口编号 A,B B,C C,D D,E E,A 通过小客车数量(辆) 260 330 300 360 240 在A,B,C,D,E五个收费出口中,每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是 B . 【解答】解:∵330﹣260=70,330﹣300=30,360﹣300=60,360﹣240=120,260﹣240=20, ∴C>A,B>D,E>C,D>A,B>E, 由B>D和D>A得B>A, 由E>C和B>E得B>C, ∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B, 故答案为:B. 18.(2024•开福区二模)元旦期间,商业大厦推出全场打八折的优惠活动,持贵宾卡可在八折基础上继续打折,小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品,共节省280元,则用贵宾卡又享受了 九 折优惠. 【解答】解:设用贵宾卡又享受了x折优惠, 依题意得:1000﹣1000 80%x=280, 解得:x=0.9. 即用贵宾卡又享受了九折优惠. 故答案为:九. 三.解答题(共7小题) 19.(2024•开福区二模)我校九年级学生准备观看电影《长津湖》.由各班班长负责买票,每班人数都多于40人,票价每张30元,一班班长问售票员买团体票是否可以优惠,售票员说:40人以上的团体票有两种优惠方案可选: 方案一:全体人员打8折; 方案二:打9折,有5人可以免票. (1)若一班有50人,则方案一需付 1200 元钱,方案二需付款 1215 元钱; (2)一班班长思考一会儿说,我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的,你知道一班有多少人吗? 【解答】解:(1)由方案一:全体人员可打8折, 得方案一需付费30 80% 50=1200(元), 由方案二:若打9折,有5人可以免票, 得方案二需付费30 90% (50﹣5)=1215 (元), 故答案为:1200;1215; (2)设一班共有x人,依题意得, 30 80% x=30 90% (x﹣5), 解得x=45, 答:一班共有45人. 20.(2024•开福区二模)2024年4月18日上午10时08分,华为Pura70系列正式开售,华为Pura70Ultra和Pura70Pro已在华为商城销售,约一分钟即告售罄.“4G改变生活,5G改变社会”,不一样的5G手机给人们带来了全新的体验,某营业厅现有A、B两种型号的5G手机出售,售出1部A型、1部B型手机共获利600元,售出3部A型、2部B型手机共获利1400元. (1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元; (2)某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部,其中B型手机的数量不超过A型手机数量的,请设计一个购买方案,使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润,并求出最大利润. 【解答】解:(1)设A种型号手机每部利润是a元,B种型号手机每部利润是b元, 根据题意得:, 解得:. 答:A种型号手机每部利润是200元,B种型号手机每部利润是400元; (2)设购进A种型号的手机x部,获得的利润为w元,则购进B种型号的手机(20﹣x)部, 根据题意得:w=200x+400(20﹣x), 即w=﹣200x+8000, ∵B型手机的数量不超过A型手机数量的, ∴20﹣xx, 解得:x≥12, ∵k=﹣200<0, ∴w随x的增大而减小, ∴当x=12时,w取得最大值,最大值为﹣200 12+8000=5600(元),此时20﹣x=20﹣12=8(部). 答:营业厅购进A种型号手机12部,B种型号手机8部时能获得最大利润,最大利润是5600元. 21.(2024•开福区二模)解不等式组:. 【解答】解:, 解不等式①得:x<5, 解不等式②得:x>﹣1, ∴原不等式组的解集为:﹣1<x<5. 22.(2024•雨花区二模)2023﹣2024赛季欧洲冠军杯决赛于6月2日在伦敦温布利大球场拉下帷幕,赛前某体育运动专卖店决定采购某款运动T恤,最初用6000元购进一批该款T恤,由于市场供不应求,该专卖店又用15000元购进了第二批该款T恤,所购数量是第一批购进量的2倍,由于供货紧张,每件价格比第一次贵10元. (1)该专卖店购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元? (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售,要使两批T恤衫全部售完后利润不低于16800元,那么每件T恤衫的标价至少是多少元? 【解答】解:(1)设该专卖店购进第一批T恤衫每件的进价是x元,则购进第二批T恤衫每件的进价是(x+10)元, 由题意得:2, 解得:x=40, 经检验,x=40是所列方程的解,且符合题意, ∴x+10=40+10=50, 答:该专卖店购进第一批T恤衫每件的进价是40元,购进第二批T恤衫每件的进价是50元; (2)由(1)可知,6000 40=150(件),15000 50=300(件), 设每件T恤衫的标价是a元, 由题意得:150(a﹣40)+300(a﹣50)≥16800, 解得:a≥84, 答:每件T恤衫的标价至少是84元. 23.(2024•长沙县二模)解不等式组 ,并把它的解集在数轴上表示. 【解答】解:, 解不等式①得:x>﹣1, 解不等式②得:x≤2, ∴原不等式组的解集为:﹣1<x≤2, ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示: 24.(2024•开福区二模)如图,某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF,另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD,中间再用铁栅栏分割成两个长方形,铁栅栏总长180米,已知墙AE长90米,墙AF长为60米. (1)设BC=x米,则CD为 (180﹣2x) 米,四边形ABCD的面积为 x(180﹣2x) 米2; (2)若长方形ABCD的面积为4000平方米,问BC为多少米? 【解答】解:(1)设BC=x米,则CD=(180﹣2x)米.四边形ABCD的面积为x(180﹣2x)米2, 故答案为:(180﹣2x),x(180﹣2x); (2)由题意,得:x(180﹣2x)=4000, 整理,得:x2﹣90x+2000=0, 解得:x=40或x=50, 当x=40时,180﹣2x=100>90,不符合题意,舍去; 当x=50时,180﹣2x=80<90,符合题意; 答:BC=50米,长方形的面积为4000平方米. 25.(2024•开福区二模)解不等式:. 【解答】解:去分母,得5x+4≥3x﹣6, 移项、合并同类项,得2x≥﹣10, 系数化为1,得x≥﹣5. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/8/9 15:53:00;用户:18582497371;邮箱:18582497371;学号:56246982 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$