专题07 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题07 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法 目录 【考法一、平行四边形存在性问题】 1 【考法二、菱形存在性问题】 3 【考法三、矩形存在性问题问题】 5 【考法三、正方形存在性问题】 7 【课后训练】 8 【考法一、平行四边形存在性问题】 例．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为、，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值及点的坐标； (3)将原抛物线向右平移2个单位长度，得到新抛物线，为平移后抛物线上的动点，为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，连接．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图2，点N是x轴上一点，连接，将线段绕点N逆时针旋转，得到线段，连接，请求出周长的最小值（简要描述求解的方法，不需证明）； (3)将抛物线向右平移一定距离得到新抛物线，若新抛物线恰好经过原点，设点P为新抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，是否存在这样的点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且． (1)求a，b，c的值． (2)如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S． ①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围： ②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考法二、菱形存在性问题】 例．如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点在点的左侧，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求，，三点的坐标； (2)过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，是新抛物线的顶点，是新抛物线对称轴上的一个动点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 变式2．已知抛物线． (1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与y轴交点，连接． （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式； （Ⅱ）若点是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴于点，与线段交于点，作轴于点，与线段交于点，求的最大值 (2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围． 变式3．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考法三、矩形存在性问题问题】 例．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与x轴交于点 A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，其顶点为D，且与y轴交于点 E． (1)当时，求点D的坐标； (2)如图2，连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)如图3，以为邻边作矩形，若抛物线与矩形的边恰有两个交点，求m的取值范围． 【考法三、正方形存在性问题】 例．在平面直角坐标系中，抛物线过点且与y轴交于点B，抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一动点（不与C重合），设点P的横坐标为m． (1)抛物线的解析式为______，顶点C的坐标为______； (2)将该抛物线沿y轴向下平移2个单位长度，点P的对应点为，若，求点P的坐标； (3)当点P在直线上方的抛物线上，且点C、P到直线的距离相等时，求m的值； (4)当点P在对称轴右侧时，连接，以为边作正方形，当点D恰好落在该抛物线的对称轴上时，直接写出点P的坐标． 变式1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 变式2．如图①，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是的中点，点是抛物线上的一个动点． (1)直接写出点的坐标______； (2)求该抛物线的解析式； (3)当时，求四边形的面积； (4)如图②，过点作直线的垂线，垂足为．以为对角线作正方形，当点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点的横坐标． 【课后训练】 1．如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点Q在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的坐标； (3)若P为的中点，过点P作轴于点F，G为抛物线上一动点，轴于点M，N为直线上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标． 4．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法 目录 【考法一、平行四边形存在性问题】 1 【考法二、菱形存在性问题】 9 【考法三、矩形存在性问题问题】 19 【考法三、正方形存在性问题】 28 【课后训练】 40 【考法一、平行四边形存在性问题】 例．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为、，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值及点的坐标； (3)将原抛物线向右平移2个单位长度，得到新抛物线，为平移后抛物线上的动点，为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)27， (3)或或 【分析】（1）由待定系数法求二次函数的解析式即可得到答案； （2）先求出点的坐标，从而得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，得到，作交于，轴，交于，交轴于点，根据等腰直角三角形的性质可得，设，则，求出的最大值即可得到答案； （3）先求出新抛物线的解析式为：，设点的横坐标为，点的横坐标为，分三种情况：当为对角线时；当为边时，则，当点平移到，点平移到时；当点平移到，点平移到时；分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）得， 当时，， 解得：，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， ， 如图，作交于，轴，交于，交轴于点，   ， 则， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，，此时最大，，此时也最大，为， ， 此时的面积也最大，为， 有最大值，最大值为27，此时； （3）解：由（2）得，， ， 将原抛物线向右平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为：， 新抛物线的对称轴为直线， 为平移后抛物线上的动点，为平移后抛物线对称轴上的动点， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 当为对角线时，则， 解得：， 当时，， ； 当为边时，则， 当点平移到，点平移到时，则， 解得：， 当时，， ； 当点平移到，点平移到时，则， 解得：， 当时，， ； 综上所述：存在符合题意的点，点的坐标分别为、、． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与三角形面积总和、二次函数与平行四边形综合，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 变式1．如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，连接．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图2，点N是x轴上一点，连接，将线段绕点N逆时针旋转，得到线段，连接，请求出周长的最小值（简要描述求解的方法，不需证明）； (3)将抛物线向右平移一定距离得到新抛物线，若新抛物线恰好经过原点，设点P为新抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，是否存在这样的点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求即可； （2）分别过点B，M作的平行线交于点E，连接，交于点G，则得到四边形是平行四边形，由是定值，当时，点C到的距离最短，同理点B到的距离最短，即得到最短，周长有最小值，此时，边形是菱形，即可求解； （3）先求出，根据题意，抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，求出新抛物线对称轴为，设，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入， 则，解得：， 抛物线的解析式：； （2）解：如图，分别过点B，M作的平行线交于点E，连接，交于点G，    则四边形是平行四边形， ， 是定值， 当时，点C到的距离最短，同理点B到的距离最短，即最短，周长有最小值， 如图，此时四边形是菱形，点重合，    ， ， ， ； （3）解：令， 解得：， 根据题意， 抛物线向右平移一定距离得到新抛物线恰好经过原点， 抛物线向右平移1个单位得到新抛物线， 新抛物线对称轴为， 设， ， 当为对角线时， 则，解得：， ； 当为对角线时， 则，解得：， ； 当为对角线时， 则，解得：， ； 综上，点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，平行四边形形的性质，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，求出线段之间的关系是解答本题的关键． 变式2．如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且． (1)求a，b，c的值． (2)如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S． ①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围： ②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)①；②存在， 【分析】（1）根据矩形的对边相等求出点A、B的坐标，把两点的坐标代入抛物线解析式，再联立，解关于a，b，c的三元一次方程组，然后即可得到抛物线的关系式； （2）①根据速度的不同，表示出，的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的关系式，根据速度分别求出点P与点Q的运动时间即可得到t取值范围；②先根据二次函数的最大值问题求出S取最大值时的t的值，从而求出点P与点Q的坐标，再根据平行四边形的对边平行且相等，分与是对边时，与是对边时，两种情况求出点Q的坐标，然后代入抛物线解析式进行验证，如果点Q在抛物线上，则存在，否则不存在， 本题属于二次函数综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，动点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用方程思想和分类讨论思想解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵抛物线经过点A，B，且， ∴， 解得：， 故答案为：，，， （2）解：∵，，， ∴， ①根据题意，，，， ∴， 点P运动的时间为秒，点Q运动的时间为秒， 所以，t的取值范围是； ∴； ②， ∴当秒时，S取最大值， 此时，，，， ∴，，， 所以，要使P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形， （i）当与是对边时，点R的横坐标是或，纵坐标是4， 所以点R的坐标为或， 当时，， ∴不在抛物线上， 当时，， ∴不在抛物线上， 所以与是对边时，点R不在抛物线上， （ii）当与是对边时，点R的横坐标是，纵坐标是， 所以点R的坐标是， 当时，， 所以与是对边时，点在抛物线上， 综上所述，抛物线上存在点，使P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形． 【考法二、菱形存在性问题】 例．如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可； （2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时 ， 故点 当时，有 解得： 设直线的表达式为：； 将代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 同理可得：直线的表达式为：； （2）解：①存在：设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 变式1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点在点的左侧，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求，，三点的坐标； (2)过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，是新抛物线的顶点，是新抛物线对称轴上的一个动点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)， (3)点的坐标为，，或 【分析】（1）分别令，解方程求得点的坐标； （2）先求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，求得的关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移的性质得出新抛物线顶点，对称轴为直线设，，进而分种讨论，①若，为对角线，②若，为对角线，③若，为对角线，根据菱形的性质，中点坐标公式列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：在函数中，令，得 ，解得或， ，， 在函数中，令，得， ， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为 由，，代入得， 解得： ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ，当时，取得最大值，最大值为， 此时， ． （3）把抛物线沿方向平移个单位长度，相当于把抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 新抛物线解析式为， 新抛物线顶点，对称轴为直线， 设，，又， ①若，为对角线，则，的中点重合，且， 解得或，重合，舍去， ； ②若，为对角线，则，的中点重合，且， ∴ 解得或 或； ③若，为对角线，则，的中点重合，且， 解得 ； 综上所述，点的坐标为，，或，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，求抛物线与坐标轴交点问题，二次函数的性质，二次函数的平移，菱形的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 变式2．已知抛物线． (1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与y轴交点，连接． （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式； （Ⅱ）若点是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴于点，与线段交于点，作轴于点，与线段交于点，求的最大值 (2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围． 【答案】(1)（Ⅰ）；（Ⅱ） (2)或 【分析】（1）（Ⅰ）运用待定系数法将，代入计算即可求解；（Ⅱ）根据题意计算出直线的解析式为，设点，则，根据题意可得为等腰直角三角形，根据，结合二次函数特点即可求解； （2）点在抛物线的图象上可得，，把，代入得，，则，，，根据四边形是菱形，可得，再分类讨论：当时，即时，可得；当时，可得；结合抛物线与没有交点，即可求解． 【详解】（1）解：（Ⅰ）二次函数的图象过，， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）∵，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵点是第四象限内抛物线上一动点， 轴于点，与线段交于点，轴于点，与线段交于点，作图如下， ∴设点，则， ∴ ， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，其最大值为． （2）解：如图所示， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 把，代入得，， ∴，∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，∴， 当时，即时， 当时，，∴， ∵该抛物线与线段没有交点，∴，∴， 当时， 当时，，∴， ∵抛物线与没有交点， ∴，∴， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的性质的综合，二次函数图象与特殊几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析，等腰三角形的特点，一次函数图象的性质，特殊四边形的判定和性质的综合运用是解题的关键． 变式3．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，点M的坐标为或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，菱形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将点和点代入抛物线解析式，求出、的值，即可求解； （2）①先确定直线解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线于点D，可用含m的式子表示出P和D的坐标，即可求解； ②用含m的代数式表示出的面积，得到S关于m的二次函数，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，进而得到点的坐标，过点作轴于点， 得到，，根据菱形的性质，分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，；②当为菱形的边时，，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图： ①在抛物线中，令，则，即， 设直线的解析式为，将将点、代入得： ，解得：， 直线的解析式为：， 设，则， 故用含m的代数式表示线段的长为； ②， 点是直线下方的抛物线上一动点， ， 当时，S有最大值，此时， ， 故的面积最大时点P的坐标为； （3）解：存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 过点作轴于点，则，， ， ， 以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，此时点与点重合，， ； ②当为菱形的边时，此时， ，， 故使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或． 【考法三、矩形存在性问题问题】 例．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，将代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，根据则计算即可； （3）分当时；时；三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设， 将代入， ， 解得， 故， ， 将代入， ， 解得， ； （2）解：设， 则， ，整理得，， ，， ， ∴； （3）解：， ， ， ①当时． ， ， . ， . 或（舍）， (没在第四象限，舍去)， ②时． ， ， ， ， 而， ， ， ， 时， ， ， ， 而， ， 矩形时，， 综合得． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与x轴交于点 A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，其顶点为D，且与y轴交于点 E． (1)当时，求点D的坐标； (2)如图2，连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)如图3，以为邻边作矩形，若抛物线与矩形的边恰有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)所对应的函数表达式为或或或 (3)或 【分析】此题是二次函数和几何综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质并结合分类讨论是解题的关键． （1）把函数图象化为顶点式并结合轴对称即可得到答案； （2）求出，，，分三种情况进行求解即可； （3）分别求出当抛物线的顶点在上时、当抛物线的顶点在上时、当抛物线经过点F时、当抛物线的经过点C时的m的值，再根据抛物线与矩形形恰有两个交点即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为． ∵，点和点D关于直线对称． ∴． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称 ∴ ∴抛物线： ∴当时， ∴ 中，当时，，解得 ∴ ∴ ①当时， 即 解得 ∴ ②当时， 解得 ∴        ③当时， 解得 ∴或 综上，所对应的函数表达式为或或或 （3）中，当时，则 ∵四边形为矩形， ∴矩形为正方形，∴点F的坐标为 当抛物线的顶点在上时 D的坐标为 当抛物线的顶点在上时,，D的坐标为， 当抛物线经过点F时 把代入，得 当抛物线的经过点C时 把代入，得 ∵抛物线与矩形形恰有两个交点 ∴或 【考法三、正方形存在性问题】 例．在平面直角坐标系中，抛物线过点且与y轴交于点B，抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一动点（不与C重合），设点P的横坐标为m． (1)抛物线的解析式为______，顶点C的坐标为______； (2)将该抛物线沿y轴向下平移2个单位长度，点P的对应点为，若，求点P的坐标； (3)当点P在直线上方的抛物线上，且点C、P到直线的距离相等时，求m的值； (4)当点P在对称轴右侧时，连接，以为边作正方形，当点D恰好落在该抛物线的对称轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)的值为 (4)点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求得抛物线的解析式，利用配方法求得顶点坐标； （2）由已知条件可得点与关于轴对称，则点的纵坐标为1，将代入抛物线解析式即可求得点坐标； （3）由题意可得，求出直线的解析式为，设直线的解析式为，将点的坐标代入可得直线的解析式为，联立抛物线，解方程即可求得结论； （4）利用分类讨论的思想方法分当点在第二象限时和当点在第四象限时两种情况讨论解答：过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，通过证明≌，得到，，设，则用表示出线段与，得到关于的方程，解方程即可求得结论． 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴， 解得： ∴， ∵ ∴抛物线顶点C的坐标为 故答案为：， （2）∵将该抛物线沿y轴向下平移2个单位长度，点P的对应点为P'，， ∴轴，被轴垂直平分， ∵， ∴点的纵坐标为1， 将代入抛物线得： ， 解得：， ∴或 （3）∵点P在直线上方的抛物线上，且点C、P到直线的距离相等， ∴， 过点作，交抛物线于点， 令，得，即 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点的坐标代入可得： ，解得， ∴直线的解析式为， 联立抛物线得 ，解得，， ∴点的坐标为， ∴的值为 （4）点坐标为或 理由如下： 当点在第二象限时，过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点， ∵轴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴≌（）， ∴，， 设， ∴，， ∴，， ∴ 解得：， ∵点在对称轴右侧， ∴ ∴ ∴点坐标为； 当点在第四象限时，过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点， 同理可得：≌（）， ∴，， 设， 此时，， ∴，， ∴ 解得：， ∵点在对称轴右侧， ∴ ∴ ∴点坐标为； 故答案为：点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答问题和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 变式1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）待定系数法求出直线的解析式设，则，结合题意得出，求出，结合抛物线的对称性得出，根据矩形的周长是列出方程，解方程求出的值，即可求解； （3）先求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得，，当点在第二象限时，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，根据等角的余角相等可得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，设， 即，，得出，将代入，求出的值，即可得出点和点的坐标，根据正方形的点的坐标特征求出点的坐标；当点在第三象限时，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，根据等角的余角相等可得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，设，即，，得出，将代入，求出的值，即可得出点和点的坐标，根据正方形的点的坐标特征求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得：． ∴直线的解析式为， 设，则， ∵点在第一象限内， ∴， ∴， 抛物线的对称轴为， 即点到对称轴的距离等于， 故， 依题意得：， 解得：（舍去），． ∴． （3）解：令，即， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：． ∴直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，， 当点在第二象限时，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在抛物线上， 故设， ∵点在第二象限时， ∴，， 故， ∵点在直线上， 将代入，得：， 解得：或， 当时，，，如图： 点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴； 当时，，，如图： 即点与点重合，点与点重合时，四边形是正方形，此时； 当点在第三象限时，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在抛物线上， 故设， ∵点在第三象限时， ∴，， 故， ∵点在直线上， 将代入，得：， 解得：，， 当时，，，如图： 点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴； 当时，，，如图： 点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 变式2．如图①，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是的中点，点是抛物线上的一个动点． (1)直接写出点的坐标______； (2)求该抛物线的解析式； (3)当时，求四边形的面积； (4)如图②，过点作直线的垂线，垂足为．以为对角线作正方形，当点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)或 【分析】（1）令，求出点C的坐标，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据，可得点P的纵坐标为4，进而得到点P的坐标为，再由梯形的面积公式，即可求解； （4）先求出，根据正方形的性质可得，，从而得到轴，点M与点Q的横坐标相等，轴，然后求出直线的解析式可得点M的坐标为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据，可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵点是的中点， ∴点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：把点，代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵，点D的坐标为， ∴点P的纵坐标为4， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∵点，， ∴， ∴四边形的面积； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形正方形， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴轴， 即点M与点Q的横坐标相等，轴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点M与点Q的横坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，∴点M的坐标为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， 即点P的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点；熟练运用化归的数学思想方法成为解题的关键． 【课后训练】 1．如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点Q在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的坐标； (3)若P为的中点，过点P作轴于点F，G为抛物线上一动点，轴于点M，N为直线上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可； （3）计算出，，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则，即可求解． 【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得: ，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点，函数的对称轴为直线， 则设点Q的坐标为， 由点A、C、Q的坐标得：， 同理可得：，， 当时，则，解得； 当时，同理可或0（舍去）， 故点Q的坐标为或或； （3）∵，故点D的坐标为， 由点B、D的坐标得，点， 则点， 设点M的坐标为，则点， 则，， 当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则， 即， 当时，解得， 当时，解得， 故点M的坐标为或或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 3．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的对称轴直线上，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到； ②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点， ∴，， ∵在的对称轴直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点； 综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键． 4．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； (2)最大值为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长有最大值， 最大值为； （3）解：当为正方形时，如图， ∵点和点， ∴， ∴点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴点， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， ∵，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，即，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， 显然点与点关于对称轴对称， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． 5．如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）先根据对称轴公式得到，再利用待定系数解答，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为，根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ∴，即， 把代入得， ∴， ∴ 抛物线的表达式为． （2）解：①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得： ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ，解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴，轴． E的坐标为．． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ．解，得，． 点P在第四象限，舍去． 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$