专题06 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题06 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法 目录 【考法一、等腰三角形存在性问题】 1 【考法二、直角三角形存在性问题】 3 【考法三、等腰直角三角形存在性问题】 5 【课后训练】 7 【考法一、等腰三角形存在性问题】 例．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接．当线段最长时，判断四边形的形状并说明理由． (3)如图2，在（2）条件下，点是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，则在轴正半轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N． (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)①请用含m的代数式表示线段的长______； ②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； (3)连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接AE． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【考法二、直角三角形存在性问题】 例．如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，点P为抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为M． （1）求抛物线的解析式和点M的坐标； （2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 变式3．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标； (3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【考法三、等腰直角三角形存在性问题】 例．如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点坐标为，点为轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以，，，为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． (3)当点运动到直线下方某一处时，过点作，垂足为，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 变式1．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标； (3)如图2，M是直线上一个动点，过点M作轴于点N，Q是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标． 【课后训练】 1．如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．    (1)求该二次函数的关系式； (2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第一象限上的一动点，连接，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，如图2点为新抛物线对称轴上一点，是原抛物线上一点，是否存在是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，，垂足分别为点E，F，连接，． (1)求点A，B的坐标． (2)求证：为等腰三角形． (3)当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法 目录 【考法一、等腰三角形存在性问题】 1 【考法二、直角三角形存在性问题】 12 【考法三、二次函数与线段交点问题】 20 【课后训练】 33 【考法一、等腰三角形存在性问题】 例．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接．当线段最长时，判断四边形的形状并说明理由． (3)如图2，在（2）条件下，点是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，则在轴正半轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，见解析 (3)， 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）先求得，再用待定系数法求得，设，则点的坐标为，故，进而求解； （3）过点作轴于点，当，则，则直线和直线关于直线对称，，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）由题意知 ①， 抛物线过点， ．② 由①②解得， 抛物线的解析式为． （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由题意知，点和点关于直线对称， ． 把代入抛物线，得， ∴， 设直线， 将点代入， 得，解得， ． 设， 则点的坐标为， 故 当，即点的坐标为时，最长，最大值是4． 此时 ∴， 四边形是平行四边形． （3）点是的中点， ． 设， 将代入，得，故， ． 如图，过点作轴于点，则， 故． 又， ， 直线和直线关于直线对称， 直线与轴的交点为． 设， 直线过点， 解得 ． 由，解得，． 设（），则， 为等腰三角形，有以下三种情况： 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，解得． 所以满足条件的点的坐标是，． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 变式1．如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N． (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)①请用含m的代数式表示线段的长______； ②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； (3)连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值． 【答案】(1)抛物线的函数关系式为，B点坐标为 (2)存在． (3)为等腰三角时，或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由 即可求解；②证明是的角平分线，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解； 当或时，同理可解. 【详解】（1）抛物线经过两点， 将代入抛物线得， ，解得 抛物线的函数关系式为， 令，得到 解得（舍），，则B点坐标为； （2）①设直线的解析式为， 由点的坐标得，解得 直线的表达式为：， 设点 则点 则， 而 则 因为， 则 ， 则 ， 故答案为：； ②存在． 如图，过点C作，交直线于D， ， 四边形是矩形， ， ， ， 当时， 则， ， 由①知，， ， 化简得， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ． （3）或． 点的坐标分别为， 解析式 则 ①当时，如图1，         图1 则， ， ， 由勾股定理得， ， 解得或（舍去）， ②当时，如图2，          图2 ， ， 由勾股定理得， 即 （，放舍去） ③当时，点Q在的垂直平分线上， ， ∴点B在的垂直平分线上， ∴点Q和点B重合，不符合题意， 这种情况不存在． 综上，为等腰三角时，或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题. 变式2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接AE． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2) (3)存在，或或 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作轴，交于点F，表示的面积，运用二次函数性质分析最值即可； （3）设出点P坐标，分，，三种情况讨论分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ， ∴，解得：，∴二次函数的解析式为：； （2）解：设所在直线解析式为，则，解得， ∴， 过点D作轴，交于点F，交x轴于点G，过点E作，垂足为H，如图，      设），则点， ∴， ∴ ， ∴当m=时，的面积取得最大值为． （3）解：的对称轴为， 设， 又，， ∴， ， ， 分三种情况讨论： 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时． 综上所述：P点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题是解决此题的关键． 变式3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，解得：(舍去)或5，即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或，解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【考法二、直角三角形存在性问题】 例．如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，点P为抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为1； (3)或； (4)点E的坐标为或. 【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据（2）的结论结合函数图象，从而确定m的值； （4）设，而、，，，，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】（1）解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点， ，点到的距离为1， ， 的面积为1； （3）解：由（1）知，点到的距离为1， 此时点，， ∴当或时，该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1； （4）解：如图，∵， ∴对称轴为直线， 设，而、， ∴，，， ∵为斜边， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或. 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；会利用待定系数法求函数解析式；二次函数与特殊三角形，关键是根据已知条件讨论点P的位置． 变式1．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为M． （1）求抛物线的解析式和点M的坐标； （2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），M(1，4)；（2）当时，S最大=，E(，)；（3）存在，P1(1，)，P2(1，)，P3(1，1)，P4(1，2)． 【分析】（1）将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点的坐标； （2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点、的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点的横坐标，易得其纵坐标，则点的坐标迎刃而解了； （3）需要分类讨论：点、、分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案． 【详解】解：（1）抛物线与轴交于点、， ． 解得． ，则； （2）如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：． 设，则． ． ． 当时，S最大． 此时，点的坐标是，； （3）设，、， ，，． ①当时，，即．解得． ②当时，，即．解得． ③当时，，即．解得或2． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或， 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 变式2．已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，正确做出辅助线是解题的关键． （1）将点，点，点代入抛物线解析式即可解答； （2）如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点，证明，得到点的坐标，求得的解析式，即可求得点坐标； （3）考虑三种情况，即分别为直角的时，利用勾股定理，即可解答． 【详解】（1）解：把将点，点，点代入抛物线解析式， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 根据可得， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 故可得， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， ①当时， 可得方程， 方程无解，故不成立； ②当时，， 可得方程 解得； ③当，， 可得方程，解得， 综上所述，或． 变式3．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标； (3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标是 【分析】（1）待定系数法求二次函数的表达式即可； （2）如图1，连接，作轴交于点，由，可得，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，根据二次函数的图象与性质求解作答即可； （3）设，则，，，分，，三种情况，利用勾股定理求解作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：如图1，连接，作轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得，， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 且，当时，取得最大值．此时； （3）解：设，则，，， ①当时，，即，解得，（舍去）； ②当时，，即 ，解得，， ∴； ③当时，，即， 解得，（舍去），，∴； 综上所述，存在点D，点D的坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，平行线间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数的最值，勾股定理是解题的关键． 【考法三、等腰直角三角形存在性问题】 例．如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点坐标为，点为轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以，，，为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． (3)当点运动到直线下方某一处时，过点作，垂足为，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）设，则，则，根据题意可得当，存在以，，，为顶点的平行四边形，据此建立方程求解即可； （3）过点作直线轴，过点作于，过点作于，证明，得到，，设，则，，可得，，，代入解析式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；直线与轴交于点A， ， 把，代入中得， ， 抛物线解析式为； （2）解：设，则， ， ， 当，存在以，，，为顶点的平行四边形， ， ①当时， ，（舍， ， ， ②当时， ，， 当时，， ， 当时，， ， 点的坐标为或或； （3）解：如图1，过点作直线轴，过点作于，过点作于， 由题意得，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ，， 设， ， ， ， ， ，， ， ， 或（舍， ． 变式1．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点与点都在抛物线上，点不在抛物线上 【分析】 考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．解题关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用的应用． （1）根据题意，过点B作轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标； （2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式； （3）首先假设存在，分是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案． 【详解】（1） 解：（1）过点作轴，垂足为， ，， ， 又，， ∴， ，， 点的坐标为； （2） 抛物线经过点，则得到，解得， 所以抛物线的解析式为． （3） 假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形： ①若以点为直角顶点； 则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴， ，，， ． ，，可求得点； ②若以点为直角顶点； 则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴，同理可证， ，，可求得点； ③以A为直角顶点的等腰的顶点有两种情况．即过点A作直线，在直线上截取时，点可能在轴右侧，即现在解答情况②的点； 点也可能在轴左侧，即还有第③种情况的点． 因此，然后过作轴于，同理：， ，， 为； 经检验，点与点都在抛物线上，点不在抛物线上． 变式2．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，三角形的面积求法，等腰直角三角形的讨论，二次函数的图象与性质，难度比较大，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，用待定系数法求出直线的解析式，利用抛物线解析式设出点P坐标，从而得出点D的坐标，利用求面积，再配成顶点式从而可求面积的最大值； （3）通过作垂线构造，从而得出边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：如图1，过点P作x轴的垂线，交线段于点D， 设直线的解析式为， 由，的坐标得， ， 解得 ∴直线的表达式为：， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：存在，理由： 设，F（0，n）， ∵， ∴，， 如图2，过点P作轴于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或2， 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴； 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上，∴，∴． 综上，点F的坐标为或． 变式3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标； (3)如图2，M是直线上一个动点，过点M作轴于点N，Q是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)，；，；，；，；． 【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为，将点代入，求出a即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线解析式为，过点C作，交抛物线于点，再运用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组即可求出，过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明，运用待定系数法求出直线解析式为，即可求出； （3）利用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，再分以下三种情况：①当是以为斜边的等腰直角三角形时，②当是以为斜边的等腰直角三角形时，③当是以为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可． 【详解】（1）解：∵顶点D的坐标为， ∴设抛物线的解析式为，将点代入， 得， 解得：， ， ∴该抛物线的解析式为； （2）解:∵抛物线对称轴为直线，， ， 设直线解析式为， ，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 过点C作，交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 结合抛物线，可得， 解得：（舍），， 故， 过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G， ，， ∴四边形是正方形， 设与x轴交于点E，则， 解得：， ∴， 在x轴下方作交于点F， ∵四边形是正方形， ，，， ， 即， ， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 结合抛物线，可得， 解得：（舍），， ， 综上所述，符合条件的P点坐标为：，； （3）解:设直线解析式为，直线解析式为， ，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设， ①当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图2， 轴， ， ∴， 解得：或， ； ②当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图3， ， ， ，解得：， ，； ③当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图4， ，∴，解得或， ； 综上所述，点M及其对应点Q的坐标为： ，；，；，；，；． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键． 【课后训练】 1．如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的面积S有最大值 (3)存在，点F的坐标为或或或 【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解； （2）运用待定系数法，确定直线解析式为，联立二次函数解析式，求解得，过点E作轴，交于点G，设的面积：，根据二次函数性质求得的面积有最大值． （3）存在．设点，则；；；分情况讨论：①若，②若，③若，根据勾股定理，建立方程求解得点F的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，其对称轴为直线， ∴，解得 ∴． （2）解：设直线的解析式为，则 解得 ∴直线解析式为． 联立直线与抛物线解析式，得 ，解得 ∴ 过点E作轴，交于点G， 设，则 的面积 ∴ ∴当时，的面积有最大值． 此时，， ∴． （3）解：存在． 设点，则 ； ； ； ①若，则， ∴，解得， ∴； ②若，则， ∴，解得， ∴； ③若，则， ∴， 解得， ∴或 综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键． 2．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．    (1)求该二次函数的关系式； (2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的值有最大值，此时点的坐标为 (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先利用一次函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）作轴交于，设，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）先配方得到，则，抛物线的对称轴为直线，设，利用等腰三角形的性质，当时，即；当时，即；当时，即；然后分别解关于的方程即可得到对应的点坐标． 【详解】（1）解：当时，，则， 当时，，解得：，则， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： （2）作轴交于，如图，    设，则， ， 当时，的值有最大值，此时点坐标为 （3）∵抛物线， ∴顶点，对称轴为直线， 设 当时，为等腰三角形，即， 解得： 此时点坐标为：，， 当时，为等腰三角形，即， 解得：， 此时点坐标为： 当时，为等腰三角形，即， 解得：（舍去），， 此时点坐标为：； 综上所述，的坐标为或或或 3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第一象限上的一动点，连接，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，如图2点为新抛物线对称轴上一点，是原抛物线上一点，是否存在是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)有最大值，此时，点； (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到点的坐标为：，即可求解；当为直角时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 故抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴交于点，    由点、的坐标知，， 则， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则， ， 故有最大值为4，即有最大值，此时，点； （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线， 则抛物线向右向下均平移了个单位，则平移后的抛物线表达式为：， 则设点，点， 当为直角时，则，如图2， 过点作轴交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，     ，， ， ，， ， ，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入得：， 解得：，或， 即点的坐标为：或； 当为直角时，设点，， 同理可得，，， 即且而， 解得：， 则， 即点的坐标为：， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形全等、图形的平移、线段的最值等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 4．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，，垂足分别为点E，F，连接，． (1)求点A，B的坐标． (2)求证：为等腰三角形． (3)当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）令，建立一元二次方程求解，即可解题； （2）延长交于点M．利用平行线的性质和判定，以及抛物线的对称性，证明，得到，利用直角三角形性质得到，进而得到，即可证明为等腰三角形； （3）设与抛物线的对称轴交于点N．利用等腰直角三角形性质，证明，进而得到点的坐标，利用抛物线得到点的坐标，设直线的表达式为．利用待定系数法求得直线的表达式，再联立抛物线求解，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得，． 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为． （2）证明：如图，延长交于点M． ，， ， ． 由抛物线的对称性，可知． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， ， 为等腰三角形． （3）解：点P的坐标为． 如图，设与抛物线的对称轴交于点N． ， 抛物线的对称轴为直线． 点D的坐标为． ， ． 是等腰直角三角形，且， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ，即． 在和中， ， ． ， ． 对于，令，得． ． 设直线的表达式为． 将，代入，得，解得． 直线的表达式为． 联立方程组，得． 解得（舍去），， 点P的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、平行线的性质和判定、直角三角形性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、解方程等知识点．运用数形结合的数学思想解答是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$