第14讲函数的零点、隐零点、极值点偏移问题（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第14讲 函数的零点、隐零点、极值点偏移问题 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握函数零点与方程的关系 2.能掌握函数零点的求解方法 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像的交点解决函数的零点问题 4.会解隐零点与极值点偏移问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式解决函数的零点相关问题。 知识讲解 知识点一.函数零点个数问题 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断;另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决，对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围，从图象的最高点、最低点、分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 知识点二.零点存在性赋值理论 1.确定零点是否存在或函数有几个零点，作为客观题常转化为图象交点问题，作为解答题一般不提倡利用图象求解，而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点， 赋值之所以“热”， 是因为它涉及到函数领域的方方面面:讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性);求含参函数的极值或最值;证明一类超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等，零点赋值基本模式是已知f(a)的符号，探求赋值点m(假定 m<a)使得f(m)与f(a)异号，则在(m，a)上存在零点 2.赋值点遴选要领:讲选赋值点须做到三个确保:确保参数能取到它的一切值; 确保赋值点 x0 落在规定区间内;确保运算可行 三个优先:(1)优先常数赋值点;(2)优先借助已有极值求赋值点;(3)优先简单运算. 知识点三.隐零点问题 1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点” 2.利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把品值问题转化为求导函数的零点问题、若导数零点存在，但无法求出，我们可以设其为，再利用导函数单调性确定所在区间，最后根据f’()=0，研究f()，我们把这类问题称为隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a，关系式f()= 0是关于,a的关系式，确定的合适范围，往往和a的范围有关. 考点一、函数零点个数问题 1.（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝x－sin x的零点个数为 ． 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x3－x－1. (1)求证：函数f(x)在区间(1，2)内恰有一个零点； (2)将（1）中的零点记为a，且a∈，求自然数n的值. 2.（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数. (1)求函数在区间上的最小值； (2)判断函数的零点个数，并证明. 考点二、数形结合法研究零点问题 1.（2023·四川甘孜·一模）设定义在上的函数是偶函数，且，是的导函数，当时，；当且时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 2.（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1.（24-25高三上·广东·开学考试）若函数，的图象与直线,,所围成的封闭图形的面积为． (1)求的值； (2)求函数单调区间及最值； (3)求函数在区间上的零点个数． 2.（2024·浙江·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，判断的零点个数. 3.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数，其中． (1)若的极小值为，求单调增区间； (2)讨论的零点个数． 考点三、含参分类讨论确定零点问题 1.（2024·山东聊城·一模）已知函数，，. (1)求的单调递增区间； (2)求的最小值； (3)设，讨论函数的零点个数. 2.（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 1.（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 2.（2024·湖北·模拟预测）函数． (1)当时，证明：； (2)讨论函数的零点个数． 3.（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数． (1)求的极值； (2)讨论函数的零点个数． 4.（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数. 考点四、已知零点个数求参数问题 1.（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 2.（2018·全国·高考真题）已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求的值. 1.（2017·全国·高考真题）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 2.（2024·内蒙古包头·三模）设函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恰有两个零点，求a的取值范围． 考点五、隐零点问题 1.22-23高三上·河南洛阳·开学考试）（1）证明不等式：（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）； （2）已知函数有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分） 2.（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)设，证明：当时，函数有三个零点． 1.（22-23高三上·河北·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围. 2.（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的极值； (2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，） 3.（2024·山东·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)探究的零点个数． 4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，函数有且仅有个零点. 考点六、极值点偏移问题 1.（2024高三·全国·专题练习）设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 1.（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 2.（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 3.（21-22高三上·广东清远·期末）已知函数． (1)讨论的零点个数． (2)若有两个不同的零点，证明：． 4.（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数． （1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，求证：． 1．（22-23高三上·天津和平·期末）设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·重庆·一模）已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 3．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为 . 7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间、最值． (3)设在上有两个零点，求的范围. 1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高三上·天津南开·阶段练习）设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（    ） A．(–，0) B．(–，0] C．(–，0]∪(1，+∞) D．(–，1) 3．（2023·吉林·一模）已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ． 4．（2023·天津河北·一模）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是 . 5．（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若函数在区间上有一个零点，求实数的取值范围. 6．（22-23高三上·天津·期中）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值. (1)求函数的单调区间； (2)若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围. 7．（21-22高三上·天津东丽·阶段练习）已知函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，求函数在区间的最值； （3）若恰有三个零点，求a的取值范围. 1.（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 3.（2020·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 4.（2020·全国·高考真题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 函数的零点、隐零点、极值点偏移问题（6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握函数零点与方程的关系 2.能掌握函数零点的求解方法 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像的交点解决函数的零点问题 4.会解隐零点与极值点偏移问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式解决函数的零点相关问题。 知识讲解 知识点一.函数零点个数问题 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断;另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决，对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围，从图象的最高点、最低点、分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 知识点二.零点存在性赋值理论 1.确定零点是否存在或函数有几个零点，作为客观题常转化为图象交点问题，作为解答题一般不提倡利用图象求解，而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点， 赋值之所以“热”， 是因为它涉及到函数领域的方方面面:讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性);求含参函数的极值或最值;证明一类超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等，零点赋值基本模式是已知f(a)的符号，探求赋值点m(假定 m<a)使得f(m)与f(a)异号，则在(m，a)上存在零点 2.赋值点遴选要领:讲选赋值点须做到三个确保:确保参数能取到它的一切值; 确保赋值点 x0 落在规定区间内;确保运算可行 三个优先:(1)优先常数赋值点;(2)优先借助已有极值求赋值点;(3)优先简单运算. 知识点三.隐零点问题 1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点” 2.利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把品值问题转化为求导函数的零点问题、若导数零点存在，但无法求出，我们可以设其为，再利用导函数单调性确定所在区间，最后根据f’()=0，研究f()，我们把这类问题称为隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a，关系式f()= 0是关于,a的关系式，确定的合适范围，往往和a的范围有关. 考点一、函数零点个数问题 1.（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数. 【详解】, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，，， 则的草图如下： 由图象可得函数的零点个数为. 2.（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝x－sin x的零点个数为 ． 【答案】1 【详解】 解析：由题得f′（x）＝1－cos x≥0，所以f（x）在R上是增函数．又f（0）＝0，故f（x）只有一个零点． 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x3－x－1. (1)求证：函数f(x)在区间(1，2)内恰有一个零点； (2)将（1）中的零点记为a，且a∈，求自然数n的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【详解】（1）证明：∵ f(1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，f(x)在[1，2]上的图象是连续不间断的， ∴ f(x)在区间(1，2)内有零点. ∵ f′(x)＝3x2－1，∴ x∈(1，2)时，f′(x)＞0， ∴ f(x)在(1，2)上单调递增， ∴ 函数f(x)在区间(1，2)内恰有一个零点. （2）解：由（1）知f(x)在(1，2)上单调递增， ∵ f()＝－－1＝＞0，∴ a∈(1，). 又f()＝－－1＝－＜0，∴ a∈(，)， 因此n＝5. 2.（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数. (1)求函数在区间上的最小值； (2)判断函数的零点个数，并证明. 【答案】(1) (2)函数在有且仅有一个零点，证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，令，利用导数说明的单调性，结合零点存在性定理得到的单调性，即可求出在闭区间上的最小值； （2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明. 【详解】（1）因为， 所以，令，， 当时，， 所以在上单调递减，且， ， 所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使 又当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为， ， 所以函数在区间上的最小值为. （2）函数在上有且仅有一个零点，证明如下： 函数，，则， 若，， 所以在区间上单调递增，又， ， 结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点， 若，则，，则， 若，因为，所以， 综上，函数在有且仅有一个零点. 考点二、数形结合法研究零点问题 1.（2023·四川甘孜·一模）设定义在上的函数是偶函数，且，是的导函数，当时，；当且时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据题意得到函数的单调性，将题目转化与在上的交点个数问题即可. 【详解】当且时，，则 时，为减函数；时，为增函数， 由，得，则函数的周期为， 又在上函数是偶函数，当时，， 在同一坐标系中作出与在上的图象， 由图可知，两函数的图象有4个交点， 所以在上的零点个数为4个. 故选：B. 2.（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】当时，令，得，即，构造函数，求导确定单调性从而可得，再根据函数的图象性质，可得方程根的个数，结合函数的奇偶性即可得结论；或者令，则由，可得，从而令，求导确定单调性，判断其零点个数再结合函数的奇偶性即可得结论. 【详解】解法一：∵函数是定义在上的奇函数，∴， 当时，令，得，即， 构造函数，则恒成立，所以在上单调递增， 则当时，可得，则， 又，则，所以时，函数递增，时，函数递减， 且；，则函数的图象大致如图所示， 由于，∴有两个解， 由于是定义在上的奇函数，故当时，也是2个零点， 综上，当时，有5个零点. 解法二：当时，令，得，即， 令，则， 令，，所以时，函数递减，时，函数递增， 又，又，，故在区间和区间各有一个交点， 是定义在上的奇函数，故，当时，也是2个零点， 综上，当时，有5个零点. 故选：D． 1.（24-25高三上·广东·开学考试）若函数，的图象与直线,,所围成的封闭图形的面积为． (1)求的值； (2)求函数单调区间及最值； (3)求函数在区间上的零点个数． 【答案】(1)； (2)递增区间是，，递减区间是，最小值，最大值； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用定积分列式求出值. （2）由（1）求出及导数，利用导数法分析函数的单调性，进而可得函数单调区间及最值. （3）作出函数的简图，数形结合可得函数在区间上的零点个数. 【详解】（1）依题意，当时， ，解得， 当时， ，此时，不符合题意， 所以. （2）由（1）知，，求导得， 当时，，当，即时，， 当，即时，，当，即时，， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值，而， 所以函数的递增区间是，，递减区间是，最小值，最大值. （3）由，得，函数在上的零点个数即直线与函数的图象的交点个数， 结合（2）在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有1个交点； 当或时，直线与函数的图象有2个交点； 当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 2.（2024·浙江·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，判断的零点个数. 【答案】(1)减区间为，增区间为； (2)2个. 【分析】（1）求导，当时，利用指数函数性质和余弦函数有界性可判断导数符号，当时，利用二次导数判断导函数单调性，然后可得导函数符号； （2）当时，利用二次导数判断的单调性，当时，利用指数函数性质和正弦函数有界性可判断函数值符号，当时，记，利用导数研究其图象，根据与的图象交点个数判断即可. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，所以，则， 所以，在上单调递减. 当时，记，则， 因为，所以，在单调递增， 所以，即，所以在上单调递增. 综上，的减区间为，增区间为. （2）当时，，则，     记，则， 当时，，所以，在单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，在上无零点. 当时，因为， 所以，此时无零点. 当时，记，则， 因为当趋近于0时，趋近于0，所以的变化越来越慢，图象下凹， 当时，，当时，， 作出函数和的图象如图， 由图可知，当时，两个函数图象有一个交点，即有一个零点. 易知是的一个零点. 综上，函数共有2个零点. 3.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数，其中． (1)若的极小值为，求单调增区间； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由导数的单调性得到极小值，即可求解； （2）由（1）知，在区间有1个零点，再讨论的极小值为的情况进行求解. 【详解】（1）由题，得，其中， 当时，，单调递增，无极值； 当时，令，解得或； 令，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，， 所以当时，取得极小值， 所以，解得． 单调增区间和； （2）由（1）知当时，的极小值为， 的极大值为，， 所以在区间有1个零点， 当，即时，因为，， 所以在区间各有1个零点，因此有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，易知有一个零点． 综上，当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点. 【点睛】方法点睛：对于第二问，先给出在区间有1个零点，再对的极小值分类讨论求解. 考点三、含参分类讨论确定零点问题 1.（2024·山东聊城·一模）已知函数，，. (1)求的单调递增区间； (2)求的最小值； (3)设，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数无零点 【分析】（1）求导后令，计算即可得； （2）求导后，令，再次求导后可得的单调性，无法直接求出使的解，因此虚设零点，借助零点的存在性定理，得到，使，再借助对数变形，得到，从而构造函数，结合函数单调性，得到，代入中，即可得解. （3）变形后可得函数的零点个数即为的实数根的个数，结合的单调性讨论即可得. 【详解】（1），令，可得， 故的单调递增区间为； （2）， 令， 则， 由，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 由，则， 令，则有， ，当时，恒成立， 故在上单调递增，故，即， 则， 即的最小值为； （3）令， 即有， 即函数的零点个数为的实数根的个数， 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，且， 又当时，，当时，， 故当，即时，有唯一实数根， 当，即时，有两实数根， 当，即时，无实数根， 即当时，函数有一个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数无零点. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问中，令无法直接解出，因此需要虚设零点，借助零点的存在性定理，得到，使，再借助对数变形，得到，从而构造函数，结合函数单调性，得到，从而求出的最小值. 2.（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由的图象关于对称，得到，列出方程组即可求解； （2）由（1）得到函数的解析式，求出，利用判断根的情况，分类讨论确定零点的个数. 【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数， 从而有，即， ， ， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可知，，，， ①当时，，，所以在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ②当时，，， 有两个正根，不妨设，则， 函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ③当时，， 令，解得或， 有两个零点； ④当时，，， 有一个正根和一个负根，不妨设， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 函数有且仅有三个零点； 综上，当时，函数有三个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点. 1.（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数. 【详解】（1）若，则. 又,切点为， 曲线在处的斜率， 故所求切线方程为即. （2）由题． 1°当时，在上单调递减，又. 故存在一个零点，此时零点个数为1. 2°当时，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故的最小值为. 当时，的最小值为0，此时有一个零点. 当时，的最小值大于0，此时没有零点． 当时，的最小值小于0，， 时，，此时有两个零点. 综上，当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，没有零点. 2.（2024·湖北·模拟预测）函数． (1)当时，证明：； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导可得，当时，，当时，，可证结论； （2）由已知可得，求导可得的单调性，进而可求函数的零点个数． 【详解】（1）当时，，所以，令得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 从而，不等式得证． （2）令，则，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 又，当时，；当时，． 从而当时，无零点；当或时，有一个零点； 当时，有两个零点． 3.（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数． (1)求的极值； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数即可求解. （2）的零点个数为函数的图象与直线的交点个数，用导数法研究零点个数即可. 【详解】（1）定义域为：, 由题意可得． 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故，． （2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减， ，，且当时，，当，． 的图象如下图所示：    令，得． 当或时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点； 当或时，方程有2个实根，即有2个零点； 当时，方程有3个实根，即有3个零点． 【点睛】本题只要考查了函数的极值与零点，考查了灵活利用导数知识分析问题，解决问题的能力，综合考查了逻辑推理与运算能力，体现了分类讨论的思想. 4.（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）根据导函数的性质判断原函数的单调性，结合函数的零点定义分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 则. 因为， 所以所求切线方程为， 即； （2）由题意可得. 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，，且，. 当，即时，有且仅有1个零点； 当，即时，有2个零点； 当时，即时，有3个零点； 当，即时，有2个零点； 当，即时，有且仅有1个零点. 综上，当或时，有且仅有1个零点； 当或时，有2个零点； 当时，有3个零点. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数极值点的正负分类讨论. 考点四、已知零点个数求参数问题 1.（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对勾函数的性质以及导数求解函数的最值，即可作出函数的图象，根据只有一个交点，即可结合图象求解. 【详解】， 由于为对勾函数，最小值为2，而，所以在单调递减， 故，作出的大致图象如下： 故要使恰有一个零点，只需要只有一个交点， 故，即， 故答案为： 2.（2018·全国·高考真题）已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）方法一：构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式; （2）方法一：研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值. 【详解】（1）［方法一］：【最优解】指数找朋友 当时，等价于． 设函数，则． ，所以在单调递减． 而，故当时，，即． ［方法二］：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值 当时，． 令，令，得．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，从而，所以函数在区间内单调递增，有． ［方法三］：【最优解】指对等价转化 当时，． 令，函数在区间上单调递增，故，有，故当时，． （2）［方法一］：指数找朋友 设函数， 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点． （i）当时，，没有零点； （ii）当时，． 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由于，所以在有一个零点， 由（1）知，当时，，所以． 故在有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在只有一个零点时，． ［方法二］：等价转化为直线与曲线的交点个数 令，得． 令．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，则．当时，，当时，，故函数在区间内只有一个零点时，． ［方法三］：等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数 函数在区间内只有一个零点等价于函数的图象与函数的图象在区间内只有一个公共点．由与的图象可知它们在区间内必相切于y轴右侧同一点，设切点为，则，解方程组得，经验证符合题意． ［方法四］：等价转化为直线与曲线的交点个数 当时，，原问题转化为动直线与曲线在区间内只有一个公共点．由得函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．设与的切点为，则，于是函数在点P处的切线方程为．由切线过原点可得，故． ［方法五］：【通性通法】含参讨论 因为，， 当时，在区间内单调递增，又，故无零点； 当时，． ①当时，在区间内单调递增，有在区间内单调递增，又，故无零点； ②当时，令，得，故函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．，从而单调递增．又，所以无零点． ③当时，，又，所以存在，使得，则函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，则为函数的唯一零点，且满足．所以，解得，则． ［方法六］：【最优解】等价变形＋含参讨论 当时，，无零点； 当时，，记，则； 当时，，函数在区间内单调递增，则有，故无零点； 当时，当时，单调递诚，当时，单调递增，当时，，当时，， 故，得． 【整体点评】（1）方法一：根据指数找朋友，将不等式等价转化为，这样可以减少求导的次数，便于求最值，是该题的最优解．； 方法二：常规的直接求导，研究函数的单调性求最值，是该题的通性通法； 方法三：利用指对互化，将不等式等价转化为，这样可以减少求导的次数，便于求最值，是该题的最优解． （2）方法一：根据指数找朋友，原函数在只有一个零点等价于在只有一个零点，再分类讨论以及利用导数研究其单调性即可解出； 方法二：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为直线与曲线的交点个数，即可解出； 方法三：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数，即可解出； 方法四：同方法二； 方法五：直接含参讨论函数的单调性确定最值，再根据零点存在性定理判断即可解出，是该类型题的通性通法； 方法六：易知当时函数无零点，只需考虑时的情况，，再含参讨论函数的单调性，研究其最值即可解出，是本题的最优解． 1.（2017·全国·高考真题）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为. 试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 2.（2024·内蒙古包头·三模）设函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性求最值即可； （2）求出函数的导函数，对进行分类讨论，分析函数的单调性，最值，由函数零点的个数求a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，， 当时；当时，． 所以，函数在上单调递减，在上单调递增． 所以，即的最小值为0． （2）由，得， （ⅰ）当时，，函数在单调递增，且，故函数恰有一个零点，不合题意． （ⅱ）当时， ①若，由（1）可知为最小值，函数恰有一个零点，不合题意． ②若，当时，，函数在单调递减，所以， 当时，，函数在单调递增，又， 根据零点存在定理，所以函数在区间上存在唯一零点， 此时函数恰有两个零点，满足题意． ③若，因为函数在单调递增，所以， 根据（1）由，得， 由，得，进而得， 所以． 又因为在上单调递减，根据零点存在定理， 所以函数在区间上存在唯一零点， 此时函数恰有两个零点，满足题意． 综上，a的取值范围是． 【点睛】一般的根据函数零点的个数求参数的取值范围，需要对参数进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性，最值，结合零点的存在性定理进行求解. 考点五、隐零点问题 1.22-23高三上·河南洛阳·开学考试）（1）证明不等式：（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）； （2）已知函数有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分） 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答. （2）求出函数的导数，利用导数分类讨论函数的单调性、零点情况作答. 【详解】（1）令函数，，求导得：，显然函数在上单调递增， 而，，则存在，使得，即，有， 当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 所以. （2）函数定义域R，求导得， 当时，由得，，由得，，即函数在上递减，在上递增， ，而，即存在，使得，则函数在上有唯一零点， 取且，则， 即存在，使得，则函数在上有唯一零点， 因此当时，函数有两个零点， 当时，函数只有一个零点2， 当时，若，当或时，，当时，， 即有在上单调递增，在上单调递减，又，， 因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点， 若，恒有，即函数在R上单调递增，函数最多一个零点， 若，当或时，，当时，， 即有在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，， 因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点， 综上得，当时，函数有两个零点，当时，函数最多一个零点， 所以a的取值范围是. 2.（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)设，证明：当时，函数有三个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）先求得的范围，利用换元法，结合导数以及零点存在性定理证得时，函数有三个零点. 【详解】（1）根据题意得，，， 当时，，在上单调递增； 当时，，得； 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，， 则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故的最小值为， 又，；，， 故． ， 设，， 则，， 则， 由，得． 因此，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 由于，故，又， 由零点存在定理，存在，使得， 所以有两个零点和，即方程有两个根和． 的图象如下，      当时，因为， 故方程有一个根； 当时，其中， 因为， 故由图角可知，有两个不同的根，，且． 综上，当时，函数有三个零点． 【点睛】利用导数研究含参数的函数的单调区间的过程中，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.分类标准可通过判别式、开口方向、根的大小等等来制定.利用导数研究函数的零点，往往要结合零点存在性定理来进行. 1.（22-23高三上·河北·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2) 【分析】（1）由题意得，令求出零点，即可得的单调区间； （2）恒成立，转化为恒成立，令，求导后，转化成两个函数的交点问题讨论函数单调性，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得函数的定义域为， 若，则， 令，则， 而， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减； （2）解：若恒成立， 则， 整理得，则， 设，则， 令，则， 整理得， 设，，可知两个函数均过定点， 若，即时， 为的切线，切点为， ①当，即时，，，不在定义域，不合题意； ②当，即时， 在区间，恒有，， 所以在单调递增，， 则，符合题意； ③当，即时， 设零点为，则 所以在上单调递减，在单调递增， ， 因为， 则， 又因为，所以且，与矛盾； 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的极值； (2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，） 【答案】(1)极小值是，无极大值； (2)2 【分析】 （1）求导，即可根据函数的单调性求解极值点， （2）分类讨论和上的导数正负，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1） 函数， ； 令，即，解得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故当时，取极小值， 函数的极小值是，无极大值； （2），则， 令则， 由于时，，因此函数在上单调递增， 由于， 因此存在唯一的，使得， 故当单调递减，当单调的递增， 时，，此时单调递减， 综上可知在单调递减，在单调递增， 又，，当时，， 因此与轴有两个不同的交点，故在上的零点个数为2. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 3.（2024·山东·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)探究的零点个数． 【答案】(1) (2)有两个零点 【分析】（1）求得，得到，，利用导数的几何意义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距； （2）得到在上递增，结合，得到，使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】（1）解析：由函数，可得，所以， 又，所以的方程为，即， 令，可得，所以直线在轴上的截距为． （2）解：因为和在上均单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以，使得， 所以，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 又因为， 所以有两个零点． 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，函数有且仅有个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题求出，，即可得出该切线方程； （2）令，得，分不同区间讨论的增减和正负，进而得出结论. 【详解】（1）， ， 在处的切线方程为. （2）由（1）令， 则， ①当时，，即. ②当时，， ③当时，在上单调递增. ， 存在唯一，使得. 当时，，当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. 又， 存在唯一，使得， 即当时，，当时，， 当时，有且仅有个零点. ④当时，. 综上，当时，有且仅有个零点. 考点六、极值点偏移问题 1.（2024高三·全国·专题练习）设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】(1)由题意得，令，根据的正负确定的单调性，得，即得函数的单调性. （2）构造函数，其中，则，令，得，从而可得在上单调递减，然后根据函数的单调性可得 【详解】（1）∵，， ∴． 令，则． 令，得或． 当时，；当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 又，，故对一切恒成立， ∴，于是，故在上单调递增． （2）不妨设． 构造函数，其中， 则． 由，得． 令， ∵， ∴在单调递增，则． ∴在上单调递减，∴， 即对恒成立． ∵，∴， ∴． 由（1）知在上单调递增， ∴，故． 2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可； （2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可. 【详解】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 1.（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 【答案】(1)有且仅有一个零点 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解； （2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证， 构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数有且仅有一个零点. （2）方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根， 得，令，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 由，得当时，； 当的大致图象如图所示，    所以当，即时，有两个不同实根； 证明：不妨设且 两式相加得，两式相减得， 所以， 要证，只需证， 即证， 设，令， 则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即， 所以，原命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据，两式相加相减，进而可得，进而要证，只需证，即证，从而将双变量转化为单变量，令，讨论该函数的单调性和最值即可证明. 2.（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明过程见解析. 【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可； （2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）， 该方程有两个不等实根，由， 所以直线与函数的图象有两个不同交点， 由， 当时，单调递减， 当时，单调递增，因此， 当时，，当，， 如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为； （2）因为是函数的两个极值点， 所以，由（1）可知：，不妨设， 要证明，只需证明，显然， 由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明， 而，所以证明即可， 即证明函数在时恒成立， 由， 显然当时，，因此函数单调递减， 所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明. 【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键. 3.（21-22高三上·广东清远·期末）已知函数． (1)讨论的零点个数． (2)若有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解； （2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可. 【详解】（1）因为，所以1不是的零点． 当，可变形为， 令，则的零点个数即直线与图象的交点个数． 因为，，得，又， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，且当时，， 所以当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点． （2）证明：由（1）知，当时，有两个零点． 设，则， 由得， 所以，即． 令，则， 易得在上单调递减，在上单调递增． 要证，即证． 因为，且在上单调递增，所以只需证． 因为，所以即证． 令， 则， 所以在上单调递减． 因为，所以． 因为，所以，故． 4.（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数． （1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）转化条件为在上恒成立，分参后构造新函数，结合导数即可得解； （2）由极值点的概念结合函数的单调性可得，通过构造新函数，结合导数及函数的单调性可证，即可得证. 【详解】解：（1）易知的定义域为， 由题意知，即在上恒成立，． 令，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，有最小值， 所以； （2）因为，由知，， 设 则，且在上单调递增，在上单调递减， 所以可令，，． 令，． 则 因为，所以，所以上在单调递减，且， 所以时，． 又，所以 所以． 所以． 因为，，且在上单调递增， 所以，． 【点睛】关键点点睛： 本题第二问考查极值点偏移问题，构造新函数，通过导数说明单调性，进而可得，再通过的单调性转化的不等关系，即可得证. 1．（22-23高三上·天津和平·期末）设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先得是函数的一个零点，当时，，所以当时，与，图象必有一个交点，根据函数求导计算可得的函数图象，数形结合即可解决. 【详解】由题知，，函数恰有两个零点， 因为当时，， 所以是函数的一个零点， 又当时，， 所以当时，与，图象必有一个交点， 由于， 当时，， 所以函数在上单调递增， 当时，， 当时，， 当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以，函数图象如图， 由图可知，若与，图象必有一个交点，则， 故选：B 2．（2020·重庆·一模）已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】A 【分析】构造函数，讨论、或，利用导数判断函数的单调性，从而求出的最值，进而得出的零点个数. 【详解】构造函数，其中，则， 当时，. 当时，， 此时，函数单调递减，则； 当时，， 此时，函数单调递增，则. 所以，当时，； 当时，. 综上所述，函数的零点个数为0. 故选：A. 3．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数在上为增函数，又，即得. 【详解】∵，， 由得，，∴，函数为增函数， 当时，，又， 故的零点所在的区间是. 故选：B 4．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解析：f′（x）＝2x ln 2＋1＞0，所以f（x）在R上单调递增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函数的零点个数为1.故选B. 5．（20-21高三上·天津南开·阶段练习）函数的零点个数是 ． 【答案】2 【分析】结合的图象以及导数确定正确选项. 【详解】， 画出与的图象如下图所示， 当时，， ，所以在曲线图象上点的切线方程为，即. 由图可知与有两个公共点，即有两个零点. 故答案为：    6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为 . 【答案】2 【分析】由函数有两个不同零点可得，再求导并判断的零点个数，进而判断极值点个数. 【详解】令，则，由题意知，即； ，令，则， 即，则有两个变号零点， 所以函数有2个极值点. 故答案为：2. 7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间、最值． (3)设在上有两个零点，求的范围. 【答案】(1)； (2)单调增区间为，单调减区间为；最大值为，最小值为； (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）由求出增区间，由求出减区间，再根据单调性求出最值即可； （3）根据函数的性质结合条件即可求出的范围. 【详解】（1）由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减. 所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为. 所以，又，， 所以. （3）在上有两个零点，即有两个不等根， 由（2）知. 1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令 ，先讨论 求出单调区间，进而判断函数 的极小值，再由 有两个零点， 所以方程有2个根，而 ，所以且，即可得到 的取值范围． 【详解】令 , , ①当 , 时， ，则 , 则函数在上单调递增， 时， ，所以 , 则函数 在上单调递减； ②当时，, ，所以 , 则函数在上单调递增， 当时，，所以 , 则函数在上单调递减． 故当且时， 在时递减；在时递增， 则 为 的极小值点，且为最小值点，且最小值. 又函数 有两个零点，所以方程有两个不相等的实根， 而，所以 且 ，解得 , 故选：A . 2．（20-21高三上·天津南开·阶段练习）设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（    ） A．(–，0) B．(–，0] C．(–，0]∪(1，+∞) D．(–，1) 【答案】C 【分析】根据导数判断函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出. 【详解】当时，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，且， 画出的函数图象如下： 函数有两个零点，等价于与的函数图象有两个交点， 由图可知或. 故选：C. 3．（2023·吉林·一模）已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数求单调区间和极值，作出函数图像，由零点个数，结合二次函数的性质，转化为的取值范围问题，通过构造函数，列不等式求解. 【详解】当且时，，， 当且时，；当时，． 故在，上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 时，；时， 由解析式可知，为奇函数．画出图象大致如下： 令得，设， 得关于的方程（*） 恒成立，设（*）式有两个不等实根，， 当，时，即，满足题意， 当或，满足题意， 方法一： 令，则或， 故或， 综上，实数的取值范围是． 方法二： （*）式化为，令， 易知在，上单调递增， 且，，， 其图象大致如图： 当或时，满足或， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.通过构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 4．（2023·天津河北·一模）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知，令，由参变量分离法可知，直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，， 当时，由可得，可得， 当时，由可得，可得， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，函数的极小值为， 且当时，，当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时函数有两个零点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若函数在区间上有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增为，，单调递减区间为，极大值，极小值 (3) 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求曲线的切线斜率，进而可求切线方程； （2）结合导数与单调性及极值关系可求； （3）结合（2）的单调性结合图象即可求解． 【详解】（1），所以， 故曲线在点处的切线方程，即； （2）由（1）可知，， 所以当或时，，当时，， 所以函数的单调递增为，，单调递减区间为， 当时函数取得极大值，当时，函数取得极小值； （3）令函数，即， 所以函数在区间上有一个零点， 等价于图象与直线在区间上有一个交点. 由（2）可知，函数在，上递增，在上递减， 且， 画出图象，如下图所示， 由图可知，当时，图象与直线在区间上有一个交点. 故实数的取值范围为. 6．（22-23高三上·天津·期中）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值. (1)求函数的单调区间； (2)若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2)或 【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间； （2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线斜率为4， 且在处取得极值， 可得，即， 解得，   所以， 可得， 令，解得或． 解，得或，即在区间上单调递增，在上单调递增； 解，得，即在上单调递减. 所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，． （2）解：由（1）得，， 则，由（1）知， 当或时， 当或时，，即； 当时，，即. 所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使得有两个零点，则满足或， 即或，解得或， 所以的取值范围为或． 7．（21-22高三上·天津东丽·阶段练习）已知函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，求函数在区间的最值； （3）若恰有三个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）的增区间是和，减区间是；（2）最大值是9，最小值是；（3）． 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，得减区间； （2）由导数确定函数在上单调性得极值，并计算区间端点处函数值比较可得最值； （3）同导数求出函数的极值，由极大值大于0，极小值小于0可得结论． 【详解】（1），，， 或时，，时，， 所以的增区间是和，减区间是； （2），，， 或时，，时，， 在、是递减，在上递增， 极大值，极小值，又，， 所以函数在区间的最大值是9，最小值是； （3）， 时，是二次函数，不可能是三个零点； 时，或时，，时，，即在和上递增，在上递减， 所以极大值，极小值，函数有三个零点，则，，所以； 时，或时，，时，，即在和上递减，在上递增， 所以极大值，极小值，函数有三个零点，则，，所以； 综上，的取值范围是． 1.（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 2.（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； （2），则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 3.（2020·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1）详见解析；(2). 【分析】（1），对分和两种情况讨论即可； （2）有三个零点，由（1）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可. 【详解】（1）由题，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 令，得或，所以在上单调递减，在 ，上单调递增. （2）由（1）知，有三个零点，则，且 即，解得， 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 4.（2020·全国·高考真题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间； （2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. 【详解】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； （2）若有两个零点，即有两个解， 从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. 【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$