第13讲函数的极值（5类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第13讲函数的极值 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题 2.能掌握函数极值与图像的关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题 4.掌握函数图像与极值的关系 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求参数的取值范围等。 知识讲解 知识点一.函数的极值 1. 函数极值的定义： 如图，函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0.类似地，函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值；b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2. 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件： 一般地，函数y＝f (x)在某一点的导数值为0是函数y＝f (x)在这点取得极值的必要条件．可导函数y＝f (x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件： ①f ′(x0)＝0； ②在x＝x0附近的左侧f ′(x0)>0(<0)，右侧f ′(x0)<0(>0)． 3. 导数求极值的方法： 解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值． 注意　对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 知识点二.三次函数的图象、单调性、极值 设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x1<x2. (1)a>0 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减 在R上是增函数 极值点个数 2 0 (2)a<0 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减 在R上是减函数 极值点个数 2 0 考点一、函数极值辨析 1.（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.    故选：B. 2.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数相邻极值点的距离为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意，根据函数极值点的定义可得，结合公式计算即可求解. 【详解】因为函数的相邻极值点之间的距离为， 所以，得，又， 所以. 故选：D 1.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇函数和极值点的概念，结合导数，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A，，，故为偶函数，不符题意； 对B，，为奇函数， ，得， 当时，时， 故的极小值，故B正确； 对C，为偶函数，不符题意； 对D，无极值，不符题意， 故选：B 2．（2024·江西·模拟预测）已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式化一，再根据是在区间上的两个极值点，求出，即可得解. 【详解】， 因为，所以， 因为是在区间上的两个极值点，不妨设， 则，所以， 所以. 故选：C. 3．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）“是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用导数的四则运算与函数极值点的定义，举反例说明即可得解. 【详解】当时，，则在处导数为0，但0不是它的极值点； 当时，则在处导数不存在，但0是它的极值点； 因此题干两条件是既不充分也不必要条件. 故选：D. 考点二、求不含参函数的极值 1.（2017·全国·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得， 因为，所以，，故， 令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，故选A． 【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； （2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 2.（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 1.（2024·甘肃张掖·三模）已知函数图象在处的切线斜率为. (1)求； (2)求函数的单调区间和极大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接求导，根据得到方程，解出即可； （2）直接求导，根据导数分析其单调性和极大值. 【详解】（1）因为， 由已知，即，解得. （2）由（1）知，则， 解得或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 所以的单调递增区间为和，减区间为， 函数的极大值为. 2.（2024·江苏·三模）已知函数. (1)若，求的极小值； (2)若是单调函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导后，借助导数可得其单调性，即可得其极小值； （2）求出导数后，分是单调递增函数与单调递减函数讨论即可得. 【详解】（1）当时，，， 令，由，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 故的极小值为； （2）， 若在上单调递增，则恒成立， 即对恒成立，则恒成立，又，故， 若在上单调递减，则恒成立， 即对恒成立，则恒成立，故， 综上所述，的取值范围为. 3.（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数. (1)若，求函数的单调区间及极值； (2)若时，不等式在上恒成立，求参数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；的极大值为，极小值为-2 (2) 【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值； （2）问题等价于在区间恒成立，设，利用导数求最小值即可得的取值范围. 【详解】（1）时，，函数定义域为， ， 令，解得：或，令，解得： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 时，有极大值， 时，有极小值. 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为-2 （2）时，在上恒成立， 即在区间恒成立. 设，则， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 故，故. 故的取值范围为. 4.（23-24高三上·天津·期中）已知函数. (1)求的单调区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)最大值为54，最小值为. 【分析】（1）利用导数研究的单调性，并求出极值即可； （2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值. 【详解】（1）由题设，令，得或， 当时，即，解得或，单调递增区间为和. 当时，即，解得，单调递减区间为. 函数的极大值为，极小值为. （2）由，，，则 且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为. 5.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线平行． (1)求的值及切线的方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1)， (2)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出，即可求出，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间与极值. 【详解】（1）因为，所以， 则，故在处的切线斜率为， ，解得，即， 因此， 所以函数在点处的切线：，即． （2）由（1）可得，定义域为， 又， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 即极大值为，极小值为， 综上所述，的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． 考点三、求含参函数的极值 1.（2024·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调区间，可求极值； （2）问题等价于在区间内有解，令，利用导数求函数最小值即可得的取值范围. 【详解】（1），令，得． 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值； 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 综上，当时，的极小值为，无极大值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）时，等价于，则在区间内有解． 令，则， 令，则在上单调递增，有， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内恒成立， 所以在区间内单调递增，即，即， 故的取值范围是． 2.（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)． 【分析】（1）利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得的值； （2）先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点； （3）对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0，求得的取值范围； 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为函数在处的切线与x轴平行， 所以，解得． （2）函数的定义域为， ． 令得或， 所以当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点； 当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极小值点，是函数的极大值点； 综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，函数在区间上严格减，无极值点； 当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点． （3）由（2）知，当时，函数在区间上严格减， 在区间上严格增，故函数在上的最大值是， 与已知矛盾； 当时，函数在区间上严格减，最大值，满足条件； 当时，函数在区间上严格减，最大值是，满足条件； 综上，a的取值范围是． 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求证：． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数即可求得函数的极值； （2）构造新函数，并利用导数求得新函数的最大值，即可证得. 【详解】（1） 时，，此时函数单调递增，无极值． 时，令，解得． 则时，，此时函数单调递增； 时，，此时函数单调递减， 可得：时， 函数取得极小值． 无极大值. （2）解法一： ，只需证明． 时，不等式成立； 只需证明时，， 令 ，则 令，， ， ∴．∴， ∴在上单调递减． ∴利用洛必达法则：， ∴． 解法二：（切线放缩） 要证明，只需证明， 只需证明， 令 则时，则单调递增， 时，则单调递减， 则时取得极小值， ∴，画出和图象如图所示， 当时，恒成立即图象必须在下方， 在时取得极值 ， 为在点处的切线， ∴． 2.（2024·山东威海·二模）已知函数． (1)求的极值； (2)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案； （2）根据要证明的不等式的结构特点，设，求出其导数，利用导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 则， 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； （2）证明：设， ，令， 则，即在上单调递增， ， 故，使得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故 即，即，则. 3.（20-21高三上·四川宜宾·阶段练习）设函数，其中. (1)当时，曲线在点处的切线斜率； (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解； （2）利用导数与函数的性质的关系即可得解. 【详解】（1）当时，， 则，故 所以曲线在点处的切线斜率为1. （2）因为， 所以， 令，得到 因为， 当x变化时，与的变化情况如下表： 0 0 极小值 极大值 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为， 函数在处取得极大值，且， 函数在处取得极小值，且. 4.（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间和极值 (2)若在区间内恰好有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大 (2) 【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由得，且定义域为 ∵，令，即，解得， 令，解得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 在处的极小值为，无极大值. （2）当，恒成立，在上单调递增， 故在区间内至多只有一个零点； 当时，由（1）得在上最小值为， 若在区间内恰有两个零点，则需满足，整理得. 5.（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知． (1)讨论的单调性和极值； (2)若时，有解，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值； （2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值. 【详解】（1）， 当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值； 当时，令 ，得， ，得，函数在区间上单调递减， ，得，函数在区间上单调递增， 当，函数取得极小值， 综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值； 时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值. （2）由题意可知，，时有解， 则，在时有解，即， 设，， ， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为，即， 所以实数的取值范围是. 考点四、由极值求参数 1.（24-25高三下·重庆·阶段练习）若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据极值的定义列等式求出和，然后检验此时在时是否有极小值，即可确定和的值，进而得到. 【详解】，因为在时有极小值， 所以，即，解得， 此时， 或时，，时，， 在时有极小值成立，所以，，. 故选：B. 2.（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 1.（2024·重庆·模拟预测）已知 (1)若在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)若存在极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据已知条件有，解方程即可求出； （2）根据条件有在上至少有一个变号零点，即 至少有一解，构造函数 ，对求导，利用导数判断函数单调性，求出函数最值，进而即得. 【详解】（1）因为 ，所以 ， 根据题意有，即，解得， 检验，此时，切线为，平行与轴，故符合题意. （2）因为 ，所以 ， 因为存在极值点，所以在上至少有一个变号零点， 即 至少有一解，令 ， 则 ，令，即，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，又当时，， 所以. 2.（2024·辽宁·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的极小值为，求实数的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，根据的不同范围，分别求出函数的单调性； （2）结合（1），由的不同范围确定极小值点，列出方程求解即可． 【详解】（1）， ①当时，令，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； ②当时，令，解得或， 当和时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，令，解得或， i)当时，即时， 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减； ii)当时，即时， 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减； iii)当时，即时，，在上单调递增； 综上所述，当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增， 在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和时单调递增；在单调递减． （2）①当时，在上单调递增，无极值； ②当时，在和单调递减，在单调递增； 所以的极小值为， 故， 化简得，，解得或（舍去）； ③当时，在和单调递增，在单调递减， 所以的极小值为， 故，解得，符合题意； ④当时，在和时单调递增；在单调递减， 所以得极小值为， 故，解得或（舍去）． 故实数． 3.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数在时取得极值 . (1)求的解析式； (2)若函数有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数的方程，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）分析可知，直线与函数的图象有1个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 由题意可得，解得， 所以，此时，， 经检验可知，函数在处取得极值， 因此； （2）问题等价于有一个的实数根，求的范围， 由，得或， 由，得，所以在、上单调递增， 在上单调递减，则函数的极大值为， 极小值为，如下图所示：    由图可知，当或时，直线与函数的图象有1个交点， 因此，实数的取值范围是. 4.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的极小值为，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)4 【分析】（1）根据题意先对函数求导后，然后对分情况讨论，从而可求解； （2）根据函数极小值为，结合（1）从而求解. 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，则在上递增， 当时： 若时，解之得：或， 所以得：在区间，上单调递增， 若时，解之得：， 所以得：在区间上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. （2）由（1）知，当时在上单调递增，故不存在极值， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取得极小值， 所以，解之得，故的值为4. 5.（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数在处有极值-1. (1)求的值； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可列出相应方程，即可求得的值，验证后即可确定答案； （2）由题意得在上恒成立，继而参变分离得在内恒成立.，构造函数，求出函数的最小值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知， 因为在处取得极值-1， 所以， 解得， 即，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 即在处取得极小值-1，符合题意， 故. （2）在上恒成立， 即在内恒成立. 令， 则，令，得或， 令，得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 所以，经验证时，，即符合题意， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答第二问根据函数的单调区间求解参数取值范围，得到不等式在上恒成立，即可参变分离，转化为不等式在内恒成立，继而构造函数，将问题转化为求解函数的最值问题. 考点五、函数极值（点）与图像 1.（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【答案】A 【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可. 【详解】根据导函数图像知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，，单调递减，则，则A正确； 对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误； 对于C，不能确定零点个数，则C错误； 对于D，函数有两个极值点，则D错误. 故选：A． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率小于零 B．函数f（x）在区间（－1，1）上单调递增 C．函数f（x）在x＝1处取得极大值 D．函数f（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点 【答案】D 【详解】解析：由题意，得f′（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率等于零，故A错误；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上单调递减，故B错误；当－2＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以x＝1不是f（x）的极值点，故C错误；当x∈（－3，－2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（－2，3）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以当f（－2）＜0时，f（x）在（－3，3）上没有零点；当f（－2）＝0时，f（x）在（－3，3）上只有一个零点；当f（－2）＞0时，f（x）在（－3，3）上有两个零点．综上，函数f（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点，故选D. 1.（2024·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对比选项可知，由题意，（）是函数的零点，（）都是函数的极值点，由此可以排除A，C；进一步对和0的大小关系分类讨论，得出函数在处附件的增减变换情况即可. 【详解】对比各个选项可知， 由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点， 令， 可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C； 若，则函数的图象形状为增减增， 具体为在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合； 若，则函数的图象形状为减增减， 具体为在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合． 故选：B. 2.（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．函数有最小值 B．函数有最大值 C．函数有且仅有三个零点 D．函数有且仅有两个极值点 【答案】A 【分析】根据的图象判断出的单调性、极值点、最值、零点，逐一分析每一选项即可. 【详解】由函数图象可知、的变化情况如下表所示： 由上表可知在和上分别单调递减，在和上分别单调递增， 函数的极小值分别为、，其极大值为. 对于A选项：由以上分析可知，即函数有最小值，故A选项正确； 对于B选项：由图可知当，有，即增加得越来越快， 因此当，有，所以函数没有最大值，故B选项错误； 对于C选项：若有，则由零点存在定理可知函数有四个零点，故C选项错误； 对于D选项：由上表及以上分析可知函数共有3个极值点，故D选项错误. 故选：A. 3.（24-25高三·上海·随堂练习）定义在 上的函数的导数的大致图象如题图所示，则函数的单调增区间为 ，的极大值点为 ．    【答案】 2 【分析】数形结合，根据导函数的图象的正负判断函数的单调性以及极大值点即可求解. 【详解】根据导函数的图象可知，函数在 上时，导数， 函数在上时，导数， 所以的严格递增区间为，的严格递减区间为， 所以时，取得极大值， 所以的极大值点为． 故答案为：；2 1．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的极大值点得，然后由等差数列性质结合诱导公式可得. 【详解】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值， 则，由等差数列性质，得， 所以. 故选：D 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：C. 3．（2024·河北承德·二模）设为实数，若函数在处取得极小值，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，根据极值点求出的值，然后根据极值的概念检验即得． 【详解】由题可得， 令，解得；或， 因为函数在处取得极小值， 所以，即， 当时，，或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意. 故选：B. 4．（2024高三·全国·专题练习）设，若函数有小于零的极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有小于零的极值点即导数等于零有负数解. 【详解】因为有小于零的极值点，且， 由，得，故.由，解得.综上，， 故选：B ． 5．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 . 【答案】 【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间；分析原函数的单调性，可以得到函数的极大值点. 【详解】如图： 导函数的图象过点和， 则当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴函数的单调递减区间为，极大值点为. 故答案为：； 6．（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值. 【详解】（1）因为，所以， 又在处的切线方程为， 所以，， 解得，． （2）由（1）可得定义域为，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 则在处取得极小值， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因此极小值为，无极大值． 7．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1)， (2)单调递增区间是，，单调递减区间是，极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可； （2）求导分析导函数的正负区间进而求解极值即可. 【详解】（1）由题可得， 由题意，故， 又，故. （2）由（1）可得， 令可得或，令可得， 故的单调递增区间是，，单调递减区间是. 则的极大值为，极小值为. 1．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个极值点，看将问题转化为由两个不同的正实数根，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】， 令，得. 令，则. 令，则，即，即. 当时，在单调递增；当时，在单调递减. ， 又当时，；当时，， 当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点. 故选：B 2．（2024·陕西宝鸡·三模）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转换为关于的方程在上有两个不同的实数根，结合二次函数性质即可求解. 【详解】， 故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根， 即关于的方程在上有两个不同的实数根， 令，则， 所以关于的方程在上有两个不同的实数根， 令， 因为在上单调递增，故在上的值域为， 因为在上单调递减，故在上的值域为， 而，从而实数的取值范围是. 故选：A. 3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】C 【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；令，得到是奇函数，是的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D. 【详解】对于A，由题，， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以是极值点，故A不正确； 对应B，因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 对于C，令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：C 4．（2024·青海西宁·一模）等差数列中的，是函数的极值点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据极值点求出导函数为0求出，再结合等差数列得出，最后计算对数. 【详解】函数的极值点是，， 导函数为，所以， 等差数列中，，所以， 则. 故选：B. 5．（2023·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（    ） A． B．． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案. 【详解】， ，， 函数在区间上恰有3个极大值点， 故，解得. 故选：D 6．（2024·吉林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求证：当时，. 【答案】(1)极大值；极小值0. (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性、极值，计算即可； （2）先利用导数计算函数的最小值，将问题等价变形，法一、构造函数，利用导数求其单调性、最值即可；法二、构造函数，利用二次求导判定其单调性计算即可. 【详解】（1）当时， 令得或，当变化时，与变化如下表： -2 + - 0 + 单调递增 单调递减 0 单调递增 故当时，取得极大值； 当时，取得极小值0. （2） 令，则，当变化时，与变化如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 故. 要证当时，. 法一： 只需证当时，即 令，则在上单调递减 故，即式成立，原不等式成立. 法二： 只需证当时，即 令，则 令，则 在上单调递减. 在上单调递减， 即式成立，原不等式成立. 7．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数且为常数）. (1)当，求函数的最小值； (2)若函数有2个极值点，求的取值范围； 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值； （2）首先求函数的导数，再设函数，利用导数分析函数的图象，转化为直线与的图象有2个交点，即可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最小值； （2）函数的定义域为，， 设，， 由，得， 列表如下： 减 极小值 增 当时，，当时，， 做出函数与的图像，如下图， 当时，直线与的图象有2个交点， 设这两个交点的横坐标分别为，且，由图可知， 当或时，， 当时，，此时函数有2个极值点， 所以的取值范围是. 1.（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 2.（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 3．（天津·高考真题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 4．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时 ，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 5．（天津·高考真题）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间与极值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意得到函数的解析式，从而得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程； （2）对函数求导，对参数的取值范围分类讨论，根据导函数的符号确定函数的单调区间和极值. 【详解】（1）当时，，， 又，． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）． 由于，以下分两种情况讨论． ①当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． ②当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 6．（2014·天津·高考真题）已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围 【答案】(1) 的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2) 【详解】试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R，再求导数在定义域下求导函数的零点：或，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的，都存在，使得”等价于两个函数值域的包含关系.设集合，集合则，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于，所以,因此，又，所以，即 解(1)由已知有令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值，(2)由及（1）知，当时，，当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然. 下面分三种情况讨论： 当即时，由可知而，所以A不是B的子集 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而由有在上的取值范围包含，所以 当即时，有且此时在上单调递减，故,,所以A不是B的子集 综上，的取值范围为 考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域 7．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 8．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲函数的极值 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题 2.能掌握函数极值与图像的关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题 4.掌握函数图像与极值的关系 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求参数的取值范围等。 知识讲解 知识点一.函数的极值 1. 函数极值的定义： 如图，函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0.类似地，函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值；b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2. 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件： 一般地，函数y＝f (x)在某一点的导数值为0是函数y＝f (x)在这点取得极值的必要条件．可导函数y＝f (x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件： ①f ′(x0)＝0； ②在x＝x0附近的左侧f ′(x0)>0(<0)，右侧f ′(x0)<0(>0)． 3. 导数求极值的方法： 解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值． 注意　对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 知识点二.三次函数的图象、单调性、极值 设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x1<x2. (1)a>0 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减 在R上是增函数 极值点个数 2 0 (2)a<0 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减 在R上是减函数 极值点个数 2 0 考点一、函数极值辨析 1.（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 2.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数相邻极值点的距离为，则为（   ） A． B． C． D． 1.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·模拟预测）已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）“是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点二、求不含参函数的极值 1.（2017·全国·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为． A． B． C． D． 2.（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 1.（2024·甘肃张掖·三模）已知函数图象在处的切线斜率为. (1)求； (2)求函数的单调区间和极大值. 2.（2024·江苏·三模）已知函数. (1)若，求的极小值； (2)若是单调函数，求的取值范围. 3.（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数. (1)若，求函数的单调区间及极值； (2)若时，不等式在上恒成立，求参数的取值范围. 4.（23-24高三上·天津·期中）已知函数. (1)求的单调区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值. 5.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线平行． (1)求的值及切线的方程； (2)求的单调区间和极值． 考点三、求含参函数的极值 1.（2024·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 2.（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求证：． 2.（2024·山东威海·二模）已知函数． (1)求的极值； (2)证明：． 3.（20-21高三上·四川宜宾·阶段练习）设函数，其中. (1)当时，曲线在点处的切线斜率； (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 4.（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间和极值 (2)若在区间内恰好有两个零点，求的取值范围. 5.（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知． (1)讨论的单调性和极值； (2)若时，有解，求的取值范围． 考点四、由极值求参数 1.（24-25高三下·重庆·阶段练习）若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·重庆·模拟预测）已知 (1)若在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)若存在极值点，求a的取值范围． 2.（2024·辽宁·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的极小值为，求实数的取值集合． 3.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数在时取得极值 . (1)求的解析式； (2)若函数有一个零点，求实数的取值范围. 4.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的极小值为，求的值． 5.（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数在处有极值-1. (1)求的值； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 考点五、函数极值（点）与图像 1.（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率小于零 B．函数f（x）在区间（－1，1）上单调递增 C．函数f（x）在x＝1处取得极大值 D．函数f（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点 1.（2024·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   2.（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．函数有最小值 B．函数有最大值 C．函数有且仅有三个零点 D．函数有且仅有两个极值点 3.（24-25高三·上海·随堂练习）定义在 上的函数的导数的大致图象如题图所示，则函数的单调增区间为 ，的极大值点为 ．    1．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北承德·二模）设为实数，若函数在处取得极小值，则（    ） A．1 B． C．0 D． 4．（2024高三·全国·专题练习）设，若函数有小于零的极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 . 6．（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 7．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)求的单调区间和极值． 1．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西宝鸡·三模）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 4．（2024·青海西宁·一模）等差数列中的，是函数的极值点，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（2023·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（    ） A． B．． C． D． 6．（2024·吉林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求证：当时，. 7．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数且为常数）. (1)当，求函数的最小值； (2)若函数有2个极值点，求的取值范围； 1.（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 2.（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 3．（天津·高考真题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 5．（天津·高考真题）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间与极值． 6．（2014·天津·高考真题）已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围 7．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 8．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$