第二章 对称图形—圆（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（苏科版，江苏专用）

第二章 对称图形—圆（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．已知的半径为4，，下列四个图形中，正确的可能是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴 C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦 4．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A．60° B．90° C．180° D．360° 5．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 7．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 8．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 9．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 10．如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    12．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    13．如图，已知是的直径， ，，那么度数等于 ． 14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °． 15．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 16．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 17．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 18．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）如图，在中，，两点在弦上，且，求证：． 20．（8分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 21．（8分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 22．（8分）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 23．（8分）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 24．（10分）根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 25．（10分）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 26．（12分）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．    (1)求证：；（请用两种证法解答） (2)若，的半径为3，，求的长． 27．（12分）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 28．（14分）【问题提出】 （）如图，为的弦，在上找一点并画出，使点到的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 （）如图，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，点为上一动点，连接，与交于点，若，，求的最大值； 【问题解决】 （）某公园有一圆形水池（如图），是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口在水池边上（即点在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 对称图形—圆（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【解析】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．已知的半径为4，，下列四个图形中，正确的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵的半径为4，， ∴点A在内， 故选：B 3．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴 C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦 【答案】C 【解析】A．不共线的三点确定一个圆，故A是假命题； B．对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题； C．弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题； D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题． 故选：C． 4．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A．60° B．90° C．180° D．360° 【答案】B 【解析】解：正六边形的中心角的度数为：， ∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合， ∴旋转角的大小不可能是； 故选B． 5．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：， ， ． 故选：D． 6．如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 7．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵直线与相切， ∴， ∴ 故选：A． 8．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 9．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【解析】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 10．如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接， 是的直径， ， 点P是在以为直径的弧上运动， 当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长， ， 中，， ， 故选：C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    【答案】 【解析】解：连接AC，    ∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角， ∴AC是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：． 12．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【答案】/40度 【解析】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知是的直径， ，，那么度数等于 ． 【答案】/54度 【解析】∵ ∴， ∴， ∴， ∴度数等于． 故答案为：． 14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °． 【答案】 【解析】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 15．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【解析】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 16．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【解析】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 17．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【解析】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 18．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【解析】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）如图，在中，，两点在弦上，且，求证：． 【解析】证明：∵是的弦， ∴点在上， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 20．（8分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 【解析】已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为． 求证：，，． 证明：如图，连接、． 因为 ，， 所以，． 所以，． 所以． 21．（8分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【解析】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 22．（8分）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【解析】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 23．（8分）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【解析】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 24．（10分）根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 【解析】解：任务一：如图，正六边形即为所作； 任务二：如图， 由旋转可知， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（10分）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【解析】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 26．（12分）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．    (1)求证：；（请用两种证法解答） (2)若，的半径为3，，求的长． 【解析】（1）证法一：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，    证法二：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，    （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 27．（12分）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【解析】（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 28．（14分）【问题提出】 （）如图，为的弦，在上找一点并画出，使点到的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 （）如图，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，点为上一动点，连接，与交于点，若，，求的最大值； 【问题解决】 （）某公园有一圆形水池（如图），是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口在水池边上（即点在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 【解析】解：（）过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求； （）过点作交于点， ∵，是半径，不会随着点的运动而改变， ∴当有最小值时，有最大值， 即当时，最小，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （）当经过圆心时，四边形面积最大，则， 根据垂径定理可得，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴修建和两座小桥的总成本为：元． 学科网（北京）股份有限公司 $$