专题02 圆中常见的辅助线（高效培优专项训练）数学苏科版九年级上册

专题02 圆中常见的辅助线 题型一：有弦可连半径 题型二：有弦可作弦心距 题型三：有直径可构造直角 题型四：有切线可连半径 题型五：有切点可连半径证切线 题型六：无切点可作垂直证切线 题型一：有弦可连半径 1．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为   A．5 B．4 C． D．3 3．如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，则的度数为（    ） A．24° B．29° C．48° D．58° 4．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ． 5．如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 6．如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 7．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 题型二：有弦可作弦心距 8．如图，的半径为2，弦，点在弦上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆的半径长为，和是圆的两条弦，，，是的中点，是的中点，那么线段的长度不可能为（    ） A． B． C． D． 10．如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移，如图2，边与圆的两个交点对应的长为，则可知井盖的半径是 ． 11．如图，正方形的边长为，若经过，两点的与直线相切，则的半径为 ． 12．的半径为是的两条弦，．求和之间的距离． 13．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 题型三：有直径可构造直角 14．如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．如图，为圆的直径，点，点是圆上的两个点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 16．如图，内接于，且，连接并延长交于点D，交于点E，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 17．如图，中，直径，，平分交圆于点，则（    ） A．5 B． C． D．4 18．如图，是的弦，半径于点C，为直径，，则线段的长为 ． 19．如图，是直径，是的弦，，求的度数． 20．如图，中，是直径，弧弧弧，，，求． 题型四：有切线可连半径 21．如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 23．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 25．如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为 ． 26．如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ． 27．如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 28．如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 题型五：有切点可连半径证垂直 29．如图，在中，，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 30．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 31．如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 32．如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 33．如图在中，为直径，为的弦，与的延长线交于点C，且，于E．求证：是的切线． 34．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 35．如图是的直径，是上异侧的两点，点在的延长线上，，是的切线，，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 题型六：无切点可作垂直证半径 36．如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，为半径． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 37．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； 38．如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 39．如图，O为正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点M． (1)求证：与相切； (2)若的半径为1，求正方形的边长． 40．如图，平分，D是上任意一点，和相切于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求的长． 41．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆中常见的辅助线 题型一：有弦可连半径 题型二：有弦可作弦心距 题型三：有直径可构造直角 题型四：有切线可连半径 题型五：有切点可连半径证切线 题型六：无切点可作垂直证切线 题型一：有弦可连半径 1．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点B是的中点， ， ， 点是点B关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：B． 2．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为   A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ， ，， 点是弧的中点， ， ， ， ，设， 在中，则有， 解得， ， 故选：C． 3．如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，则的度数为（    ） A．24° B．29° C．48° D．58° 【答案】A 【详解】解：如图，连接、， 是的直径， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接, 是的外接圆，圆心在这个三角形的高上， ,, 在中，， 设的半径为，则，， 在中，, ， 解得， 故答案为：． 5．如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． 6．如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 的度数为， ， ， ， ， ． 7．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 题型二：有弦可作弦心距 8．如图，的半径为2，弦，点在弦上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作于点，如图所示： 则， ∵，， ∴，， 又∵的半径为2，即， ∴， ∴． 故选：D． 9．已知圆的半径长为，和是圆的两条弦，，，是的中点，是的中点，那么线段的长度不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接、、、，如图所示： ∵的直径为10， ∴， ∵点E、F分别是弦、的中点，，， ∴，，，， ∴，， 当时，E、O、F三点共线， 当、位于O的同侧时，线段的长度最短， 当、位于O的两侧时，线段的长度最长， ∴线段的长度的取值范围是， 故选：D． 10．如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移，如图2，边与圆的两个交点对应的长为，则可知井盖的半径是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过圆心P作，交圆P于E，交于F， 则， 设圆P的半径为r ，则 在中，，即， 解得：， 则井盖的半径是， 故答案为： 11．如图，正方形的边长为，若经过，两点的与直线相切，则的半径为 ． 【答案】 【详解】解：设与直线相切于点，连接并且延长交于点，连接、， 四边形是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、切线的性质、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 12．的半径为是的两条弦，．求和之间的距离． 【答案】或 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，， 即和之间的距离为或． 13．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)半径为． 【详解】（1）证明：连接，． ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：过点O作于G，连接，． 可得四边形为矩形． ∴． 设半径为r，则， ∴， 在中，， ∴，即半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，恰当作辅助线是解题的关键． 题型三：有直径可构造直角 14．如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 15．如图，为圆的直径，点，点是圆上的两个点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 为圆的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故选：． 16．如图，内接于，且，连接并延长交于点D，交于点E，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接， 为的直径， ， ∵均为所对圆周角， ∴， ， 同理：， ， ， ， ， 故选：C． 17．如图，中，直径，，平分交圆于点，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【详解】如图，连接，过点D作的垂线，交延长线于E，则， 为的直径， ， 又，， ， 平分， ， 又在中，，， ， ， 又在中，，， ， 又，， ， ， ，， ， 由勾股定理得，， 即，解得， 故选：C． 18．如图，是的弦，半径于点C，为直径，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ，， ． 设的半径， ． 在中，由勾股定理得：， 解得：． ． ，， ． 是直径， ． 点分别是的中点， 是的中位线． ． 在中， ． 故答案为：． 19．如图，是直径，是的弦，，求的度数． 【答案】 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴. ∵与是所对的圆周角，， ∴， ∴. 20．如图，中，是直径，弧弧弧，，，求． 【答案】 【详解】解：∵弧弧弧，是直径， ∴弧，弧，弧所对的圆心角是60°， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 连接AE，则，， ∴， ∴，， ∴． 题型四：有切线可连半径 21．如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 22．）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 23．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】D 【详解】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 25．如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为： 26．如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：连接，如图， ∵与☉O相切于点A， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴．设，则， ∵， ∴， 解得，即的长为4． 27．如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 28．如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 题型五：有切点可连半径证垂直 29．如图，在中，，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 因为在中，， 所以为等腰三角形， 又， 所以， 又因为在中，， 所以为等腰三角形， 所以， 又， 所以， 即， 所以是的切线． （2）解：连接， 由（1）知， 所以， 又因为在中，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， 所以， 所以的半径为． 30．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的半径， ∴是半圆O的切线． （2）解：∵，， ∴，， ∵在中，，. ∴， ， 即， 解得． 32．如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 【答案】见详解 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径 ∴是的切线； 33．如图在中，为直径，为的弦，与的延长线交于点C，且，于E．求证：是的切线． 【答案】见解析 【详解】解：连接， ∵，O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 34．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设的半径为r，则，，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴的长为16． 【点睛】本题考查了等边对等角、角平分线、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识.熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．如图是的直径，是上异侧的两点，点在的延长线上，，是的切线，，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：是的切线 ， ， 为等边三角形 ， （2）证明：如图，连接， 是的直径， ，即 ， 由（1）知， 在和中 ， ， 是的半径， 是的切线． 题型六：无切点可作垂直证半径 36．如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，为半径． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)与相切 (2) 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 过点O作于E点，如图所示：   ∵与腰相切于点， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即是的半径， ∴与相切； （2）∵为等腰三角形，， ∴， ∵与腰相切于点， ∴， ∴． 37．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：如图，过点作于，则， ∵是的切线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，余角性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 38．如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 【答案】见解析 【详解】证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线． 39．如图，O为正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点M． (1)求证：与相切； (2)若的半径为1，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边为． 【详解】（1）证明：连接，过点O作，垂足为N，    ∵与相切于， ∴， ∵正方形中，平分， 又∵， ∴， ∴与相切； （2）解：设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴正方形的边为． 【点睛】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质及判定定理． 40．如图，平分，D是上任意一点，和相切于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，过点D作于点F，如图所示： ∵与相切于点E， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴与相切； （2）解：过E作于G，如图所示： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线． 41．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径是6． 【详解】（1）解：证明：过点作于点， 切于点A， ， 又平分， ， 为的半径， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：过点D作于点F， ，分别切于点A，B， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，，分别切于点A，B，E， ， ， 在中， ， ， ， 即的半径是6． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$