第12讲 一元一次方程的实际应用-2024-2025学年七年级数学上册（新北师大版）

一元一次方程的应用 教学目标 1.通过计算进一步思考量与量的关系,从中获得有用的信息； 2.学会通过分析图形和表格中的基本等量关系,并由此关系列方程解相关的题目； 3.学会设未知数利用方程思想解决相关问题。 教学重点 根据实际问题中等量关系列出一元一次方程,利用方程解决实际问题. 教学难点 在具体实例中准确地找出等量关系,设出适当的未知数,列方程进行求解. 典型例题 专题一 面积体积问题 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1)审—通过审题找出等量关系; (2)设—设出合理的未知数(直接或间接),注意单位名称; (3)列—依据找到的等量关系,列出方程; (4)解—求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解); (5)验—检验求出的值是否为方程的解,并检验是否符合实际问题; (6)答—注意单位名称. 相关公式： （r为圆的半径，d为圆的直径） 例1：（1）一块长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱，求这个圆柱的高？（计算结果保留） （2）某正方形的边长是8 cm，某长方形的宽为4 cm，且正方形与长方形的面积相等，求这个长方形的长？ 变式练习1：（1）把一个用铁丝围成的长方形改制成一个正方形，则这个正方形与原来的长方形比较( ) A．面积与周长都不变化 B．面积相等，但周长发生变化 C．周长相等，但面积发生变化 D．面积与周长都发生变化 （2）一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35 m的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5 m；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2 m．你认为谁的设计符合实际，按照他的设计，鸡场面积是多少？ （3）内径为120 mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300 mm，内高为32 mm的圆柱形玻璃杯容纳同样多的水，则内径为120 mm的玻璃杯的内高为多少？ （4）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接． ①若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ ②若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？ 专题二 销售打折问题 利润=售价-进价（成本） 售价=进价+利润 进价=售价-利润 标价=成本（1+n%） 利润率=利润/进价（成本）×100% 利润=进价×利润率 售价=标价×打折数 例2：（1）“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2080元．求该电器的成本价是多少？ （2） 某种商品的进价为800元，出售时的标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打几折？ 变式练习2：（1）某时装标价为650元，某女士以5折又少30元购得，店家净赚50元，那么此时装进价为多少元？ （2）一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价多少？ （3） 小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”小王报了数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买5斤就是按标价，还比你多花了3元呢！”小王购买豆角的数量是多少斤？ （4）某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同． 甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠． 乙家的规定如下表： 数量范围（千克） 不超过50的部分 50以上但不超过150的部分 150以上的部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 表格说明：批发价分段计算：如：某人批发200千克的苹果； 则总费用=50×8×95%+100×8×85%+50×8×75%． （1）如果他批发240千克苹果选择哪家批发更优惠； （2）设他批发x千克苹果（x＞100），当x取何值时选择两家批发所花费用一样多． 例3：（1）某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“六一儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为( ) A． B． C． D． （2）某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某同学第一次购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款_________元． 变式练习3：（1）试根据图中信息，解答下列问题： ①购买6根跳绳需_______元，购买12根跳绳需_______元； ②小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由． （2）某工厂出售一种产品，其成本价为每件28元，如果直接由厂家门市部出售，每件产品售价是35元，每月还要支付其他费用2100元；如果委托商店销售，那么出厂价为每件32元． ①求这两种销售方式下，每月销售多少件时，所得利润相等？ ②若每月销售量达1000件时，采用哪种销售方式获利较多？ （3）某超市为加快资金回笼，特推出如下优惠方案： (1)一次性购物不超过100元，不享受优惠； (2)一次性购物超过100元，但不超过300元，一律9折； (3)一次性购物超过300元，一律8折． 某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款多少元？ 例4：（1）已知小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？ （2） 文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付多少元？ （3）某超市为了促销，对A、B两种商品进行打折出售．打折前，购买5件A商品和2件B商品需要88元，购买7件A商品和3件B商品需要124元．促销期间，购买100件A商品和100件B商品仅需1500元． ①求打折前每件A商品和B商品的价格． ②若B商品所打折扣为7.5折，求促销期间每件A商品的价格． 专题三 数量分配问题 例4：（1）某服装厂有工人54人，每人每天可加工上衣8件或裤子10条，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？设x人做上衣，则做裤子的人数为__________人，根据题意，可列方程为___________________，解得x＝____． （2）王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲、乙两种药材各买多少千克？ 变式练习4：（1）练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x元，那么下列方程正确的是( ) A．5(x－2)＋3x＝14 B．5(x＋2)＋3x＝14 C．5x＋3(x＋2)＝14 D．5x＋3(x－2)＝14 （2）学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出，共购得8张甲票，4张乙票，总计用了112元，已知每张甲票比乙票贵2元．则甲票、乙票的票价分别是( ) A．甲票10元/张，乙票8元/张 B．甲票8元/张，乙票10元/张 C．甲票12元/张，乙票10元/张 D．甲票10元/张，乙票12元/张 （3）在加固某段河坝时，需要动用15台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土18 m3或运土12 m3，为了使挖出的土能及时运走，求挖土和运土机械各有多少台？ （4）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表，若商店计划销售完这批商品后能获利1100元(注：获利＝售价－进价)，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ 甲 乙 进价(元/件) 15 35 售价(元/件) 20 45 例5：（1）一项工程，甲单独完成要天，乙单独完成要天，现在甲乙合作完成，甲先单独做4天，剩下的由两人合作完成，求这样总共需要多少天完成这项工程？ （2） 某次数学初中联赛，共有道考题，做对一题得分，做错一题得分，若某同学完成了所有题目，共得了分，求他做错和做对的题目分别是多少？ 变式练习5：（1）受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有所上涨．张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元，其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ （2）班委会决定由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给某山区学校的同学，他们去商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元． ①若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？ ②若购买圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案． （3）班将举行演讲比赛，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境： 请根据上面的信息解决问题． ①试计算两种笔记本各买了多少本； ②请你解释：小明为什么不可能找回68元？ 专题四 行程问题 路程＝速度×时间 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 相遇问题（直线）：相遇路程÷速度和=相遇时间  相遇路程÷相遇时间= 速度和    相遇问题（环形）：甲的路程+乙的路程=总路程   甲的路程 +乙的路程=环形周长  流水行船问题： 顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间    逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间     顺水速度=船速＋水速    逆水速度＝船速－水速  静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2     水速=（顺水速度－逆水速度）÷2 例6：（1）A，B两站间的距离为670 km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55 km，慢车行驶1小时后，另一列快车从B站开往A站，每小时行驶85 km，设快车行驶了x小时后与慢车相遇，则可列方程为( ) A．55x＋85x＝670 B．55(x－1)＋85x＝670 C．55x＋85(x－1)＝670 D．55(x＋1)＋85x＝670 （3） 甲、乙两地相距，从甲站开出一列慢车，以的速度行驶，乙站开出一列快车，以的速度行驶，若两车出发时间相同，且同向而行（快车在后），求两车相遇的时间和相遇时到乙地的距离？ （3）某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动，以队伍长度为，队伍以4 km/h的速度行进，走完1 km时，队伍最前排的学生奉命回学校取一件东西，他以5 km/h的速度跑回学校，取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍，结果在距农场1.5 km的地方追上队伍，求学校到农场的距离？ （4）一只船航行于A，B两个码头之间，顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度为4千米/时，则两码头之间的距离为多少千米？ 变式练习6：（1）甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时后相遇，若甲比乙每小时多行2.5千米，则乙的速度为( ) A．12.5千米/时 B．15千米/时 C．17.5千米/时 D．20千米/时 （2）某船顺流航行的速度为20千米/时，逆流航行的速度为16千米/时，则水流速度为( ) A．2千米/时 B．4千米/时 C．18千米/时 D．36千米/时 （3）小张鹤小李骑自行车从地到地，若小张以的速度先出发后，小李再以的速度去追小张，求他们相遇的时间和相遇时小张的走的路程？ （4）在一段双轨铁道上，两列火车迎头驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为25米/秒．若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错开需要的时间为多少？ 例7：（1）某学生从家到学校，速度，回来时原路返回，每小时行驶的路程比去时少1千米，结果返回多花了，求从家到学校的路程和往返的总时间？ （2）如图所示是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：km）．一学生从A处出发，以2km/h的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5h． ①当他沿着路线A﹣D﹣C﹣E﹣A游览回到A处时，共用了3h，求CE的长； ②若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其他因素）． 变式练习7：（1）甲从A地以的速度向B地行驶，40分钟后，乙从A地以的速度追甲，结果乙在离B地还有的地方追上了甲，则A，B两地的距离是多少千米？ （2）某风景区的旅游路线示意图如图，B，D，C，E为风景点，F为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米），一位同学从A处出发，以2千米/时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5时． ①当他沿着路线A⇒D⇒C⇒F⇒E⇒A游览回到A处时，共用了3.5时，求路程CF的长； ②若此同学打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，游览完B，C，E中的任意三个景点后，仍返回A处，使时间小于3.5时，请你为他设计一条步行路线．并说明这样设计的理由．（不考虑其他因素） 专题五：利率问题 例8：某公司规定业务员的工资包括基本工资和业务工资两个部分，其中基本工资为元/月，业务工资是按业务员当月的业务总额的千分之五来计算的．又根据国家税务法规定，每月个人所得超过元的部分为应纳税所得额，需缴纳一定的个人所得税．上缴个人所得税是按下表累加计算的． 应纳税所得额 税率 不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超过4500元至9000元的部分 20% ..... ... （1）业务员甲为测算自己的业务工资，自己记录了2011年11月份连续五天的业务情况，以2500元为标准．超过的记正数，不足的记负数，记录如下：800.500．﹣200.1200.200；帮助业务员甲测算出这个月的工资（按1个月25个工作日计算）． （2）公司业务员乙到银行取工资时发现他2011年11月份的工资比测算的工资少了95元，他先愣了一下，又知道是由于上缴了个人所得税的原因．聪明的同学，你能求出业务员乙2011年11月份的工资吗？ （3）为年终促销，公司经理出台一奖励办法，办法规定：12月份起，若12月份业务总额不超过6万元的按原来规定计算当月业务工资，若月总额超过6万元但不超过10万元，则超过6万元的部分另加千分之二来计算当月业务工资，若月业务总额超过10万元，则其中的10万元按上面的两个规定，超过10万元的部分另加千分之五来计算当月的业务工资．出台了这一奖励办法之后，12月份营业员丙上缴个人所得税143元，那么他这个月的业务总额为多少万元？ 变式练习7：某商场规定营业员的工资包括基本工资和营业工资两个部分，其中基本工资为500元/月，销售工资是按营业员当月的营业总额的千分之五来计算的．营业员甲为测算自己的营业工资，自己记录了11月份连续七天的营业情况，以2000元为标准，超过的记正数，不足的记负数，记录如下：400、300、﹣100、200、﹣300、500、﹣300；又根据国家税法规定，每月个人所得超过800元的部分为应纳税所得额，需缴纳一定的个人所得税．上缴个人所得税是按下表累加计算的． 应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 8% 超过2000元至5000元的部分 10% … … （1）请你帮助营业员甲测算出11月份的工资； （2）该商场营业员乙到银行取工资时发现他10月份的工资比测算的工资少了89元，他先愣了一下，又知道是由于上缴了个人所得税，聪明的同学们，你能求出营业员乙10月份的工资吗？ （3）该商场经理出台一奖励办法，办法规定：若月营业总额不超过6万元的按原来规定计算当月营业工资，若月营业总额超过6万元但不超过10万元，则超过6万元的部分另加千分之二来计算当月营业工资，若月营业总额超过10万元，则其中的10万元按上面的两个规定，超过10万元的部分另加千分之五来计算当月的营业工资，出台了这一奖励办法之后的某个月营业员丙上缴个人所得税51.4元，那么他这个月的营业总额为　 　万元．（不须写出求解的过程）． 课后作业 1. 一个长方形的养鸡场的长边靠墙,墙长14米,其他三边用竹篱笆围成,现有长为35米的竹篱笆,小王打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多5米,小赵也打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多2米,你认为谁的设计符合实际?按照他的设计,鸡场的面积是多少? 2. 据市场调查,个体服装商店做生意,只要销售价高出进货价的20%便可盈利;假如你准备买一件标价为200元的服装. (1)个体服装商店若以高出进价的50%要价,你应怎样还价? (2)个体服装商店若以高出进价的100%要价,你应怎样还价? (3)个体服装商店若以高出进价的50%~100%要价,你应在什么范围内还价? 3. 在全国足球甲A联赛的前11轮比赛中,某队保持连续不败(不败含取胜和打平),共积23分,按比赛规则,胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,该队在这11场比赛中共胜了多少场? 4. 育红学校七年级学生步行到郊外旅行.七(1)班的学生组成前队,步行速度为4 km/h,七(2)班学生组成后队,速度为6 km/h.前队出发1 h后,后队才出发,同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络,他骑车的速度为12 km/h. （1）后队追上前队用了多长时间? （2）联络员第一次追上前队时用了多长时间? （3）后队追上前队时联络员行了多少千米? （4）当后队追上前队时,他们已经行进了多少千米? （5）联络员在前队出发多长时间后第一次追上前队? 5. 甲、乙两人从A,B两地同时出发,甲骑自行车,乙骑摩托车,沿同一条路线相向匀速行驶.出发后3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米,相遇后经1小时乙到达A地.则甲、乙行驶的速度分别是多少? 6. 甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米． (1)两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒，问两车的速度各是多少？ (2)若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车到完全超过乙车，需要多少秒？ 7. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.请问小华家离学校多远？ 8. 有一旅客携带了30㎏行李从南京禄口国际机场去天津．按民航规定，旅客最多可免费携带20㎏行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，求他的飞机票价格是多少元？ 9．某出租车公司有出租车100辆，平均每天每辆出租车消耗的汽油费为140元，为了充分利用当地的天然气资源，该公司决定安装改烧汽油为天然气的装置，公司第一次改装部分出租车后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的． （1）设第一次改装的出租车为x辆，试用含x的代数式表示改装后的车辆每天的燃料费． （2）若公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，问该公司两次共改装了多少辆出租车？ （3）若每辆车的改装费为8400元，公司全部车辆的改装费用向银行贷款，根据政策银行对公司实行分期还款形式，首次（第一年）还款14万元，从第二年起，以后每年应还款5万元与上一年剩余欠款的利息之和，已知剩余的贷款年利率为5%，问第几年公司需还款7万元？ 10.某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案．方案规定：每位销售人员的工资总额=基本工资+奖励工资．每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表1所示． （1）已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问销售员甲本月的销售额为多少元？ （2）依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法规定，全月工资总额不超过800元不要缴纳个人所得税；超过800元的部分为“全月应纳税所得额”．表2是缴纳个人所得税税率表，若销售员乙本月共销售A、B两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A型彩电的销售价为每台1000元，B型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A型彩电多少台？ 11.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 运途费 单价 1.8元每公里 0.3元每分钟 0.8元每公里 注：车费由里程费、时长费、运途费三部分组成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． （1）小敏乘坐滴滴快车，行车里程5公里，行车时间20分钟，写小敏下车时付多少车费？ （2）小红乘坐滴滴快车，行车里程10公里，下车时所付车费29.4元，则这辆滴滴快车的行车时间为多少分钟？ ( 8 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$