第9讲 多边形与圆的概念和基本运算-2024-2025学年七年级数学上册（新北师大版）

多边形与圆的认识及基础计算 教学目标：1.掌握多边形的基本概念，能正确求解多边形的对角线条数以及多边形可被对角线分为三角形的个数。 2.掌握圆的基本概念，能正确求解圆的扇形面积、弧长和圆心角的度数。 教学重点：计算部分的原理。 教学难点：计算题结合找规律的题型。 考点一：多边形的概念 相关知识： （1） 多边形的概念：在平面内，由一些线段 相接组成的图形叫做多边形． （2）正多边形的概念：各个角都 ，各条边都 的多边形叫做正多边形． （3）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线而整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°。通常所说的多边形指 多边形． 例1：把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 变式练习1：对正方形剪一刀能得到　 　边形． 例2：如图，不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 变式练习2：下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 考点二：多边形的有关计算 相关知识： （1）多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2） n边形从一个顶点出发可引出 条对角线．从n个顶点出发引 出 条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为： 。 例3：如图所示，以多边形底边的中点为一个端点，可将多边形分割成三角形，图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出　 　个三角形． 变式练习3：从一个十二边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各点，可以把这个多边形分割成　 　个三角形． 例4：从七边形的一个顶点出发有　 　条对角线，七边形共有　 　条对角线． 变式练习4：一个n边形过一个顶点有5条对角线，则n=　 　． 例5：已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 变式练习5：一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和． （1）写出表示第四条边长的式子； （2）当a=7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？ 例6：（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形。若多边形是一个五边形，则可以分 成　 　三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成　 　三角形，……，则n边形可以分割成　 　个三角形． （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2018个三角形，那么此多边形的边数为　 　 （3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各定点连接起来，则可将n边形分割成　 　三角形． 变式练习6：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题： ①如图2，多边形A1A2A3A4A5…An．中，过顶点A1可以画　 　条对角线，过顶点A2可以画　 　条对角线，过顶点A3可以画　 　条对角线（用含n的代数式表示） ②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？　 　 ③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？　 　（用含n的代数式表示） 考点三：圆的概念 相关知识： 1、圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 ．固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ． 以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到 O的距离等于 r的点的集合． 2、与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫 ，经过圆心的弦叫 ，圆上任意两点间的部分叫 ，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 例7：以下说法正确的个数有（　　） ①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式练习7：下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧 例8：如图，若点O为⊙O的圆心，则线段　 　是圆O的半径；线段　 　是圆O的弦，其中最长的弦是　 　；　 　是劣弧；　 　是半圆． 例8图 变式练习8图 变式练习8：如图，在⊙O中，弦的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 考点四：圆的有关计算 相关知识： 1、 弧长公式： 2、 扇形面积公式： （注意：以上公式来自圆的周长及面积公式，其中n表示扇形所对圆心角的度数） 例9：如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，则∠A的度数是　 　． 例9图 变式练习9图 变式练习9：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为　 　°． 例10：如图，则△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则弧AD的长为 。（结果保留） 例10图 变式练习10图 变式练习10：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于 。（结果保留） 例11：如图，圆O的直径为10cm，两条直径AB，CD相交成90°角，∠AOE=50°，OF是∠BOE的平分线． （1）求圆心角∠COF的度数； （2）求扇形COF的面积． 变式练习11：将一个圆分割成甲、乙、丙、丁四个扇形，使它们的圆心角的度数比为1：2：3：4，分别求出这四个扇形的圆心角的度数． 课后作业 1． 选择题 1．如果从多边形的一个顶点可以画出a条对角线，那么这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为（　　） A．a B．a﹣3 C．a﹣2 D．a+1 2．从n边形的一个顶点出发可以连接2018条对角线，则n=（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 3．若圆的半径为R，圆的面积为S，则S与R之间的关系式为（　　） A．S=2πR B．S=πR2 C．S=4πR2 D．S= 二．填空题 4．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是　 　度． 5．已知⊙O的弦AB把圆分成两部分的比为1：5，若AB=3cm，则⊙O的半径等于　 　cm． 6．如图，扇形OMN的半径为3，弧MN＝6，则扇形的面积 。 7．扇形的弧长为20cm，面积为240cm2，那么扇形的半径是 。 8．如图，在⊙O中，∠AOB=50°，=，则∠COD=　 　． 9． 在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6cm，则扇形OAB的面积 是　 　cm2． 10．《西游记》“三打白骨精”中，唐僧冤枉了孙悟空，念起了紧箍咒，疼的孙悟空抱头打滚．假如唐僧念的咒语使悟空头上的紧箍咒缩了1cm，假设紧箍咒是圆形，那么紧箍咒的半径缩短了　 　cm．（结果保留π） 三．解答题 11．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OB，求∠A的度数． 12．如图所示，有一个直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个半径为且圆心角是120°的扇形ABC．求被剪掉后剩余阴影部分的面积． 13．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ① 　 　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　 　 （1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①　 　；②　 　； （2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ （3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$