第8讲 角相关知识-2024-2025学年七年级数学上册（新北师大版）

角的概念、表示方法及其计算 教学目标 1.了解角的概念、表示方法及画法； 2.掌握角的相关计算； 3.学会设未知数利用方程思想解决角的相关计算； 4.体会分类讨论和数形结合思想。 教学重点 角的计算、角的概念的理解运用 教学难点 钟面角、方向角的计算 典型例题 专题一 角的相关概念、尺规作图 角的概念 1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 2.角通常有四种表示方法： （1）角可以用三个字母及符号“∠”表示，其中表示顶点的字母写在中间。 （2）角可以用一个数字和符号“∠”表示。 （3）角可以用希腊字母（α、β、γ）和符号“∠”表示。 （4）如果一个角的顶点上只有一个角，那么也可以用这个顶点字母和符号“∠”表示。 3.角的分类： 注意：当一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条______时，所成的角叫______.没有特别指明时，所指的角都是小于平角的角。 例1、下列语句正确的是（　　） A．一条直线可以看成一个平角 B．周角是一条射线 C．角是由一条射线旋转而成的 D．角是由公共端点的两条射线组成的图形 变式练习1：（1）如图所示，下列表示角的方法错误的是（　　） A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠β表示的是∠BOC C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠AOC也可用∠O来表示 2．下面表示∠ABC的图是（　　） A． B． C． D． 例2：下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 变式练习2：（1）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　） A．以点F为圆心，OE长为半径画弧 B．以点F为圆心，EF长为半径画弧 C．以点E为圆心，OE长为半径画弧 D．以点E为圆心，EF长为半径画弧 例3：如图AOE是直线，图中小于平角的角共有（ ） A．7个 B．9个 C．8个 D．10个 变式练习3：（1）下列语句正确的是（ ） A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角 B．两条直线相交组成的图形叫做角 C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角 D．两条线段相交组成的图形叫做角 （2）关于平角和周角的说法正确的是（ ） A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 C．反向延长射线OA，就是成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角 （3）在下图中一共有几个角？它们应如何表示． 例4：若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝ ． 变式练习4：（1）如图所示，那么∠2与（∠1－∠2）之间的关系是（ ） A． 互补 B．互余 C．和为45° D．和为22.5° （2）55°角的余角是（ ） A．55° B．45° C．35° D．125° （3）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中： ①90°－∠β；②∠α－90°；③（∠α＋∠β）④（∠α－∠β）（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点二、与角相关的简单计算 相关知识点 1. 比较两个角的大小的方法有_______和_________。 2. 角平分线的定义：从一个角的顶点一出的一条_______，把这个角分成两个_________，这条射线叫做这个角的____________。 3. 角的度数与换算：在测量角时，有时以度为单位还不够，我们需要用比1°更小的单位，称之为分和秒，把1°的角等分成60份，每一份是1分，记做1'，把1分的角再等分成60份，每份就是1秒，记做1"，即1周角=360°；. 4. 秒针每秒转动的角度为______度,分针每分钟转动的角度为_______度，时针每分钟转动的角度为______度，每小时转动的角度为______度 例5：（方位角问题）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是　 　； （2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 变式练习5：（1）林湾乡修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村水渠从C村沿什么方向修建，可以保持与AB的方向一致？ （2）如图，货轮D在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上．同时，在货轮D的北偏西30°、西北方向上又发现了客轮B和海岛C． ①仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线； ②在①的条件下填空：∠BOC=　 　，∠BOA=　 　；和∠AOF互余的角为　 　． 例6：（度秒分转换问题）(1)可化为（ ） A． B． C．〃 D． (2) 变式练习6：（1）把下列各角化成用度表示的角： ① ② ③ （2）① ② （3）计算： ① ② ③ ④ 例7：（1）已知在同一平面上，,求的度数。 （2）如图，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝　　　　　． （3）如图，O是直线 AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有 对． 变式练习7：1．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于（ ） A．20° B．40° C．50° D．80° 2．如图直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2等于（ ） A．50° B．60° C．140° D．160° 3．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（ ） A．45° B．60° C．75° D．80° 例8：（1）如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（ ） A．160° B．180° C．120° D．150° （2）观察常用时钟，回答下列问题： （1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？ （2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ （3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？ 变式练习8：（1）钟表上12时15分，时针与分针的夹角为（　　） A．90° B．82．5° C．67.5° D．60° （2） ①由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是 ． ②钟面上从2点到4点有几次时针与分针成60度的角？分别求出此时的时刻。那如果是90度，或者是120度呢。 （3）钟面上的角的运动规律，回答问题． ①3点45分，时针与分针的夹角是多少？ ②在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？ 例9：（1）已知过点O做射线,满足,求的度数。 （2）已知是直线上的一点，是直角，平分. ①如图1，若，求的度数。 ②如图1，若，求的度数。 ③如图2所示，将绕顶点顺时针旋转到如图位置。 1） 试探究之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。 2） 若内部有一条射线,满足：,试确定的数量关系，并说明理由。 变式练习9：（1）已知一条射线,若从点再引两条射线,使得 （2）已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置． ①如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是；如图2，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是． ②如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 例10：（1）已知点O是AB上的一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE． （1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时，若∠AOC=40°，求∠BOE和∠COF的度数，∠BOE和∠COF有什么数量关系？ （2）当点C，E，F在直线AB的异侧（如图2所示）时，若∠AOC=β，那么（1）中∠BOE和∠COF的数量关系的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由； （3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0＜m＜180），得到射线OD．设∠AOC=n°，若，则∠DOE的度数是多少？（请用含n的式子直接写出结果） （2）已知∠AOB=110°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD． （1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值； （2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 变式练习10：（1）已知：∠AOD=160°，OB、OM、ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON=　 　度． （2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB绕点O在∠AOC内旋转时，求∠MON的大小． （3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON=2：3，求t的值． （2）如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD． （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON=　 　°； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n=　 　时，∠MON=2∠BOC． 课后作业 1.时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题： （1）分针每分钟转了几度？ （2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？ （3）在（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？ 2.林湾乡修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村水渠从C村沿什么方向修建，可以保持与AB的方向一致？ 3. 小红是某中学的七年级学生，放学后从学校骑自行车回家，学校在她现在位置的北偏东30°方向，距离此处1.5km的地方，她的家在她现在的位置的南偏西45°的方向，距离此处2km，邮局在她现在的位置的北偏西60°的方向，距离此处3km．根据这些信息画一张表示各处位置的简图． 4.如图，货轮D在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上．同时，在货轮D的北偏西30°、西北方向上又发现了客轮B和海岛C． （1）仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线； （2）在（1）的条件下填空：∠BOC=　 　，∠BOA=　 　；和∠AOF互余的角为　 　． 5.计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 6.如图所示，A、O、B在一条直线上，∠AOC＝∠BOC＋30°，OE平分∠BOC，则∠BOE＝　　　　　． 7．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度数． 8．如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数． 9.同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识． ①如图1，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于　 　°； ②请在图2中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到8：20，时钟的分针转过的度数是　 　，时钟的时针转过的度数是　 　； ③“元旦”这一天，城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明． 10. 某人下午6点多钟外出时，发现手表上的分针、时针的夹角恰好是120度，下午7点前回家时，发现两针的夹角没有变化，请计算这个人的外出时间。 11. 如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转． （1）试说明：∠DPC=90°； （2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF． （3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 12.如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM=　 　度； （2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是　 　秒． ( 9 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$