第7讲 相似三角形综合-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

相似三角形综合 教学目标：1.掌握相似三角形的几种基本模型，几种转化技巧 2.了解相似三角形中有关线段关系的几个结论 教学重点：相似三角形的性质定理、判定定理的综合运用 教学难点：相似三角形的动点问题 专题一、相似三角形的几种基本图形： ⑦ 例1、 （A型） 1、已知三角形ABC，AD为BC边中线，P为BC上一动点，过点P作AD的平行线，交直线AB或延长线于点Q，交CA或延长线于点R． （1）当点P在BD上运动时，过点Q作BC的平行线交AD于E点，交AC于F点，求证：QE=EF； （2）当点P在BC上运动时，求证：PQ+PR为定值． 例2、 （反A型） 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且． （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若，求的值． 例3、 （子母型假射影） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E． 求证：BE2=DE•AE． 变式练习3.1、已知：在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连结AE分别交DC、DB于F、G．求证： （1）∠DAG=∠DCG； （2）AG2=GE•GF； （3）已知，，求该正方形的边长． 2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C． （1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B； （2）求证：AB2=AE•AC． 例4、 （X型） 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E． （1）求证：△ABD∽△CED． （2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长． 变式练习4.如图，G是正方形ABCD的边BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F，AE=5cm，EF=3cm，求FG等于多少？ 例5、 （反X型，四点共圆，左右相似，上下相似） 如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求证：AC=AD+CE； （2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q； （i）当点P与A、B两点不重合时，求的值； 变式练习5：1、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE． （1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE； （2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由． 2、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. ①ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由. ②ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由. 例6、 （双垂型射影定理） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于点D，过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于G,AE·AD=16，AB=4。 （1）求证：CE=EF；（2）求EG的长. 例7、 （一线三等角或K型） 如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由． 变式练习7．如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能达到点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E． （1）试说明：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，请建立y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （3）如果△ADE是等腰三角形时，你能否求出AE的长，如果能请把它求出来． 例8、 （共享型） ．如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，求y与x之间的函数关系式。 变式练习8．如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式； （2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由． 专题二、相似三角形的几种基本转化 例9、（等线段转化） 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE；过点E作EG⊥AD交AC于点G． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）求证：2AF2=AC•AG； 变式练习9.已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F． （1）求证：AD2=DE•DB； （2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE＜DE）的长是方程x2﹣3mx+2m2=0（m＞0）的两个根，且菱形ABCD的面积为，求EG的长． 例10、（等比转化） 如图，Rt△ABC中，°，于点D，的平分线AE交CD于点F，交CB于点E.求证：. 变式练习10：如图，已知DE为△ ABC中的外角平分线，BD、CE均为DE的垂线，求证：AF//EC. 例11、（等积转化） 如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上取一点P，连结AP，垂足为G，交CE于D，求证：. 变式练习11：1、如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证： 2、如图，已知CD是的高，，求证： 3、如图,在中,,,是上的点,于,的延长线交的延长线于。 求证:（1）∽； （2）； 专题三：动点问题 例12.如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A出发沿AB边想向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？ 变式练习12．1、如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式． （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 例13.如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长． 变式练习13、已知AB⊥BC，CE⊥BC，AB=3，CE=1，BC=8，请在BC上找一点P，使△ABP和△ECP相似。这样的P有多少个？请全部找出，并说明理由。 家庭作业 1、如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 ． 2、在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离 为 m． 3、在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它的面积比 . 4、（08南宁）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4， 那么AB= 。 5、(广东梅州) 如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点 C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB= 米． 6、(青海)如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ） A． B． C． D． 7、（临沂）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，。 （1）求证：△ABF∽△CEB； （2）若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。 ( 第 14 页 共 16 页 ) 努力拼搏，今朝汗洒书本；冲刺飞跃，明日笑映容颜。 学科网（北京）股份有限公司 $$