第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题中，假命题是（    ） A．矩形的对角线相等 B．有两个角相等的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AB的中点，点P在边BC上，且BP＝BM．将点M平移到点P，则平移的距离等于（  ） A．AB B．AB C．AC D．BD 3．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果AB＝4，∠AOB＝60°，那么AC的长等于（  ） A．16 B．8 C．16 D．8 4．如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，； 第三步：连接分别交，于点，点，连接，． 由上述作图过程可知，的值等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，D为的中点，，垂足为E．若，则的长度是（    ） A．10 B． C．8 D． 6．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴、y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若点，点，则点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（    ） A．2 B．4 C．4 D．6 8．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则的长度是（　　） A． B．2 C．8 D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知：一菱形的面积为，一条对角线长为，则该菱形的另一条对角线长为 ． 10．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ． 11．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为 ． 12．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 ． 13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延长交AD边于点N．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，有两根直立在水平地面上的电线杆，．工人计划在A，D之间架设一根电线，若米，米，米，则所需电线的长度至少为多少米？ 15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级的诚诚和同学们学习了“勾股定理”之后，想学以致用，求得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①牵线放风筝的诚诚的手握线的高度为；②根据手中剩余线的长度推算出风筝线的长为；③测得水平距离为，求风筝的垂直高度 ． 16．如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的点F处． (1)求的长； (2)求的长． 17．问题探究    (1)如图①，在四边形中，，，，，则的面积________． (2)如图②，在中，点A是平面内一动点，且始终满足，，求的最小值． (3)如图③，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：，，，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由 18．在长方形中，，，点P在线段上运动，将线段绕点B顺时针旋转至，连接，． (1)如图1，当E点落在边上时，求的长度； (2)如图2，在运动过程中，当线段最短时，求的度数； (3)连接 ，当为等腰三角形时，直按写出的长度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ． 20．如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接，若，则的度数为 ．    21．如图，四边形是正方形，顶点在直线：上将正方形OABC沿轴正方向平移个单位长度，若正方形在x轴上方的其他任一顶点恰好落在直线上，则m的值为 ．    22．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为边BC上任意一点（不与点B、C重合），AE、BD交于点P，过点P且垂直于AE的一条直线MN分别交AB、CD于点M、N．连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．AD的中点为F，则P′F的最小值为 ． 23．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1）图形分析：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，则CD+DE＝　　． （2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AC＝4，∠CAB＝90°，CD＝6，E为AD中点，求BE的最大值． （3）实际应用：某市“三河口”地区存在着丰富（足够开发利用）的湿地资源，河务部门准备设计筹建如图③所示的四边形ABCD湿地观光公园，拟设计CD＝8公里，AB＝BC，且∠CBA＝90°，BCAD，据实际情况，∠ADC＜90°，观光入口确定在边CD的中点E处，BE建为绿色观光道路，建设观光道路每公里花费1.5万元．为满足游客的观光体验，河务部门设想让绿色观光道路取得最长，但筹措到的建设资金只有15万元，在满足上述设计条件下，河务部门是否可实现自己的设想？请通过计算说明理由． 25．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，． (1)如图1，点为线段上一点，若，求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，是直线上的两个动点且，是轴上任意一点，连接，求的最小值； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，为直线上一动点，是平面内任意一点，当四点构成的四边形是以为边的菱形时，请直接写出点的坐标． 26．【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空： 将绕点顺时针旋转得，连接，，则 ，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为 ． 【变式拓展】 请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题： （2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足． ①如图2，若，，求的度数． ②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题中，假命题是（    ） A．矩形的对角线相等 B．有两个角相等的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 【答案】B 【分析】分别根据矩形的性质、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，故为真命题，不合题意； B、有两个角相等的梯形有可能是直角梯形，故为假命题，符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故为真命题，不合题意； D、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，故为真命题，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知矩形的性质、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性质是解答此题的关键． 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AB的中点，点P在边BC上，且BP＝BM．将点M平移到点P，则平移的距离等于（  ） A．AB B．AB C．AC D．BD 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，中位线的性质即可判断； 【详解】解:在菱形ABCD，AB=BC ∵M是边AB的中点，BP＝BM,连接PM ∴PM是中位线 ∴PM=AC 故选：C 【点睛】本题主要考查菱形的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 3．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果AB＝4，∠AOB＝60°，那么AC的长等于（  ） A．16 B．8 C．16 D．8 【答案】D 【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明是等边三角形，得出OA=AB=4，即可得出AC的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA= AC，OB=BD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=2OA=8． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 4．如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，； 第三步：连接分别交，于点，点，连接，． 由上述作图过程可知，的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识．由作图可知垂直平分线段，推出，设，则有，解方程可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由作图可知垂直平分线段， ， 设，则有，解得， ， ． 故选：B． 5．如图，中，D为的中点，，垂足为E．若，则的长度是（    ） A．10 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵BE⊥AC，D为AB中点， ∴AB=2DE=2×4=8， 在Rt△ABE中，BE=， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质与定理是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴、y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若点，点，则点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知 再利用折叠的性质得，由勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处． ∴， 由勾股定理得，，∴， 设，则， 在中，解得，∴，故选：A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键． 7．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（    ） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】D 【分析】连接OB，先证△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，得到OA=OB=OC ，求得∠ABO＝∠BAC=∠FBO＝∠FBC=30°，根据直角三角形的性质，得到BF=BE=4，从而得到AB=BE+AE=6． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AE=CF，BE=BF， ∴AE∥CF，∠ABC＝∠BCF＝90°， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，OA=OC， ∴OA=OB=OC ，BO⊥EF， ∴∠ABO＝∠BAC=∠FBO，设∠ABO=x°， ∵∠BEF＝2∠BAC，∴∠BEF＝2x， ∴2x+x=90°，解得x=30°， ∴∠ABF=60°，∴∠FBC=30°， ∵CF=2，∴BF=BE=4， ∴AB=BE+AE=6， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 8．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则的长度是（　　） A． B．2 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质和，得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知：一菱形的面积为，一条对角线长为，则该菱形的另一条对角线长为 ． 【答案】2m 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该菱形的另一条对角线长为x，根据题意得： 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算公式，熟记计算公式是解决本题的关键． 10．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会利用转化的思想思考问题．根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积之和； 故答案为：8． 11．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为 ． 【答案】1.5 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5， 在Rt△AFB中，D是AB的中点，∴DF＝AB＝3.5，∴EF＝DE﹣DF＝1.5， 故答案为：1.5 【点睛】本题考查中位线的性质、线段的和与差等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 ． 【答案】（0，） 【详解】解：过D作DE⊥AC于E， ∵四边形ABCO是矩形，B（4，3）， ∴OC=AB=3，OA=BC=4，∠COA=90°， ∵AD平分∠OAC， ∴OD=DE， 由勾股定理得：OA2=AD2﹣OD2，AE2=AD2﹣DE2， ∴OA=AE=4， 由勾股定理得：AC=5， 在Rt△DEC中，DE2+EC2=CD2， 即OD2+（5﹣4）2=（3﹣OD）2， 解得：OD=， 所以D的坐标为（0，）． 考点：矩形的性质；坐标与图形性质． 13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延长交AD边于点N．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 ． 【答案】/ 【分析】过点N作交于点E，由矩形ABCD得，，根据ASA可证，故可得，由直角三角形角所对的边为斜边的一半得出，根据勾股定理求出，从而得出，由矩形的面积公式即可得出答案． 【详解】 如图，过点N作交于点E， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，有两根直立在水平地面上的电线杆，．工人计划在A，D之间架设一根电线，若米，米，米，则所需电线的长度至少为多少米？ 【答案】25米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 过点A作，垂足为点E，先证明四边形为矩形，在求出和的长，最后根据勾股定理求出电线的长度． 【详解】 解：过点A作，垂足为点E， ， ，， ， 四边形为矩形， 米，米， 米， 米， 在中 米， 答：所需电线的长度至少为25米． 15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级的诚诚和同学们学习了“勾股定理”之后，想学以致用，求得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①牵线放风筝的诚诚的手握线的高度为；②根据手中剩余线的长度推算出风筝线的长为；③测得水平距离为，求风筝的垂直高度 ． 【答案】风箏的垂直高度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：根据题意得，，与地面垂直， 四边形为矩形， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ． 答：风箏的垂直高度为． 16．如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的点F处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)1；(2) 【分析】（1）由折叠的性质可得，由勾股定理可求的长，则可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，列出方程可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵是由沿翻折得到的， ∴， 又∵， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）设， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵是由沿翻折得到的， ∴， 由（1）知：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：x， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解题关键． 17．问题探究    (1)如图①，在四边形中，，，，，则的面积________． (2)如图②，在中，点A是平面内一动点，且始终满足，，求的最小值． (3)如图③，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：，，，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（1）根据两个三角形同底等高求出的面积即可； （2）过点作，作点关于的对称点，连接交于点，最小，再利用勾股定理求出最小值； （3）连接，，取的中点，连接，，作，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则此时的值最小，且折线、把四边形的面积分成相等的两部分，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴点和点到的距离相等， ∴， 故答案为：； （2）过点作，作点关于的对称点，连接交于点，如下图：    ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为； （3）连接，，取的中点，连接，，作，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如下图：    则此时的值最小，且折线、把四边形的面积分成相等的两部分， 理由：∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，，，， 设直线的解析式为，代入，可得 ，解得 ∴直线的解析式为：， ∵ 设直线：，将点代入得： 解得： ∴的解析式为： ∵关于直线对称，设 ∴，且的中点在直线上， 则，解得或（舍去） ∴ 设直线的解析式为，将，代入可得： 解得 则直线的解析式为： 由，解得∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了轴对称最短问题，平行线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 18．在长方形中，，，点P在线段上运动，将线段绕点B顺时针旋转至，连接，． (1)如图1，当E点落在边上时，求的长度； (2)如图2，在运动过程中，当线段最短时，求的度数； (3)连接 ，当为等腰三角形时，直按写出的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据四边形是长方形，，得，，根据将线段绕点B顺时针旋转至得，，则，设，则，在中，关根据勾股定理得计算得，则，，即可得； （2）以为边在直线的右侧作等边三角形，连接交于点G，则，根据，得是等边三角形，即可得，根据角之间的关系得，利用证明，则，，当点E在经过点F且与垂直的直线上运动，当时，线段最短，根据得，根据得，则，即，，，根据，，得，则，，则，即可得； （3）分情况讨论，当点P与点A重合，作于点H，则，根据，得，利用证明，则，时等腰三角形，根据得，根据勾股定理得，则，即可得，当是等腰三角形，且，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∵将线段绕点B顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴设，则， 在中，关根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，以为边在直线的右侧作等边三角形，连接交于点G， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E在经过点F且与垂直的直线上运动，当时，线段最短， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）的长度为或，理由如下： 解：如图所示，点P与点A重合，作于点H， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，是等腰三角形，且， ∴， 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，掌握这些知识点，添加辅助线是解题的关键，此题难度较大． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/80度 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，由菱形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可求，进而求得的度数．掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 由菱形的性质可知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，当为锐角时，设，则，利用直角三角形两个锐角互余即可求解；当为钝角时，证明，推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分两种情况： （1）如图，当为锐角时，   矩形中，， ， 设，则， ， ， ，即， ， ，即； （2）如图，当为钝角时，   ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又矩形中，， ， 是等边三角形， ， ， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 21．如图，四边形是正方形，顶点在直线：上将正方形OABC沿轴正方向平移个单位长度，若正方形在x轴上方的其他任一顶点恰好落在直线上，则m的值为 ．    【答案】或 【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，通过证明，，得出点C和点B的坐标，再求出直线的解析式为，设点C平移后的点为，点B平移后的点为，根据平移的性质可知，点C和点纵坐标相等，点B和点纵坐标相等，求出点和的坐标，即可解答． 【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，    ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C平移后的点为，点B平移后的点为， ①当在l上时，， 解得：， ∴， ∴， ②当在l上时，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤． 22．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为边BC上任意一点（不与点B、C重合），AE、BD交于点P，过点P且垂直于AE的一条直线MN分别交AB、CD于点M、N．连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．AD的中点为F，则P′F的最小值为 ． 【答案】 【分析】判断△ADG是等腰三角形，点在等腰直角三角形ADG的边GD上，当时，的值最小，求解即可． 【详解】解：如图，若点E点B重合，则点P与B点重合，MN与BC重合，△ABC沿AC折叠，则点与点D重合， 若点E点C重合，则点P为正方形对角线交点，△ADP为等腰直角三角形，沿AD折叠，点落在点G处，则△ADG是等腰直角三角形， 则点P'在DG上运动， ∵AD=2，点F是AD的中点， ∴ 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时是等腰直角三角形， ∴； 故答案为： 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用“垂线段最短”是解答此题的关键． 23．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 【答案】（15+10）/（） 【分析】将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FM、FF'，如图2，此时EH、EF、FM共线，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论． 【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'， 由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH， ∴△AEG和△ABH是等边三角形， ∴AE=EG， 同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M， ∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2， ∵AH=BH，DM=CM， ∴HM是AB和CD的垂直平分线， ∴HM⊥AB，HM⊥CD， ∵AB=10， ∴△ABH的高为5， ∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10， 则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里． 故答案为：（15+10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和F的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1）图形分析：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，则CD+DE＝　　． （2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AC＝4，∠CAB＝90°，CD＝6，E为AD中点，求BE的最大值． （3）实际应用：某市“三河口”地区存在着丰富（足够开发利用）的湿地资源，河务部门准备设计筹建如图③所示的四边形ABCD湿地观光公园，拟设计CD＝8公里，AB＝BC，且∠CBA＝90°，BCAD，据实际情况，∠ADC＜90°，观光入口确定在边CD的中点E处，BE建为绿色观光道路，建设观光道路每公里花费1.5万元．为满足游客的观光体验，河务部门设想让绿色观光道路取得最长，但筹措到的建设资金只有15万元，在满足上述设计条件下，河务部门是否可实现自己的设想？请通过计算说明理由． 【答案】（1）6；（2）3＋2；（3）河务部门可实现自己的设想，理由见解析． 【分析】（1）由三角形中位线定理和直角三角形的性质可求CD＝4，DE＝2，即可求解； （2）由勾股定理可求BH的长，由三角形中位线定理可求EH的长，当点E，点H，点B三点共线时，BE有最大值，即可求解． （3）先证四边形ABCM是正方形，可得AB＝BC＝CM＝AM，∠BCM＝90°，由“ASA”可证△BCN≌△MCD，可得CN＝CD，可求BE的最大值，即可求解． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝8， ∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴CD＝AB＝4，DE＝BC＝2， ∴CD＋DE＝6， 故答案为：6； （2）如图，取AC的中点H，连接EH，BH， ∵点H是AC的中点， ∴AH＝2， ∴， ∵点H是AC的中点，点E是AD的中点， ∴EH＝CD＝3， ∴当点E，点H，点B三点共线时，BE有最大值为3＋2； （3）河务部门可实现自己的设想，理由如下： 如图，过点C作CM⊥AD于M，CN⊥CD交AB于N，取CN的中点P，连接BP，PE，DN， ∵BCAD，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵CM⊥AD， ∴∠ABC＝∠BAD＝∠CMA＝90°， ∴四边形ABCM是矩形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCM是正方形， ∴AB＝BC＝CM＝AM，∠BCM＝90°， ∵CN⊥CD，∴∠NCD＝90°＝∠BCM， ∴∠BCN＝∠DCM， 又∵∠ABC＝∠CMD＝90°， ∴△BCN≌△MCD（ASA），∴CN＝CD＝8（公里）， 又∵∠NCD＝90°， ∴DN＝（公里）， ∵点P是CN的中点，点E是CD的中点，∠ABC＝90°， ∴PE＝DN＝4（公里），BP＝CN＝4（公里）， ∴当点P，点B，点E三点共线时，BE有最大值为（4＋4）公里， ∵1.5×（4＋4）＜15， ∴河务部门可实现自己的设想． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，． (1)如图1，点为线段上一点，若，求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，是直线上的两个动点且，是轴上任意一点，连接，求的最小值； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，为直线上一动点，是平面内任意一点，当四点构成的四边形是以为边的菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）作于，由求得，从而得出，进一步得出结果； （2）作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于，则最小，最小为：，利用直角三角形的性质和勾股定理，进一步得出结果； （3）由（2）得：，，从而得出，，根据勾股定理求得，进而得出坐标，进而得出点坐标，同样另外两点． 【详解】（1）解：如图1， 作于， 由得， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于， 则最小，最小为：， ，， ， ，，， ， ，，， ∴， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图3， ，， ∴， 由勾股定理得， 由（2）得：，， ，， 、、、四点构成的四边形是以为边的菱形， ， ，， ，，，， ，， ，，，， ∴点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 26．【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空： 将绕点顺时针旋转得，连接，，则 ，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为 ． 【变式拓展】 请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题： （2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足． ①如图2，若，，求的度数． ②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由 【答案】（1）；；（2）①，②周长是定值， 【分析】（1）根据旋转的性质，则，；根据勾股定理求出，，再根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）把绕点旋转得，根据旋转的性质，等腰三角形的判定，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理，则是直角三角形，即可；延长到点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，等量代换，即可． 【详解】（1）∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）①把绕点旋转得， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 周长是定值，理由如下： 延长到点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，勾股定理，旋转的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$