第11章 三角形 章节综合复习-【数学一起课件】初中数学八年级上册同步PPT课件（人教版）

八年级上 数学 人教版 第 11 章 授课人：一起课件 三角形章节 综合复习 学习目标 理解三角形的定义与分类 01 02 加深三角形中的三条重要线段的理解和运用，熟练三角形 的三边及周长与面积的灵活计算 掌握三角形稳定性在生活中的应用 03 加深多边形的内角和与外角和定理的理解和应用 04 掌握多边形的综合应用 05 知识框架 与三角形有关的角 三角形的概念 三角形的三边关系 三角形的三条重要线段 三角形内角和为180° 两边之差<第三边<两边之和 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形 三角形的内角 三角形的外角 与三角形有关的线段 高线 中线 角平分线 3 知识框架 多边形的内角和与外角和 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （-2）×180°(>2，且n为整数) 360° 多边形的相关概念 多边形的内角和 多边形的外角和 正多边形与平面镶嵌 三角形 4 知识梳理 1、三角形概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 5 知识梳理 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 2、三角形的分类： （1）三角形按边分类 注：不能将等边三角形算作是单独的一类，它是特殊的等腰三角形 （2）三角形按角分类： 三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 6 知识梳理 （1）三角形的任意两边之和大于第三边； （2）三角形的任意两边之差小于第三边. 3、三角形的三边关系 7 知识梳理 （1）三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高. 5、三角形具有稳定性 锐角三角形的三条高线交在三角形内部 直角三角形三条高线交点在直角三角形的直角顶点 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部 高线的交点叫做三角形的垂心. （2）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线. 4、三角形的三条重要线段：高、中线和角平分线 8 知识梳理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形两边的夹角。每个三角形的三个内角，且每个内角均大于0° 且小于180°； （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°. 6、三角形内角和定理 三角形的内角和定理的证明方法不唯一，但其思路都是将三角形的三个内角移到一起，组成一个平角，在转化中借助平行线. 知识梳理 （1）定义：三角形一边与令一边的延长线组成的角叫做三角形的外角； （2）性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°. 7、三角形的外角 （1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形； （2）正多边形的概念：各个角相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 8、多边形 ①多边形可分为凸多边形和凹多边形； ②在没有特殊说明的情况下，所说的多边形都是凸多边形 10 知识梳理 （1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线; （2）n边形从一个顶点出发，可以画（𝑛−3）条对角线，n边形一共条对角线. 9、多边形的对角线 （1）多边形内角和定理：（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）； （2）多边形的外角和等于360°. 10、多边形的内角与外角 11 知识梳理 （1）定义：用形状、大小完全相同的一种平面图形或不同的几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌. （2）单一正多边形镶嵌：正三角形、正方形、正六边形 注：正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°. 11、平面镶嵌 12 知识梳理 （3）两种正多边形的镶嵌： ①3个正三角形和2个正方形； ②4个正三角形和1个正六边形； ③2个正三角形和2个正六边形； ④1个正三角形和2个正十二边形； ⑤1个正方形和2个正八边形； 等等…… 1、以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 14,4,9 D.7,2,4 习题演练 答案：B 回忆：三角形三边应该满足什么关系？ 2、在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°，则另一个锐角的度数是（ ） A. 115° B. 125° C. 25° D. 35° 习题演练 答案：C 回忆：直角三角形的两个锐角满足什么关系？ 【解析】∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°， ∴另一个锐角的度数是90°-65°=25°. 15 3、如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ） A. 30° B. 75° C. 30°或75° D. 60° 习题演练 答案：C 回忆：等腰三角形有什么特点？ 【解析】①当150°外角是底角的外角时，底角为180°-150°=30°； ②当150°是顶角的外角时，顶角为180°-150°=30°，则底角为（180°-30°）÷2=75°. 综上所述，它的底角为30°或75°. 16 如图，在△ABC 中（），，BC边上的中线把△ABC 分成周长为30cm和22cm的两部分，则AB 的长为（ ） A. 11cm B. 14cm C. 16cm D. 19cm 习题演练 答案： 则 =CD =BD =11cm， ∴𝐴𝐵=30-11=19cm. 【解析】∵AD是BC 边上的中线， ∴BD=DC， ∵2AC=BC， ∴AC=CD. 由题意，得AC +CD=22cm， 回忆：中线有什么性质？ 17 如图，在△ABC 中，，P是BC边上的一点，PE ⊥AB，PF⊥AC，BD 是AC 边上的高，若PE =5cm，PF =3cm，则BD = . 习题演练 回忆：高线经常与三角形的什么相关？ 【解析】连接 ∵AB =AC， ∴S△ABC =S△ABP +S△ACP =AB ×PE+AC ×PF=AC ×BD， ∴PF +PE =BD. ∵PE =5cm，PF =3cm， ∴BD =8cm. 答案：8cm. 要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉（ ）根木条 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 习题演练 回忆：三角形具有什么性质？ 答案：C 如图，一个多边形纸片按如图所示的方式剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为（ ） A. 14 B. 15 C.16 D.17 习题演练 思考：如果沿两个顶点剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，则原多边形的边数还是一样吗？ 【解析】设原多边形的边数是n. 由题意，得， 解得 故原多边形的边数为. 答案：B 20 能够铺满地面的正多边形组合是（ ） A. 正六边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正方形和正八边形 D. 正三角形和正十边形 习题演练 回忆：平铺问题中，还有哪几种能密铺的正多边形？ 答案：C 如图，求 的度数和. 习题演练 回忆：三角形的外角有什么性质？多边形的内角和是什么？ 解： 如图，已知ABC，P为内角平分线AD,BE,CF的交点，过点P作PGBC于G，试说明BPD与CPG的大小关系，并说明理由. 习题演练 解：∠ BPD=∠ CPG. 理由：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠BAD=∠BAC，∠ABE=∠ABC，∠BCF=∠ACB， ∴∠BPD=∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）. ∵∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB， ∴∠BPD=（180°-∠ACB）=90°-∠ACB. ∵PG⊥BC， 23 习题演练 回忆：角平分线有什么作用？ ∴∠PGC=90°， ∴∠BCP+∠CPG=180°-∠PGC=90°， ∴∠CPG=90°-∠BCP=90°-1/2∠ACB。 ∴∠BPD=∠CPG. 如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后向左转36°，再沿直线前进8m后向左转36°……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 m。 习题演练 回忆：多边形的外角和是多少？ 【解析】∵小明每次都是沿直线前进8m后向左转36°， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数=360°÷36°=10， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×8=80（m） 答案：80 如图，和C分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，B是∠BD 的角平分线，C是∠CD 的角平分线，B是∠BD 的角平分线，C是∠CD 的角平分线，若∠=α，则∠= 。 习题演练 【解析】∵B是∠ABC的平分线，C是∠ACD的平分线， = ∠，∠CD = ∠ACD， 又∵∠ACD =∠A+∠ABC，∠CD =∠BC+∠ ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠， 答案： 习题演练 思考：这可以总结一个什么模型？ ∴∠=∠A. ∵∠=α， 同理可得∠=∠=α, 则∠=. 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向.那么丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？ 习题演练 解：设甲岛处的位置为，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C.作，NB∥ CD，如图. ∵丁岛在丙岛的正北方，∴CD⊥AB. ∵甲岛在丁岛的南偏西52°方向， ∴∠ACD=52°. 又∵AM∥CD，∴∠1=∠ACD=52°， 28 习题演练 回忆：方位角的用法和平行线的性质是什么？ ∴丁岛在甲岛的北偏东52°方向. ∵乙岛在丁岛的南偏东40°方向， ∴∠BCD =40°. 又∵BN ∥CD， ∴∠2 =∠BCD =40°， ∴丁岛在乙岛的北偏西40°方向. 已知等腰三角形的周长是16cm. (1)若其中一边长为4cm，求另外两边的长； (2)若其中一边长为6cm，求另外两边长； (3)若三边长都是整数，求三角形各边的长？ 习题演练 解：（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4=8cm.三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系，所以底边长应该为4cm，所以腰长为（16-4）÷2=6cm.三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系，综上所述，另外两边长都为6cm. (2)如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6=4cm，三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系，所以另外两边长分别为6cm和4cm. 习题演练 方法：遇等腰三角形的边长问题，需分类讨论 (3)∵周长为16cm，且三边都是整数， ∴三角形的最长边小于8cm且都是等腰三角形， 用列举的方式可得，各边长为7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共三种情况 章末回顾 问题一：三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？ 问题二：三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？ 问题三：直角三角形的两个锐角有怎样的关系?三角形的一个外角与和它的两个内角由怎样的关系？这些结论能由三角形内角和定理得出吗？ 问题四：n 边形的n 个内角有怎样的关系？如何推出这个结论？ 问题五：n 边形的外角和与n 有关吗？为什么？ 问题六：平面镶嵌问题中，可以选用哪一种正多边形进行密铺？如果选择两种正多边形呢？ $$八 年 级 上 人 教 版 第 章 学习目标 理解三角形的定义与分类01 02 加深三角形中的三条重要线段的理解和运用，熟练三角形 的三边及周长与面积的灵活计算 掌握三角形稳定性在生活中的应用03 加深多边形的内角和与外角和定理的理解和应用04 掌握多边形的综合应用05 知识框架 与三角形有关的角 三角形的概念 三角形的三边关系 三角形的三条重要 线段 三角形内角和为180° 两边之差<第三边<两边之和 三角形的外角等于与它不相邻的 两个内角的和 三角形 三角形的内角 三角形的外角 与三角形有关的线段 高线 中线 角平分线 知识框架 多边形的内角 和与外角和 三角形的外角等于与它不相邻的两个 内角的和 （𝑛-2）×180°(𝑛>2，且n为整数) 360° 多边形的相关概念 多边形的内角和 多边形的外角和 正多边形与平面镶嵌 三角形 知识梳理 1、三角形概念由不在同一条直线 上的三条线段首尾顺次相接所组成 的图形叫做三角形。组成三角形的 线段叫做三角形的边，相邻两边的 公共端点叫做三角形的顶点. 知识梳理 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 2、三角形的分类： （1）三角形按边分类 注：不能将等边三角形算作是单独 的一类，它是特殊的等腰三角形 （2）三角形按角分类： 三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识梳理 （1）三角形的任意两边之和大于第三边； （2）三角形的任意两边之差小于第三边. 3、三角形的三边关系 知识梳理 （1）三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高. 5、三角形具有稳定性 ① 锐角三角形的三条高线交在三角形内部 ② 直角三角形三条高线交点在直角三角形的直角顶点 ③ 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部 ④ 高线的交点叫做三角形的垂心. （2）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线. 4、三角形的三条重要线段：高、中线和角平分线 知识梳理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形两边的夹角。每个三角 形的三个内角，且每个内角均大于0° 且小于180°； （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°. 6、三角形内角和定理 三角形的内角和定理的证明方法不唯一， 但其思路都是将三角形的三个内角移到一 起，组成一个平角，在转化中借助平行线. 知识梳理 （1）定义：三角形一边与令一边的延长线组成的角叫做三角形的外角； （2）性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外 角大于任何一个与它不相邻的内角； 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°. 7、三角形的外角 （1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形； （2）正多边形的概念：各个角相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 8、多边形 ①多边形可分为凸多边形和凹多边形； ②在没有特殊说明的情况下，所说的多边形都是凸多边形 知识梳理 （1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线; （2）n边形从一个顶点出发，可以画（𝑛−3）条对角线，n边形一共n(n−3) 2 条对角线. 9、多边形的对角线 （1）多边形内角和定理：（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）； （2）多边形的外角和等于360°. 10、多边形的内角与外角 知识梳理 （1）定义：用形状、大小完全相同的一种平面图形或不同的几种平面图形进行 拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌. （2）单一正多边形镶嵌：正三角形、正方形、正六边形 注：正多边形镶嵌有三个条件限 制：①边长相等；②顶点公共； ③在一个顶点处各正多边形的内 角之和为360°. 11、平面镶嵌 知识梳理 （3）两种正多边形的镶嵌： ①3个正三角形和2个正方形； ②4个正三角形和1个正六边形； ③2个正三角形和2个正六边形； ④1个正三角形和2个正十二边形； ⑤1个正方形和2个正八边形； 等等…… 1、以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 14,4,9 D.7,2,4 习题演练 答案：B 回忆：三角形三边应该满足什么关系？ 2、在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°，则另一个锐角的度数是 （ ） A. 115° B. 125° C. 25° D. 35° 习题演练 答案：C 回忆：直角三角形的两个锐角满足什么关系？ 【解析】∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°， ∴另一个锐角的度数是90°-65°=25°. 3、如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ） A. 30° B. 75° C. 30°或75° D. 60° 习题演练 答案：C 回忆：等腰三角形有什么特点？ 【解析】①当150°外角是底角的外角时，底角为180°-150°=30°； ②当150°是顶角的外角时，顶角为180°-150°=30°，则底角为（180°- 30°）÷2=75°. 综上所述，它的底角为30°或75°. 如图，在△ABC中（𝑨𝑩 > 𝑨𝑪），𝟐𝑨𝑪 = 𝑩𝑪，BC边上的中线把△ABC 分成周长为30cm和22cm的两部分，则AB 的长为（ ） A. 11cm B. 14cm C. 16cm D. 19cm 习题演练 答案：D 则𝐴𝐶 =CD =BD =11cm， ∴𝐴𝐵=30-11=19cm. 【解析】∵AD是BC 边上的中线， ∴BD=DC， ∵2AC=BC， ∴AC=CD. 由题意，得AC +CD=22cm， 回忆：中线有什么性质？ 如图，在△ABC 中，𝑨𝑩 = 𝑨𝑪，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC， BD是AC边上的高，若PE =5cm，PF =3cm，则BD = . 习题演练 回忆：高线经常与三角形的什么相关？ 【解析】连接𝐴𝑃. ∵AB =AC， ∴S△ABC =S△ABP +S△ACP = 1 2 AB ×PE+ 1 2 AC ×PF= 1 2 AC ×BD， ∴PF +PE =BD. ∵PE =5cm，PF =3cm， ∴BD =8cm. 答案：8cm. 要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉（ ）根木条 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 习题演练 回忆：三角形具有什么性质？ 答案：C 如图，一个多边形纸片按如图所示的方式剪去一个内角后，得到一个内 角和为𝟐𝟓𝟐𝟎°的新多边形，则原多边形的边数为（ ） A. 14 B. 15 C.16 D.17 习题演练 思考：如果沿两个顶点剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形， 则原多边形的边数还是一样吗？ 【解析】设原多边形的边数是n. 由题意，得（𝑛 − 2） × 180° = 2520° − 180°， 解得𝑛 = 15. 故原多边形的边数为15. 答案：B 能够铺满地面的正多边形组合是（ ） A. 正六边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正方形和正八边形 D. 正三角形和正十边形 习题演练 回忆：平铺问题中，还有哪几种能密铺的正多边形？ 答案：C 如图，求∠𝑨 + ∠𝑩 + ∠𝑪 + ∠𝑫 + ∠𝑬 + ∠𝑭 的度数和. 习题演练 回忆：三角形的外角有什么性质？多边形的内角和是什么？ 解： ∵ ∠𝐴 + ∠𝐸 = ∠𝑂𝑃𝐶，∠𝐷 + ∠𝐹 = ∠𝑃𝑂𝐵， ∴ ∠𝐴 + ∠𝐸 + ∠𝐷 + ∠𝐹 = ∠𝑂𝑃𝐶 + ∠𝑃𝑂𝐵 ∵ ∠𝑂𝑃𝐶 + ∠𝑃𝑂𝐵 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 360°， ∴ ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 + ∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 = 360° 如图，已知△ABC，P为内角平分线AD,BE,CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说 明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由. 习题演练 解：∠ BPD=∠ CPG. 理由：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠BAD= 1 2 ∠BAC，∠ABE= 1 2 ∠ABC，∠BCF= 1 2 ∠ACB， ∴∠BPD=∠BAD+∠ABE= 1 2 （∠BAC+∠ABC）. ∵∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB， ∴∠BPD= 1 2 （180°-∠ACB）=90°- 1 2 ∠ACB. ∵PG⊥BC， 习题演练 回忆：角平分线有什么作用？ ∴∠PGC=90°， ∴∠BCP+∠CPG=180°-∠PGC=90°， ∴∠CPG=90°-∠BCP=90°-1/2∠ACB。 ∴∠BPD=∠CPG. 如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后向左转36°，再沿直线前进8m后向左转 36°……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 m。 习题演练 回忆：多边形的外角和是多少？ 【解析】∵小明每次都是沿直线前进8m后向左转36°， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数=360°÷36°=10， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×8=80（m） 答案：80 如图，𝑩𝑨𝟏和C𝑨𝟏分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，B𝑨𝟐是 ∠𝑨𝟏BD 的角平分线，C𝑨𝟐 是∠𝑨𝟏CD的角平分线，B𝑨𝟑是∠𝑨𝟐BD 的角平 分线，C𝑨𝟑 是∠𝑨𝟐CD 的角平分线，若∠ 𝑨𝟏=α，则∠𝑨𝟐𝟎𝟏𝟖= 。 习题演练 【解析】∵𝐴1B是∠ABC的平分线，𝐴1C是∠ACD的平分线， ∴ ∠𝐴1𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴1CD = 1 2 ∠ACD， 又∵∠ACD =∠A+∠ABC，∠𝐴1CD =∠𝐴1BC+∠𝐴1 ∴ 1 2 （∠A+∠ABC）= 1 2 ∠ABC+∠𝐴1， 答案： 𝜶 𝟐𝟐𝟎𝟏𝟕 习题演练 思考：这可以总结一个什么模型？ ∴∠𝐴1= 1 2 ∠A. ∵∠𝐴1=α， 同理可得∠𝐴1= 1 2 ∠𝐴1= 1 2 α, 则∠𝐴2018= 𝛼 22017 . 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲 的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南 偏东40°方向.那么丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？ 习题演练 解：设甲岛处的位置为𝐴，乙岛处的位置为B，丙岛处的位 置为D，丁岛处的位置为C.作𝐴𝑀∥ 𝐶𝐷，NB∥ CD，如图. ∵丁岛在丙岛的正北方，∴CD⊥AB. ∵甲岛在丁岛的南偏西52°方向， ∴∠ACD=52°. 又∵AM∥CD，∴∠1=∠ACD=52°， 习题演练 回忆：方位角的用法和平行线的性质是什么？ ∴丁岛在甲岛的北偏东52°方向. ∵乙岛在丁岛的南偏东40°方向， ∴∠BCD =40°. 又∵BN ∥CD， ∴∠2 =∠BCD =40°， ∴丁岛在乙岛的北偏西40°方向. 已知等腰三角形的周长是16cm. (1)若其中一边长为4cm，求另外两边的长； (2)若其中一边长为6cm，求另外两边长； (3)若三边长都是整数，求三角形各边的长？ 习题演练 解：（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4=8cm.三边长为4cm，4cm，8cm， 不符合三角形三边关系，所以底边长应该为4cm，所以腰长为（16-4）÷2=6cm.三 边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系，综上所述，另外两边长都为6cm. (2)如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6=4cm，三边长为4cm，6cm，6cm，符合 三角形三边关系，所以另外两边长分别为6cm和4cm.