专题07 一元二次方程计算题分类训练（6种类型90道）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题07 一元二次方程计算题分类训练（6种类型90道） 专题目录 【类型1 直接开平方法】 1 【类型2 配方法】 2 【类型3 公式法】 2 【类型4 因式分解法】 3 【类型5 换元法】 4 【类型6 十字相乘法】 5 【类型1 直接开平方法】 1．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 3．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 4．用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 5．用直接开平方法解方程： (1) (x－3)2－9＝0; (2) (2t－1)2＝16. 6．用直接开平方法解方程： (1) 9x2＝25;   (2) x2－144＝0. 7．用直接开平方法解方程． (1) (2) 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 9．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 10．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【类型2 配方法】 11．用配方法解一元二次方程： 12．用配方法解方程：． 13．用配方法解方程． 14．配方法解一元二次方程：． 15．用配方法解一元二次方程： ． 16．用配方法解方程：． 17．用配方法解方程： 18．用配方法解方程． 19．用配方法解方程：． 20．用配方法解方程： 【类型3 公式法】 21．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 23．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 24．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 25．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 26．用公式法解方程： (1)． (2)． 27．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 28．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 29．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 30．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【类型4 因式分解法】 31．用因式分解法解方程: (1)； (2) 32．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 33．因式分解法解方程： (1)； (2)； 34．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 35．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 36．用因式分解法的方法解下列方程： (1)； (2)x-7-x（x-7）＝0． 37．用因式分解法解方程： (1)3x(2x+1)=2(2x+1)； (2)． 38．用因式分解法解方程 (1) (2) 39．用因式分解法解方程． (1) (2) 40．解下列方程（因式分解法）： (1)x2﹣10x+16＝0； (2)2x（x﹣1）＝x﹣1. 【类型5 换元法】 41．解方程 42．． 43．已知，求的值． 44．解方程． 45．如果，请你求出的值． 46．已知，求的值． 47．已知，求的值． 48．若，求的值． 49．解方程： 50．解方程： 【类型6 十字相乘法】 51．解方程：．（用十字相乘法求解） 52．阅读材料：由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． (1)尝试：分解因式(______)(______)； (2)应用：请用上述方法解方程． (3)拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为_____． 53．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 54．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 55．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 56．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 57．根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 58．由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式：____________） (2)应用：请用上述方法解方程：． (3)拓展：请用上述方法解方程：． 59．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的式子：． 实例：分解因式：． (1)尝试：分解因式：． (2)应用：请用上述方法解方程：． 60．多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例分解因式． (1)尝试分解因式； (2)应用请用上述方法解方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程计算题分类训练（6种类型90道） 专题目录 【类型1 直接开平方法】 1 【类型2 配方法】 6 【类型3 公式法】 10 【类型4 因式分解法】 17 【类型5 换元法】 23 【类型6 十字相乘法】 27 【类型1 直接开平方法】 1．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 2．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 3．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 4．用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）方程两边直接开方，根据平方根的定义，得．即，． （2）方程两边直接开方，根据平方根的定义，得，即，． 【详解】解：（1） ∴ 解得， （2） ∴ ∴， 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 5．用直接开平方法解方程： (1) (x－3)2－9＝0; (2) (2t－1)2＝16. 【答案】(1) x1＝0，x2＝6     (2) 解：t1＝，t2＝－ 【详解】试题分析： （1）先移项，再用直接开平方法求解； （2）用直接开平方法求解. 试题解析： (1) (x－3)2－9＝0，移项得(x－3)2=9，直接开平方得x-3=±3，所以x1＝0，x2＝6；      (2) (2t－1)2＝16，直接开平方得2t-1=±4，所以t1＝，t2＝－. 6．用直接开平方法解方程： (1) 9x2＝25;   (2) x2－144＝0. 【答案】(1) x1＝，x2＝－  (2) x1＝12，x2＝－12 【详解】试题分析: (1)系数化为1后，直接开平方求解; (2)先把常数项移到等号的右边，再用直接开平方法求解. 试题解析： (1) 解：9x2＝25，x2=，所以x1＝，x2＝－      (2) 解：x2－144＝0，x2=144，所以x1＝12，x2＝－12. 7．用直接开平方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， 解得． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可； （2）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴，． （2）∵， ∴， ∴， ∴，∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解题关键． 9．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），．（2），． 【分析】（1）先把左边写成完全平方的形式，再开平方即可； （2）先把左边写成完全平方的形式，再开平方即可； 【详解】（1）原方程可化为， 两边开平方，得， 所以或， 所以，． （2）原方程可化为， 两边开平方，得， 所以或， 所以或， 所以，． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，把左边改写成完全平方的形式是解答本题的关键. 10．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无实数根；（2），． 【分析】（1）先移项、合并同类项，可知该方程无解； （2）先去括号、移项、合并同类项，然后开平方即可. 【详解】（1）移项、合并同类项，得， 两边同除以4，得． 所以原方程没有实数根． （2）原方程可化为， 移项、合并同类项，得， 两边开平方，得． 所以，． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成，然后系数化为1，再两边开平方即可. 【类型2 配方法】 11．用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：    或 所以原方程的解为，． 12．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查配方法解方程，先将方程左侧展开，然后利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ∴． 13．用配方法解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程是关键．运用配方法求解即可． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：， 即， 开方得：或， 解得：． 14．配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 15．用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 16．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，直接根据配方法的步骤进行解方程即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ∴． 17．用配方法解方程： 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．直接根据配方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 配方得，即， ∴， ∴，． 18．用配方法解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握配方法解方程是关键． 【详解】解：方程变形得：，即， 变形得：， 开方得：或， 解得：． 19．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：原方程变形为， ， ， 解得：，． 20．用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 【类型3 公式法】 21．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． （2）解：原方程可化为，即． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用公式法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ， ，； （2）解： ，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 23．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， 原方程的解为：，； （2）解：，，， ， ， 原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 24．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无实数解 (2)方程无实数解 【分析】（1）利用公式法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故方程无实数解； （2）解：∵， ∴， 故方程无实数解． 【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程．掌握相关结论即可． 25．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据进行求解即可． 【详解】（1）， 解：， ∴， ∴， ∴，； （2）， 解：， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程求根公式． 26．用公式法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ，， ∴ ∴ 解得：，； （2） 化简得 ，， ∴ ∴ 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 27．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程化为一般形式，再代入公式法即可求解； （2）先将方程化为一般形式，再代入公式法即可求解． 【详解】（1）解：方程可化为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ （2）解：两边同时乘以10，方程最终可化为， ∴， ∴，   ∴， ∴． 【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意公式法的使用前提为：方程为的一般形式． 28．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2)方程无解 【分析】先把原方程化为一般式，然后判断的符号，如果，则用公式法求解即可，如果，则原方程无解． 【详解】（1）解： 化为一般式得：， ∴， ∴， ∴原方程无解； （2）解：， 化为一般式得， ∴， ∴， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键． 29．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 方程可化为：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 整理得，即， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解题的关键． 30．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 【类型4 因式分解法】 31．用因式分解法解方程: (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：移项，得：， 因式分解，得： 于是，得：或， ∴，． （2）移项，得， 即， 因式分解，得：， 整理，得：， 于是，得或， ∴，． 32．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）方程左右两边都有因式，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解． （1）移项，得， ∴，即， ∴或，∴，． （2）因式分解，得．化简，得， ∴或，∴，． 33．因式分解法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】（1）解： 方程变形为：， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键． 34．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】解：（1）， 或， ，． （2）原方程可化为， ， 或， ，． 35．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接用因式分解法求解即可； （2）先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴或 ∴， （2）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键． 36．用因式分解法的方法解下列方程： (1)； (2)x-7-x（x-7）＝0． 【答案】(1)=1，=-3； (2)=7，=1． 【分析】（1）将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：原方程可化为：（x-1）（x+3）=0， ∴x-1=0或x+3=0， ∴=1，=-3； （2）解：原方程可化为：（x-7）（1-x）=0， ∴x-7=0或1-x =0， ∴=7，=1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，弄清题中分解因式的方法-十字相乘法以及提公因式法是解本题的关键． 37．用因式分解法解方程： (1)3x(2x+1)=2(2x+1)； (2)． 【答案】(1)=-，=； (2)=2，=． 【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】（1）解：∵3x（2x+1）-2（2x+1）=0， ∴（2x+1）（3x-2）=0， ∴2x+1=0或3x-2=0， 解得=-，=； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴2-x=0或3x-8=0， 解得=2，=． 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 38．用因式分解法解方程 (1) (2) 【答案】(1)=0，=； (2)=1，= 【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 移项得：5-4x=0， x（5x-4）=0， x=0或5x-4=0， 解得：=0，=； （2）解：， 移项、整理得：3x（x-1）+2（x-1）=0， （x-1）（3x+2）=0， x-1=0或3x+2=0， 解得：=1，=． 【点睛】题目主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题关键． 39．用因式分解法解方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可； （2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： （3x+1）（3x-1）=0 3x+1=0，3x-1=0 ，． （2）解： （2x-1）（x-3）=0 2x-1=0，x-3=0 ，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键． 40．解下列方程（因式分解法）： (1)x2﹣10x+16＝0； (2)2x（x﹣1）＝x﹣1. 【答案】(1)x1=8，x2=2； (2)x1=1，x2= 【分析】（1）把原方程转化为，分解成两个一元一次方程，求解方程即可 （2）方程移项后，提取（x﹣1），方程转化为，求解两个一元一次方程即可 【详解】（1）解：∵ x2﹣10x+16＝0， ∴， ∴ x-8=0或x-2=0， 解得：x1=8，x2=2； （2）解：∵ 2x（x﹣1）＝x﹣1， ∴， ∴， ∴ x-1=0或2x-1=0， 解得：x1=1，x2=. 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，熟练掌握提取公因式分解因式是解题关键． 【类型5 换元法】 41．解方程 【答案】或 【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可 【详解】解：设，则原方程可变形为， ∴， ∴ ∴， 即或， 解得或 42．． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 43．已知，求的值． 【答案】的值为7或1 【分析】 设，则，对原方程进行变形，求出y的值，即为的值． 【详解】 解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或1， ∴的值为7或1． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把看作整体，直接求出的值是解题的关键． 44．解方程． 【答案】，，， 【分析】设，求出y后，可得关于x的方程，再解方程即可． 【详解】设， 原方程化为，解得，， 当时，，， 则，； 当时，，， 则，， 所以原方程的解为，，，． 【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键． 45．如果，请你求出的值． 【答案】的值为3 【分析】设，然后用因式分解法求解即可，求解时注意. 【详解】设， ∴． 整理得：， ∴． ∴． ∵， ∴ (不合题意，舍去) ∴． 即的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 46．已知，求的值． 【答案】3 【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：令，则原等式可化为： ， 解得：， ， ，即． 的值为3． 【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键． 47．已知，求的值． 【答案】3 【分析】把看作一个整体，设，利用换元法得到新方程，求解即可 ． 【详解】解：设， 据题意，得． 解得． ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解一元二次方程是解题的关键． 48．若，求的值． 【答案】 【分析】令，然后利用直接开平方的方法求出y的值即可得到答案． 【详解】解：令，则原方程可化简为， 解得，． ∵， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． 49．解方程： 【答案】 【分析】令，方程可化为，先求得，即可求解． 【详解】解：令，则方程可化为 即 解得：， 即， 解得： 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是将当做整体，先求出的值． 50．解方程： 【答案】 【分析】方法一：利用因式分解法解方程； 方法二：设，则原方程变为，然后解关于y的方程，最后再来求x的值． 【详解】方法一： 解：． ， ， ∴或， ∴． 方法二： 解：，则有， ∴； 解得，或； ①当时，； ②当时，． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【类型6 十字相乘法】 51．解方程：．（用十字相乘法求解） 【答案】， 【分析】利用十字相乘法解方程即可． 【详解】解：方程化为， ∴3x-2=0或x+4=0 解得：，． 【点睛】此题考查解一元二次方程的方法——十字相乘法，熟练运用解题方法是关键． 52．阅读材料：由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． (1)尝试：分解因式(______)(______)； (2)应用：请用上述方法解方程． (3)拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为_____． 【答案】(1)2，4； (2)，； (3)或或． 【分析】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程； （1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （3）结合，利用因式分解法可分别求得值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：2，4； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）∵， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ． 综上所述的值可以是，，，，． 53．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 54．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 【答案】(1)1；5 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用“十字相乘法”进行因式分解，即可求解； （2）利用“十字相乘法”将方程左边因式分解可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；5 （2）解：将方程左边因式分解得， ∴或， 解得：． 55．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 56．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 57．根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解法解一元二次方程； （1）根据十字相乘法因式分解即可求解； （2）利用十字相乘法，得，即可求解； （3）利用十字相乘法，得，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）. 利用十字相乘法，得 ∴或. ∴，. （3）. 利用十字相乘法，得. ∴或. ∴，. 58．由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式：____________） (2)应用：请用上述方法解方程：． (3)拓展：请用上述方法解方程：． 【答案】(1)2，4（或4，2） (2)，； (3)，． 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （2）把看作一个整体，利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：2，4（或4，2）； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 59．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的式子：． 实例：分解因式：． (1)尝试：分解因式：． (2)应用：请用上述方法解方程：． 【答案】(1)3，4 (2)， 【分析】（1）利用“十字相乘法”进行因式分解即可； （2）首先将方程左边用“十字相乘法”进行因式分解，进而求解即可． 【详解】（1）； （2）， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 60．多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例分解因式． (1)尝试分解因式； (2)应用请用上述方法解方程． 【答案】(1)2，3 (2)， 【分析】（1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式，然后解方程即可． 【详解】（1）， 故答案为：2，3； （2） ∴或 解得，． 【点睛】此题考查了十字相乘法因式分解和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握十字相乘法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$