专题05 特殊平行四边形动点问题分类训练（5种类型50道）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题05 特殊平行四边形动点问题分类训练（5种类型50道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 动点最值问题】 5 【类型3 动点探究数量关系】 9 【类型4 动点存在性问题】 13 【类型5 动点求值问题】 17 【类型1 动点定值问题】 1．如图，已知四边形是正方形，点是边上的动点（不与端点重合），点在线段上，，，，为线段的中点，点在线段上（不与点重合），且． (1)求证：； (2)随着点的运动，试猜想的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由． 2．如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与点B，C重合）．将线段绕点A顺时针旋转得线段．延长，交于点G． (1)求证：； (2)连接，试探究：是否为定值？若是，请求出定值，若不是，说明理由． 3．如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到． 【初步感知】 （1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系． 【深入研究】 （2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值． 【拓展延伸】 （3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由． 4．如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求四边形的周长和面积． (3)记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围． 5．如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是a和b． (1)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系； (2)证明：如图②，连接AC，若a+b=6，请证明△ABE≌△ACF； (3)应用：在（2）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值． 6．如图1，在菱形中，，，点、分别在边，上运动，满足，连接．      (1)求证：． (2)求线段，，间的数量关系． (3)①如图2，连接对角线，与交于点，作于点，设，则的值是否变化？若变化，请用含的式子表示并求其取值范围；若不变，则求出这个定值； ②如图3，作，直接写出的值为______． 7．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 8．已知，如图，矩形中，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点G在边上运动时，点F到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值． 9．已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．    (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点G在边上运动时，点F到直线的距离是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值． 10．在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【类型2 动点最值问题】 11．（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．直接写出与的数量关系____________． （2）如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，求的大小． （3）如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，当时，求出周长的最小值． 12．如图，菱形的边长为6，，点是线段上的一动点，连结作的垂直平分线交于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，在点运动过程中，求与的数量关系； (3)如图3，连结，求的最小值． 13．如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 14．如图，在中，，D是上一动点，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的最小值． 15．在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒 (1)如图1，M、N分别是中点，当 s时，四边形是矩形． (2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动． ①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值； ②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是 ． 16．在正方形中，为边上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得．过点作的垂线，垂足为．连接与交于点． (1)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，取的中点，连接．随着点的运动，的长度是否发生变化？若不变，求的值；若变化，求的取值范围； (3)若连接，则的最小值为______． 17．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 18．如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明 (3)若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案） 19．已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． (1)当点在对角线上时． ①如图1，连接，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． (2)如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 20．菱形的对角线交于点． (1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积； (2)如图2，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点．若、、三点共线，求证：； (3)如图3，菱形中，，，点为射线上一动点，连接．将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 【类型3 动点探究数量关系】 21．D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．    (1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 22．如图，已知是正方形边上的一动点，点与点不重合，将点绕点顺时针旋转，点旋转后的对应点为点，连接交于点，连接，． (1)如图①，当点与点重合时，线段和的数量关系是 　 　． (2)如图②，当点与点 不重合时，（1）中的结论是否成立？说明理由． 23．（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 ； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ．    24．在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧：           图1                   图2                    图3 (1)如图1，在正方形中，点E为边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段上，过点F的直线，分别交于点M，N．此时，①与有什么数量关系？（直接写出即可） ②与之间又有什么数量关系？并说明理由； (2)如图2：当点F为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线与交于点G，连接，此时有结论：，请利用图2做出证明． (3)如图3：当点E为直线上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线分别交直线于点M，N请你直接写出线段与之间的数量关系、线段与之间的数量关系． 25．在正方形中，点为射线上的一个动点，点在射线上，且． (1)如图1，当点在边上时，请直接写出、、三条线段之间的数量关系； (2)如图2，当点在边的延长线上时，请你判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，点在边上，且，点为的中点，在点从点沿射线运动的过程中，的周长的最小值为___________（直接写出结果）． 26．如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 27．如图，正方形的边长为，点是 边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 28．在中，，，D是边上的动点，连接． (1)如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； (2)如图2，若，求的最小值； (3)如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 29．在正方形中，点E为边上一个动点（点E不与点B，C重合），连接，点F在对角线的延长线上，连接，使得．作点F关于直线的对称点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 30．如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接． (1)求证：； (2)如图2，点G为的中点，连接． ①是什么特殊三角形，并说明理由； ②线段与之间的有什么数量关系，并证明你的结论． 【类型4 动点存在性问题】 31．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动停止时，______，线段的长为______； (2)①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 32．如图，在平行四边形中，于点，点在的延长线上，且，点是线段上的动点（点与点，点不重合），连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，在同一平面内是否存在点使以点为顶点的四边形是矩形？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 33．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若，请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是，连接． (1)求直线的解析式； (2)若过点A作轴于点F，交于点G，若点P是x轴正半轴上一动点，且满足，求点P的坐标； (3)若直线与相交于点M，Q为平面内任意一点，在x轴是否存在N点，使得以O、M、N、Q为顶点且以为边的菱形，若存在，请直接写出N点坐标，若不存在，请说明理由． 35．如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． (1)若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 36．如图，在四边形中， ，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为______，的取值范围为______． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 37．如图1，已知四边形是矩形，点是射线上的动点，当点运动到的角平分线上时，连接，交于点，交于点，点在是线段的中点，连接，． (1)证明：； (2)点是线段上一点，连接，，，当时，证明：； (3)在（2）的基础上，是否在射线上存在一点，使得四边形为菱形？请说明理由． 38．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)运动中，是否存在这样的t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 39．如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 40．如图1，为矩形的对角线，的平分线交于点E，交的延长线于点F．点P是线段上的动点，以为对角线作正方形(点按顺时针方向排列)． (1)求证：； (2)已知， ． ①如图2，若点M落在边上，求的值； ②在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【类型5 动点求值问题】 41．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情景：在矩形中，点为边上一动点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点、分别落在点、处，设． (1)如图1，若，，点为的中点，延长交于点．则与的数量关系是 　　，写出图中一个的角：　　； (2)如图2，若点为的中点，，，延长交于点．求与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 42．已知正方形，点F是射线上一动点（不与C、D重合）．连接并延长交直线于点E，交于H，连接，过点C作交于点G．    (1)若点F在边上，如图1 ①证明： ②猜想的形状并说明理由． (2)取中点M，连接．若，正方形边长为4，求的长． 43．如图，正方形中，，E为边上一点，，连接 ，． 点 为线段上一个动点，，将沿线段折叠，得到 ，连接 ． (1)求，的长； (2)当点落在线段上，求的长； (3)连接，若为等腰三角形，求的值及． 44．在中，，点D是边上的一个动点，连接．作，，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当四边形是菱形时， ①在图2中画出四边形，并回答：点D的位置为 ． ②若，，则四边形的面积为 ． 45．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，， ，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形， ，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 46．在正方形中，，且点为上的一动点，以为边作正方形，如图1所示，连接．    (1)求证：； (2)如图2，延长交于点． ①求证：； ②若，求的长度． 47．如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． (1)①填空： ， ； ②当时． 求证：，； (2)如图2，当时，连接，若，求的长； (3)如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 48．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 49．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形，如图1所示． (1)证明平行四边形是菱形； (2)如图2所示，，，M是的中点，连接，，求的长． (3)如图3所示，若，线段与交于点O，点M是线段上的一个动点，连接，直接写出的最小值，并写出此时的值． 50．如图1，在四边形中，， 点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒． (1)当四边形为平行四边形时，求t的值． (2)如图2，将沿翻折，得，当四边形为正方形时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊平行四边形动点问题分类训练（5种类型50道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 动点最值问题】 24 【类型3 动点探究数量关系】 51 【类型4 动点存在性问题】 76 【类型5 动点求值问题】 101 【类型1 动点定值问题】 1．如图，已知四边形是正方形，点是边上的动点（不与端点重合），点在线段上，，，，为线段的中点，点在线段上（不与点重合），且． (1)求证：； (2)随着点的运动，试猜想的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不发生变化，AB﹣AN＝2 【分析】（1）首先根据点为的中点，得出，进而可得，，然后根据三角形的内角定理可得出，从而得出结论； （2）首先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再证和全等，从而得出，然后计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， ，， ， ， 即：， ， 即：； （2）解：猜想的值不发生变化，，理由如下： ，，， ，，， ， 为直角三角形，即：， 由（1）可知：， ， ， 四边形为正方形， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的值不发生变化，值为2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，乘法公式，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解正方形的性质，勾股定理逆定理是解决问题的关键． 2．如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与点B，C重合）．将线段绕点A顺时针旋转得线段．延长，交于点G． (1)求证：； (2)连接，试探究：是否为定值？若是，请求出定值，若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）本题利用正方形性质和旋转的性质证明，得到，进而得到，再结合四边形内角和得到，即可证明； （2）连接，在的延长线上取，连接，利用以及正方形性质，，证明，利用全等三角形性质得到，，利用勾股定理得到，进而得到，对式子进行变形，即可得到的值． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是定值，理由如下： 连接，在的延长线上取，连接， ， ，， 即有，， ， 四边形为正方形， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，旋转的性质，全等三角形性质和判定，四边形内角和，勾股定理，解题的关键在于作辅助线构造全等． 3．如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到． 【初步感知】 （1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系． 【深入研究】 （2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值． 【拓展延伸】 （3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）是定值，理由见详解 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由外角的性质可证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 将绕点按顺时针方向旋转，得到． ，， ， ； （2）如图，在上截取，连接， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ； （3）的周长是定值，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 的周长， 的周长是定值． 4．如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求四边形的周长和面积． (3)记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为：，的面积为：； (3)①；②的值为定值，这个定值为； 【分析】（1）利用菱形的性质得：，由两组对边分别平行的四边形可得结论； （2）设对角线与相交于点．根据直角三角形角的性质得的长，由勾股定理得的长和的长，根据平行四边形的性质可得其周长和面积； （3）①先根据三角形的周长计算，确定的最大值和最小值即可； 根据轴对称的最短路径问题可得：当在处时，的值最小，最小值是，由图形可知：当在点处时，的值最大，构建直角三角形计算即可； ②的值为定值，这个定值为，根据面积公式可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 即． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：设对角线与相交于点． ∵四边形是菱形，， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴的周长为：， 的面积为：； （3）①∵， ∵和关于直线对称， ∴当在处时，的值最小，最小值是， 当在点处时，的值最大，如图， 过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， 中，， 由勾股定理得：， ∴的最大值是：， ∵为边上的一个动点（不与端点重合）， ∴， 即； ②的值为定值，这个定值为； 理由是： ． 【点睛】考查了菱形的性质，直角三角形度角的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积和周长公式，解（1）的关键是熟练掌握平行四边形的判定，解（2）的关键是计算和的长，解（3）的关键是作辅助线，构建直角三角形． 5．如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是a和b． (1)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系； (2)证明：如图②，连接AC，若a+b=6，请证明△ABE≌△ACF； (3)应用：在（2）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不变， 【分析】（1）证明△ABE≌△ACF，可得结论； （2）根据SAS证明三角形全等即可； （3）证明四边形的面积=△ABC的面积，即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：AE=AF． 理由：如图①中， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF； （2）证明：如图②中， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∴AB=BC=CD=DA=6，∠B=∠D=60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠BAC=∠ACD=60°=∠B，AC=AB， ∵a+b=6，即BE+DF=6=BC， ∴BE=CF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （3）解：不变，四边形AECF的面积为， 理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF， 则S△ABE=S△ACF， 故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=×62=9． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、垂线段最短的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 6．如图1，在菱形中，，，点、分别在边，上运动，满足，连接．      (1)求证：． (2)求线段，，间的数量关系． (3)①如图2，连接对角线，与交于点，作于点，设，则的值是否变化？若变化，请用含的式子表示并求其取值范围；若不变，则求出这个定值； ②如图3，作，直接写出的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①变化，，；②6 【分析】（1）根据四边形是菱形，，得出，即可证明是等边三角形，，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由（1）得，即可得出，过点作交于点，得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出在中，，根据勾股定理即可求解； （3）①∵，故，根据，，得出，根据直角三角形的性质得出，勾股定理得出，过点作交于点，得出，再根据即可表示出，结合，即可求出； ②根据，，得出，从而得出，，由①得，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 即， 过点作交于点，    ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， 化简得：； （3）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 7．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②是，1 【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，由E是中点，可得，即，，，然后求解作答即可； （2）①如图2，连接，由（1）可知，是等边三角形， 证明，进而可得；②如图3，连接，由菱形，，可得，证明，则，同理，，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E是中点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图2，连接， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴； ②解：如图3，连接， ∵菱形， ∴，， 由①可知，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴的值为定值，且定值为1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．已知，如图，矩形中，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点G在边上运动时，点F到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)点F到直线CD的距离始终为定值2，理由见解析 (3)当时，的面积最小为 【分析】(1)根据有一个直角的菱形是正方形，证明，得到，结合，得到，即可得证． (2)过F作，交延长线于M，连接．证明即可得证． (3) 设，根据，得到．在中，， 得．利用勾股定理，变形计算即可． 【详解】（1）∵矩形，菱形， ∴， 又， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为正方形． （2）距离是定值2．理由如下： 过F作，交延长线于M，连接． ∵矩形，菱形， ∴，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴， 即无论菱形如何变化，点F到直线的距离始终为定值2． 解法2距离是定值2．理由如下： 过F作，交延长线于M，过F作于点N． ∵矩形，菱形， ∴，，， ∴，，， ． ∴． ∴．∴． 在和中， ∵， ∴．∴， 即无论菱形如何变化，点F到直线的距离始终为定值2． （3）设， ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中， ∴． ∴． ∴的最小值为，此时． ∴当时，的面积最小为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键． 9．已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．    (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点G在边上运动时，点F到直线的距离是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，2 (3) 【分析】（1）由于四边形为矩形，四边形为菱形，那么，，而，易证，从而有，等量代换可得，易证四边形为正方形； （2）过作交延长线于，连接，证明，进而可得结论； （3）设，由第（2）小题得，，在中，，利用勾股定理可得，在中，再利用勾股定理可得，进而可求，从而可得当时，的面积最小． 【详解】（1）证明：四边形为矩形，四边形为菱形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， 四边形为正方形； （2）解：过作交延长线于，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在边上运动时，点到边的距离为定值2．    （3）解：设，则由（2）得：， 在中，， ， ∵， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得， ， 的最小值为， 此时， 当时，的面积最小为． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确画出图形，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 10．在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)依然成立 (3)的周长为定值，且周长为2 【分析】（1）由等腰三角形的性质和为斜边的中点可知，，所以的值可求； （2）结论成立．连接，通过证明≌．可得，所以； （3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，通过证明≌，得到．所以． 【详解】（1）连 ∵P是的中点，， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴ ∴； 故答案为：2； （2）结论成立．连接，如图②． 是等腰直角三角形，是的中点， ，，． ，． ． 又， ． ≌． ， ． （3）的周长为定值，且周长为2． 在上截取，如图③， 由（2）可知：，， ， ，． ， 又， ≌， ． ， ， ， ． 的周长是2． 【点睛】此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，是一道不错的题目． 【类型2 动点最值问题】 11．（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．直接写出与的数量关系____________． （2）如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，求的大小． （3）如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，当时，求出周长的最小值． 【答案】（1），理由见详解，（2），（3） 【分析】（1）取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； （2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：（1） 理由如下：取的中点，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上取，连接，如图， 由（1）同理可得， ， ∵是等腰直角三角形 ∴， ， ， ，， ，而， ， ， ， ； （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，，如图， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴最小值为的长， ∵， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．如图，菱形的边长为6，，点是线段上的一动点，连结作的垂直平分线交于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，在点运动过程中，求与的数量关系； (3)如图3，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）当点与点重合时，根据菱形的边长为，得出，再根据是的垂直平分线，得出，令，则，根据勾股定理列方程解得，即可求解； （2）如图，连接，过点向作垂线．根据是菱形，边长为，得出平分，根据角平分线的性质定理得出，再根据是的垂直平分线，得出，证明，得出，证明，得出，即可得出，，在中，根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）如图，连接，过点向作垂线．由（2）可知，，得出，，即可得出，根据，根据三角形内角和得出，根据直角三角形性质得出，结合勾股定理，即可得出，结合，得出当最小时，取得最小值，当时，最小，求出即可； 【详解】（1）当点与点重合时， ∵菱形的边长为， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 令， 则， 得方程：， 解得：， ． （2）如图，连接，过点向作垂线． ∵是菱形，边长为， ∴平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ， ∵在中，， ， 整理得． （3）如图，连接，过点向作垂线． 由（2）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，取得最小值， 当时，最小， 此时，， ∴， ∴， 故当最小时，的最小值为． 【点睛】该题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 13．如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为定值 (3) 【分析】（1）证明得到，进而证得四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论； （2）如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，，证明四边形是平行四边形得到．由（1）知四边形是菱形， 设，利用菱形的性质、矩形性质以及勾股定理分别求得， 即可求解； （3）过C作，且，连接，，四边形是平行四边形，得到，进而可得，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为， 在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：线段的长度为定值， 如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， 设， 在矩形中，，，，， ∴，， 在中，由得， 解得， 在中，，， ∴， ∴，则， 故线段的长度为定值； （3）解：过C作，且，连接，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题等知识，综合性强，需要学生有一定的综合能力和分析问题、解决问题的能力，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用转化思想求解是解答的本题的关键． 14．如图，在中，，D是上一动点，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，掌握矩形的判定与性质成为解题的关键． （1）说明即可证明结论； （2）如图：连接，由矩形的性质可得，求得的最小值即可；然后根据垂线段最短和等面积法即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵, ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图：连接，过A作 ∵四边形是矩形， ∴ ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可得：当时，最小时；即与重合时，的最小值为， ∵，，， ∴， ∵, ∴，解得：， ∴的最小值． 15．在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒 (1)如图1，M、N分别是中点，当 s时，四边形是矩形． (2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动． ①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值； ②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】(1)或 (2)①，②10 【分析】（1）连接，证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，从而得到当时，四边形为矩形，再证明四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理求出的长，即可； （2）①连接，根据线段垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理求出，，再证明，可得，从而得到，再由，可得，，从而得到四边形是平行四边形，再由四边形的面积是矩形面积的一半，可得，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，过点作于，连接，，则，，，根据勾股定理，可得，证明四边形是平行四边形，可得四边形的周长为，即当点，，三点共线时，四边形的周长最小，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， 、分别是，中点， ，， 、是直线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 或， 解得：或， 综上所述，当或时，四边形是矩形； 故答案为：或； （2）解：①如图2，连接， 垂直平分， ， 在中， 即， 解得：， ， 根据题意得：，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积是矩形面积的一半， ，， ， ， 解得：； ②如图3，作点关于的对称点，过点作于，连接，，则，，， ∵在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动 ∴ ， ， 四边形是矩形， ，， ∴ 、是直线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度， ， ∵， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ 四边形为平行四边形， 四边形的周长为， 即当点，，三点共线时，四边形的周长最小，最小值为． 故答案为：10． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16．在正方形中，为边上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得．过点作的垂线，垂足为．连接与交于点． (1)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，取的中点，连接．随着点的运动，的长度是否发生变化？若不变，求的值；若变化，求的取值范围； (3)若连接，则的最小值为______． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)不变， (3) 【分析】（1）过点E作于点H，证明，得到，可以得到，，即可得到是平行四边形； （2）连接，交于点O，连接，，根据三角形的中位线定理得到，然后证明，得到，即可利用勾股定理得到的长； （3）先证明，然后得到，即点G在以为直径的半圆Q上移动，即当点G在上时，CG最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由为： 过点E作于点H， ∵是正方形，将绕点P顺时针旋转得 ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴为矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）不变， 如图，连接，交于点O，连接，， ∵， ∴， ∴是正方形， ∴， 又∵的中点为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点G在以为直径的半圆Q上移动，即当点G在上时，CG最小， 这时，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中危险的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 17．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)当时平行四边形是菱形，理由见解析 (3)存在最小值 【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，此时，据此求出即可； （2）当时，，此时平行四边形是菱形； （3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值． 【详解】（1）当时，平行四边形是矩形，则， ，， ， ，， ； （2），当时， ∴，此时平行四边形是菱形， ，，， ， ； （3）如图，设与交于点，作于．    在中，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 当与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，垂线段最短，30度直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明 (3)若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，见解析 (3)13 【分析】（1）由E是的中点，，可得，，结合，得到，四边形是平行四边形，由，，根据等腰三角形三线合一，得到，根据矩形的判定定理，即可求证， （2）要使矩形是正方形，则，即，根据直角三角形的性质可得添加条件：是等腰直角三角形， （3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称求最短路径的方法求出最小值． 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形， 由（1）知四边形为矩形， ∵，， ∴点D是的中点， ∴， ∴四边形是正方形， （3）解：， ∴， 设点P到的距离为h，则， 解得， ∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点A关于点P所在平行于的直线的对称点G，连接，此时的值最小为的长，    ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握相关判断定理和性质定理是解题的关键． 19．已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． (1)当点在对角线上时． ①如图1，连接，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． (2)如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 【答案】(1)①见解析   ②，或 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质，利用证明，即可得到结论； ②分为点与点重合时，则；然后根据点F在或上或点F在或上两种情况画图，分别构造等腰三角形，利用股定理解题即可． （2）在上截取，连接，则有，即，可以得到当点D，E，Q共线时，最小，即长，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）①证明：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②如图，当点与点重合时，则； 当点F在或上时，由（1）可得长相等， 过点作交，于点G，H， 则为矩形， ∴， 又∵， ∴ 设，则则， 则有，即， 解得：或（舍去）， 又∵ ∴， ∴； 当点F在或上时，可得长相等，即长相等， 则， ∴； 综上所述，长为，或； （2）解：在上截取，连接， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，E，Q共线时，最小，即长， 这时，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．菱形的对角线交于点． (1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积； (2)如图2，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点．若、、三点共线，求证：； (3)如图3，菱形中，，，点为射线上一动点，连接．将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，再求出、 、 、的长，利用即可求得答案； （2）先证明和是等腰直角三角形，再证明，得到，连接，设，利用勾股定理进行证明即可； （3）以为边向下做等边，连接，在上取一点T，使得，再证明，可得，然后根据垂线段最短可知，当时，的值最小，最后解直角三角形求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴ ， 与互相垂直平分， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∴ ，， 在中，由勾股定理得 ∵ ∴ 设 ，则 ， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得 ， ∴， ∴，   ， ， ∴四边形的面积是； （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，垂直平分，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 如图4，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 在中， 由勾股定理得 ， 在中， ， ∵ ， ∴，则， ∴，   ， 在中， ∵ ∴，即； （3）解：如图5，以为边向下做等边，连接，在上取一点T，使得， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ， 当时，线段有最小值，此时有最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设 ， ， 由勾股定理得 ， 在中，， + 由勾股定理得 ∴ 解得， ∴ 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形、勾股定理、等边三角形、图形的旋转、全等三角形、菱形等知识点，难度较大，解题的关键在于作出正确的辅助线． 【类型3 动点探究数量关系】 21．D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．    (1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 【答案】(1)见解析 (2)时，平行四边形是菱形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、三角形中位线及菱形的性质，解题的关键是得到证明平行四边形的条件． （1）由于分别是边的中点, 可得是的中位线，同理可得是的中位线，由三角形中位线定理即可得到是平行四边形； （2）根据，，，可以得到，即可得到平行四边形是菱形． 【详解】（1）证明: ∵分别是边的中点, 且， 同理，且， ∴且 ∴四边形是平行四边形； （2）当时，平行四边形是菱形.理由为：   分别是边的中点, ∴， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形． 22．如图，已知是正方形边上的一动点，点与点不重合，将点绕点顺时针旋转，点旋转后的对应点为点，连接交于点，连接，． (1)如图①，当点与点重合时，线段和的数量关系是 　 　． (2)如图②，当点与点 不重合时，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论； （2）过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得出，，得出，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 将点绕点顺针旋转，点旋转后的对应点为点， ，， 又， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）（1）中的结论仍成立． 理由：过点作于点， 四边形是正方形， ，， 将点绕点顺针旋转，点旋转后的对应点为点， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ． 23．（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 ； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，可得出和的数量关系，即可得出结论； （2）将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则 ，，，再证明得到，从而利用勾股定理得到，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，利用，证明，，再证明是直角三角形即可． 【详解】解：（1）结论：； 理由：绕点逆时针旋转，得到，， ，， ，， ， 、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 在正方形中，， 将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则 ，    ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图，   ， 又，， ， ，， 四边形是菱形，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧：           图1                   图2                    图3 (1)如图1，在正方形中，点E为边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段上，过点F的直线，分别交于点M，N．此时，①与有什么数量关系？（直接写出即可） ②与之间又有什么数量关系？并说明理由； (2)如图2：当点F为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线与交于点G，连接，此时有结论：，请利用图2做出证明． (3)如图3：当点E为直线上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线分别交直线于点M，N请你直接写出线段与之间的数量关系、线段与之间的数量关系． 【答案】(1)①，② (2)证明见详解 (3)， 【分析】（1）①②作辅助线，构建平行四边形，再证明，即可得出结论； （2）连接、、，构建全等三角形和直角三角形，证明，再根据四边形的内角和定理得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，，则； （3）过点M作于H，证明可得；连接、、，构建全等三角形和直角三角形，证明，再根据平行线的性质得∠AGE=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，，则； 【详解】（1）解：①，② 理由如下：在图1中，过点D作交于P，则， ∵是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵于F， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴．，， ∴，． （2）证明如下： 在图2中连接、、， 由正方形的轴对称性得， ∴，， ∵于F，F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图可知， ∴， 又∵四边形的内角和为，， ∴， 在和中，为斜边，F为的中点， ∴，， ∴； （3），，理由如下： 过点M作于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴； 连接、、， 由正方形的轴对称性得， ∴，， ∵于F，F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，为斜边，F为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形、平行四边形的性质与判定，在有中点和直角三角形的前提下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等． 25．在正方形中，点为射线上的一个动点，点在射线上，且． (1)如图1，当点在边上时，请直接写出、、三条线段之间的数量关系； (2)如图2，当点在边的延长线上时，请你判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，点在边上，且，点为的中点，在点从点沿射线运动的过程中，的周长的最小值为___________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）延长到，使，连接，由正方形的性质得出，，由证明，得出，，证出，由证明，得出对应边相等即可得出结论； （2）在上截取，连接，．同（1）法可证，所以，，再证明，然后证明，得，即可得出结论； （3）过点作直线交于，当与点关于对称时，，最小，最小值为，即可获得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长到，使，连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 在上截取，连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作直线交于，如下图， 当点在射线上运动时，点在运动，点在射线上运动， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， 当与点关于对称时，，最小，最小值为， ∴，由勾股定理得， ∵的周长， ∴当最小，此时，的周长的最小， ∴的周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定、最短距离问题、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质的综合运用是解题的关键． 26．如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断； （3）过作于点，过作于点，勾股定理求得，根据已知条件得出，进而求得，勾股定理求得，进而根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 即， 又点是正方形对角线上的一点，平分， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：，理由如下： 矩形为正方形， ，． 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ． 在中， ． （3）解：如图所示，过作于点，过作于点， ∵正方形的面积为， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等． 27．如图，正方形的边长为，点是 边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2)， 【分析】（1）如图，过点作于点，结合正方形的性质证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理及正方形的性质得，，继而得到，在中，推出，求得，得到，进一步推出，即可得证； （2）如图，设平行四边形的边与交于点，证明四边形是矩形，推出平分，即与的交点为符合条件的点，然后在中，，，，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 证明：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，，，，， AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝45° ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形； （2），，之间的数量关系为：． 如图，设平行四边形的边与交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即平分， 即与的交点为符合条件的点， 在中，，，， ∴，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握特殊四边形形的判定与性质是解题的关键． 28．在中，，，D是边上的动点，连接． (1)如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； (2)如图2，若，求的最小值； (3)如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为； (3)，理由见解析 【分析】（1）利用斜边中线的性质求得，利用直角三角形的性质求得，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明结论成立； （2）在外作，作交于点，交于点，得到，此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）作边的中点，连接，依据“”判定和全等得，进而可证，据此即可得出；过点作交于点，先证和全等得，，再证即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵，D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在外作，作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴，此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的最小值为； （3）解：，，之间的数量关系是，理由如下： 作边的中点，连接， 在中，， 同理为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 过点作交于点，如图： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决问题的关键． 29．在正方形中，点E为边上一个动点（点E不与点B，C重合），连接，点F在对角线的延长线上，连接，使得．作点F关于直线的对称点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）作交延长线于H，延长到G，使，连接，即可； （2）根据，得，再根据，，得到，再根据轴对称的性质得，即可得出结论； （3）先证明，，不规则证明，得，根据，代入即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F与点G关于直线的对称， ∴ ∴ （3）解： 证明：∵正方形， ∴，，， ∴， ∴ ∵点F与点G关于直线的对称， ∴，， ∴， ∵交延长线于H， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴， 即． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三我的判定与性质，三角形外角的性质，对顶角性质，轴对称的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键． 30．如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接． (1)求证：； (2)如图2，点G为的中点，连接． ①是什么特殊三角形，并说明理由； ②线段与之间的有什么数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)①是等边三角形，理由见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，则，即可证明； （2）①连接，通过证明，推出，进而得出，则，即可得出，得出结论是等边三角形；②设，先求出，则，通过证明是等边三角形，得出，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：①连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点，， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； ②，证明如下： 证明：设， ∵是等边三角形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点G为的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用． 【类型4 动点存在性问题】 31．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动停止时，______，线段的长为______； (2)①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；；；② (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用： （1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的的长即可； （2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，则，据此列出方程求解即可； （3）根据题意可得四边形为平行四边形，则，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动9秒后停止，即， ∴， 故答案为：；； （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：；；； ②∵， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形， ∴此时有， ∴， 解得； （3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且， ∴此时四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得． 32．如图，在平行四边形中，于点，点在的延长线上，且，点是线段上的动点（点与点，点不重合），连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，在同一平面内是否存在点使以点为顶点的四边形是矩形？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析；当，即时，；当，即时， 【分析】（1）由等腰三角形性质得到，再由平行四边形性质得到，根据，在中，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案； （2）由平行四边形性质可得，进而在中，在中，由勾股定理求出线段长，利用三角形面积公式代值求解即可得到答案； （3）以为顶点构造平行四边形，如图所示，分三种情况讨论，由矩形性质，在（2）的条件下由勾股定理及三角形全等的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得，即， 在平行四边形中，， ， ， ； （3）解：存在， 理由如下： 以为顶点构造平行四边形，如图所示： 当四边形为矩形时，则，即，如图所示： ， 由（2）知，，显然，矛盾，此种情况不存在； 当四边形为矩形时，则，即， 四边形为矩形， ， 在中，，则，由（2）可知， ； 当四边形为矩形时，则，即， 过作于，如图所示： 在中，，，则由勾股定理可得， 由（2）可知，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 由（2）可知， 在中，， 在和中， ， ， 设， 在中，①；在中，②； 由①②得，则， 四边形为矩形， ； 综上所述，在同一平面内是否存在点使以点为顶点的四边形是矩形，当，即时，；当，即时，． 【点睛】本题考查平行四边形综合，综合性强，难度较大，涉及等腰三角形性质、平行四边形性质、直角三角形性质、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，根据题意，数形结合，分类讨论是解决问题的关键． 33．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若，请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P；存在，P 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到的坐标，再由角平分线以及平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； （3）要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数、一次函数上点的坐标特征、矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 四边形为矩形， ，，，， ， ，， ，， ， 为的平分线， ， ， ， 为中点， ， ， 由勾股定理可得， ， ． （2）解：①四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点， ，， ， ， ， ， ， ， ，． ②存在， 点是射线上的动点， 设， ，， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得， ，． 34．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是，连接． (1)求直线的解析式； (2)若过点A作轴于点F，交于点G，若点P是x轴正半轴上一动点，且满足，求点P的坐标； (3)若直线与相交于点M，Q为平面内任意一点，在x轴是否存在N点，使得以O、M、N、Q为顶点且以为边的菱形，若存在，请直接写出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或者 (3)或或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点， （1）利用待定系数法求出k值即可得解； （2）分当点位于的左侧时和当点位于的右侧时两种情况讨论即可得解； （3）利用菱形的性质和点的坐标特征分情况讨论即可得解；熟练掌握其性质，准确画出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为． （2）当点位于的左侧时，如图，作于点，交于点， ， ∴， ∵， ， ， 点的横坐标为2， ∴代入得， 点， ， ， 点的坐标为； 当在的右侧时，如图所示， ， ∴， ∵， ， ， 点的横坐标为2， ∴代入得， 点， ， ∴， ∴点的坐标为， 综上所述，或者； （3）设直线的解析式为， ∴，解方程组得：， ∴， ∴，解方程组得：， ∴直线与的交点的坐标， ∴， 如图所示， 当四边形和四边形为菱形时， ∴， ∴或， 当四边形为菱形时， ∴垂直平分时， ∴， ∴， 综上所述：以为边的菱形得或或 35．如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． (1)若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在秒，使得四边形为菱形 【分析】该题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是矩形，即可得出，表示出， ，当四边形是矩形时，列出方程求解即可； （2）当点Q的运动时，表示出，当时，解出秒，此时得出，即可得四边形为菱形，故存在，使得四边形为菱形． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当点Q的运动时，， 则， 当四边形是矩形时，则， 即， 解得：秒； （2）解：当点Q的运动时，， 当时， 即，解得：秒， 此时，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形， 故存在秒，使得四边形为菱形． 36．如图，在四边形中， ，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为______，的取值范围为______． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10，； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识 （1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点，运动路程和速度可得的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）当四边形是菱形时，有，根据计算发现，所以四边形不可能是菱形. 【详解】（1）解：如图1，过点作于，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由勾股定理得：； 点从点出发，以的速度向点运动，， 点运动到的时间为：， 同理得：点运动到点的时间为：， ； 故答案为：10，； （2）解：如图所示，当是矩形时，， ，， ， 解得：； （3）解：不存在，理由： 当四边形是菱形时，有， 即， ， 此时， ， 四边形不可能是菱形． 37．如图1，已知四边形是矩形，点是射线上的动点，当点运动到的角平分线上时，连接，交于点，交于点，点在是线段的中点，连接，． (1)证明：； (2)点是线段上一点，连接，，，当时，证明：； (3)在（2）的基础上，是否在射线上存在一点，使得四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当在和射线的交点时，四边形是菱形 【分析】（1）可证得，，从而得出，从而，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，可证得，从而，从而得出，根据直角三角形的性质得出，从而得出，进一步得出结论； （3）当在和射线的交点是，四边形是菱形，理由如下：设，由（）知，是的垂直平分线，从而，，根据，得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 点在的平分线上， ， ， ， 是的中点， ； （2）证明：如图1， 延长，交的延长线于点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 由（1）得，，是的中点， ， ， ； （3）解：如图1， 当在和射线的交点时，四边形是菱形，理由如下： 设， 由（2）知，，是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 38．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)运动中，是否存在这样的t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或时， (3)当的值为或者或者时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及采用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据题意有：，，进而有； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过D点于H；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 故答案为：；； （2）解：当，四边形是平行四边形时，即有：， ∴， 解得，； 当时，四边形是等腰梯形时， 过P点作于M，过D点于N，如图， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵梯形为等腰梯形，于M， ∴，， ∵， ∴， 解得， 综上所述：或时，． （3）解：存在，理由如下： 由题意得，，， ∴，， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时，过D点于H，如图， 根据（2）可知：， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴， 解得； 当为等腰三角形，且时， 过D点于H，过Q点于G，如图， 根据（2）同理可知四边形四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，由勾股定理， ∴， 解得：， 综上所述：当的值为或者或者时，为等腰三角形． 39．如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． （1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故答案为：； （2）∵当四边形为平行四边形时，， 根据（1）可算出， ∴， 解得． （3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ， ∵此种情况不存在； ①当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得； ②当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得：； 综上，当或2时，为直角三角形． 40．如图1，为矩形的对角线，的平分线交于点E，交的延长线于点F．点P是线段上的动点，以为对角线作正方形(点按顺时针方向排列)． (1)求证：； (2)已知， ． ①如图2，若点M落在边上，求的值； ②在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或6或或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，则，根据角平分线的定义可得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）①连接交于点，过点作于点，证明是等边三角形，证明，在中，得出，进而可得，即可求解； ②分四种情况讨论：当落在上时；当落在上时；当落在上时；当落在上时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∴， ∴； （2）①连接交于点，过点作于点，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，． 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 则， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ， ， ， ， ， ； ②当落在上时，如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当落在上时，如图所示， 同理可得， ∴； 当落在上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∴； 当落在上时，如图所示， 同理可得，， ∴； 综上，满足条件的的长为或6或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握以上知识以及分类讨论是解题的关键． 【类型5 动点求值问题】 41．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情景：在矩形中，点为边上一动点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点、分别落在点、处，设． (1)如图1，若，，点为的中点，延长交于点．则与的数量关系是 　　，写出图中一个的角：　　； (2)如图2，若点为的中点，，，延长交于点．求与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出，由折叠的性质得出，则可得出答案； （2）连接，方法同（1），由全等三角形的性质得出； （3）根据题意，分两种情况：①若点为的三等分点，且，②若点为的三等分点，且，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 为的中点， ， 四边形为矩形，， 四边形是正方形， ， 将正方形沿折叠， ，， ，， 又， ， ， ，将四边形沿折叠， ， ， 故答案为：，； （2）解：． 理由如下： 连接，如图所示： 为的中点， ， 将矩形沿折叠， ，， ，， ， ； （3）解：①若点为的三等分点，且，如图所示： ， ，， 过点作于，如图所示，则四边形为矩形， ，， ， ， 将矩形沿折叠， ，，， ， ； ②若点为的三等分点，且，如图所示： ，， 过点作于，同理可得，， ， 同理，由折叠可得，，， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 42．已知正方形，点F是射线上一动点（不与C、D重合）．连接并延长交直线于点E，交于H，连接，过点C作交于点G．    (1)若点F在边上，如图1 ①证明： ②猜想的形状并说明理由． (2)取中点M，连接．若，正方形边长为4，求的长． 【答案】(1)①见解析；②是等腰三角形，理由见解析； (2)7或1． 【分析】（1）①只要证明，即可解决问题； ②只要证明，即可解决问题； （2）分两种情形解决问题.①如图当点F在线段上时，连接，②当点F在线段的延长线上时，连接．分别求出即可解决问题. 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：结论：是等腰三角形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）①如图当点F在线段上时，连接．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． ②当点F在线段的延长线上时，连接．    同法可证是的中位线， ∴， 在中，， ∴． 综上所述，的长为7或1． 43．如图，正方形中，，E为边上一点，，连接 ，． 点 为线段上一个动点，，将沿线段折叠，得到 ，连接 ． (1)求，的长； (2)当点落在线段上，求的长； (3)连接，若为等腰三角形，求的值及． 【答案】(1)，； (2) (3)的值面积为或，面积为4． 【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理解答即可； （2）利用折叠的性质得到，利用三角形的面积公式和正方形的性质得到正方形的面积，进而求得，再利用勾股定理解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答∶①当CF=FD时，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到为等边三角形，则，利用折叠的性质解答即可；②当时利用等腰三角形的性质和正方形的性质得到为等边三角形，则， ，利用折叠的性质解答即可；③不存在的情形，综上即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形中，，E为边上一点， ， ， ， ， ； （2）当点F落在线段上，如图， 则，， ． ．E为边上一点， ， ， ， ， ； （3）①当CF=FD时，连接BF，如图， ，．将沿线段折叠，得到， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； 过F作于N，交于M， 则， 四边形为矩形， ，， 为等腰三角形， ， 由折叠的性质得∶， ， 的面积； ②当时，如图， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 作于M，于N，如图所示∶ 则， 由折叠的性质得∶ ， ， 为等边三角形， ， 在中， ， ， 的面积； ③不存在的情形， 综上，若为等腰三角形，的值面积为或，面积为4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 44．在中，，点D是边上的一个动点，连接．作，，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当四边形是菱形时， ①在图2中画出四边形，并回答：点D的位置为 ． ②若，，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析， (2)①见解析，为的中点；② 【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，进而结论得证； （2）①由题意作图如图2，由四边形是菱形，可得，则，由，可得，则，，即为的中点；②如图2，记的交点为，则，，，由勾股定理求，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）①解：如图2， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点； ②解：如图2，记的交点为， ∵四边形是菱形，为的中点，，， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理是解题的关键． 45．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，， ，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形， ，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据题意由勾股定理可得长度，作，交于，利用旋转及互余可证得，则得，，可求出，再由勾股定理可得的长度； （2）由旋转可知，为等腰直角三角形，根据其性质再利用互余可证得，则有，，由，可证，由，利用三角形内角和定理可得，作，交延长线于，连接，易知，为等腰直角三角形，可得，，，易得，可证四边形是平行四边形，即，利用可得证结论； （3）作，交于，将绕点逆时针旋转，证明，进而证得，作点关于的对称点，连接，，由对称易知，易知当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图，作，交于，易知四边形是矩形，证得是等边三角形，求出，的高，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵为的中点，，，， ∴， 则由勾股定理，可得：， 作，交于， 由题意可知，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 则， 由勾股定理可得：； （2）证明：由旋转可知，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， 由三角形内角和定理可得：， 即：， ∴， 作，交延长线于，连接，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴； （3）作，交于， ∵是等边三角形， ∴，，平分， 则， 将绕点逆时针旋转，则，， ∴， ∴， ∴ ∴， 作点关于的对称点，连接，，由对称易知，， ∴ 当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图： 作，交于，则， ∴，， ∵，， ∴，，四边形是矩形， 则，，即， 由轴对称可知，， ∴是等边三角形，则：， ∵， ∴，， ∴，， 则由勾股定理可得：，， ∵，， 则为，之间的距离， ∴，即的高 ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，第（2）问证明，解决问题的关键，第（3）问弄清点的运动轨迹是解决问题的关键． 46．在正方形中，，且点为上的一动点，以为边作正方形，如图1所示，连接．    (1)求证：； (2)如图2，延长交于点． ①求证：； ②若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）求出，利用“”证明即可； （2）①由全等三角形的性质可知，然后根据平行线的性质和对顶角的性质可证，求出，可证结论成立；②根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理构建方程求出，进而可得的长． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ， ， 在和中，， ， ； （2）①， ， 又∵四边形为正方形， ∴， ， ， ， ， 又， ∴， ， ， ； ②， ， 又，， ∴， ∴，， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键． 47．如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． (1)①填空： ， ； ②当时． 求证：，； (2)如图2，当时，连接，若，求的长； (3)如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 【答案】(1)①，，②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①证明是等边三角形，，，，再进一步解答即可；②由等边三角形，是等边三角形，证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）由（1）得：，，，，求解，可得，结合（2）同理可得：， ，同理：，再进一步可得答案； （3）由（1）同理可得：，求解，同理：，而，，再进一步利用勾股定理可得答案； 【详解】（1）解：①在菱形中，，， ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （2）解：由（1）得：，，，， ∵， ∴， ∴， 结合（2）同理可得：， ∴， 同理：， ∴； （3）解：由（1）同理可得：， ∵，， ∴， 同理：，而，， ∴，； 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的性质，化为最简二次根式，熟练的利用类比的方法解题是关键. 48．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，， ∴； 由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 49．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形，如图1所示． (1)证明平行四边形是菱形； (2)如图2所示，，，M是的中点，连接，，求的长． (3)如图3所示，若，线段与交于点O，点M是线段上的一个动点，连接，直接写出的最小值，并写出此时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的最小值是； 【分析】（1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． （3）如图3，连接，，先证明是等边三角形，从而得，，进而证，得当、、三点共线时，+最小，最小值为的长，利用勾股定理求得最小值，再证明点是的重心，即可求得． 【详解】（1）证明∶∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）解：如图中，连接、、，    ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又由（1）可知四边形为菱形， ∴四边形为正方形． ∵， ∴， ∵为中点，四边形为正方形． ∴，，， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：如图3，连接，，    ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，，，， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，+最小，最小值为的长， ∵，， ∴最小值 ， 如图，    当+取最小值时， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是的重心， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形的重心等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解题的关键． 50．如图1，在四边形中，， 点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒． (1)当四边形为平行四边形时，求t的值． (2)如图2，将沿翻折，得，当四边形为正方形时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，根据条件证明矩形，即可表示出；然后依据平行四边形性质即可求解； （2）根据正方形性质可得，进而得到，即可求出． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 四边形为平行四边形时，， ， 解得：； （2）解：四边形为正方形， ， 沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$