专题05 特殊平行四边形动点问题分类训练（7种类型42道）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05特殊平行四边形动点问题分类训练 (7种类型42道) 11 考点归纳 考点01动点问题与一次函数综合 考点02动点求值 考点03动点定值问题 考点04动点最值问题 考点05动点存在性问题 考点06动点探究两条线段数量关系 考点07动点探究三条线段数量关系 考点专练 考点01动点问题与一次函数综合 1.如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB的方向匀速运动，运动 到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图像如图②所示，则AB的长为() D 65 ① ② A.5 B.26 C.35 D.46 2.如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D一B→C的路径行进，过点P作 PQ⊥CD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,若PQ-DQ=y,y与x的函数图像如图2，则AD的长为(. D D 图1 图2 A. B.5 c.9 D.2W5 4 1/16 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图1，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x, △ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于() 0 510 18x 图1 图2 A.8V3 B.12 C.20 D.24 4.如图1，在正方形ABCD中，动点P从点A出发，在正方形的边上以1cm/s的速度沿A→B→C→D运 动.设运动的时间为t(s,△APD的面积为Scm),S与t的函数图象如图2所示，则图2中a的值为() S/cm 061218ts 图1 图2 A.6 B.12 C.18 D.24 5.如图1，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，动点P从点A出发，沿着A→B→C的路径以1cms的 速度运动到点C,设点P的运动时间为x(s),△PEC的面积为y(cm2),y与x的函数图象如图2所示，则 △PEC面积的最大值为() D Ay/cm 4 x/s 图1 图2 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,动点P从点B出发，沿路线B-C-D做匀速运动，那么 △ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致为() 2/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 2 D 1 3 1 23 考点02动点求值 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E在边AD上，且ED=3,M、N分别是边AB、BC上的 动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PW.若PM+PN=4,则线段PC的长 为 D 8.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点P是射线BC上一动点，I为矩形的一条对称轴，将△ABP沿 AP折叠，当点B的对应点B落在I上时，BP的长为 A Bi- 9.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点M,N分别在AD,BC上，且3AM=AD.3BN=BC,E为 直线BC上一动点，连接DE,将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC'E,当点C恰好落在直线MN上时， C'M= _,此时CE的长为_ 3/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B NE M D C .DC'=DC=5,C'E=CE, B N :AM=2, DM=AD-AM=6-2=4, 如图，在RtaC'MD中，C'M=VDC2-DM2=V52-42=3, .C'W=MN-CM=5-3=2, :∠CDM=∠DCN=∠NMD=90°， :.四边形CDMN是矩形， .CN=DM=4,∠CNM=90°，NE=CN-CE=4-CE, 在Rt△CNE中，：NE2+C'N2=C'E2, (4-CE)2+22=CE2, 解有：QE一 如图，在Rt△C'MD中，C'M=√DC2-DM2=V52-42=3, M D .CW=MN+C'M=5+3=8, E B N--C :∠CDM=∠DCN=LNMD=90°， :.四边形CDMN是矩形， .CN=DM=4,∠CNM=∠MWE=90°，NE=CE-CN=CE-4, 在Rt△CNE中，：NE2+C'W2=C'E2, ∴.(CE-4)2+82=CE2, 解得：CE=10, 10.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD足够长，E是边AD上一动点，以CE为边向右侧作正方形 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EFGC,则当△FDG是等腰三角形时，正方形EFGC的面积为 A A G B 11.如图，在矩形ABCD中，AD=9,AB=6,点P为AD边上一动点，连接CP,以CP为一边在CP左侧作 等边△CPE,连接BE,当BE最短时，DP的长为 PD E B 12.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是AD边上的中点，P是AB边上的一动点，M、N分别 是PE、PC的中点，则线段MN的长为】 A E D B 考点03动点定值问题 13.如图1，正方形ABCD的边长为2.E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延 长线上的一点，且GB=DF. O BE BE M 图1 图2 (1)求证：AG⊥AF: (2)试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF,垂足为H.求MH的最小值. 14.如图，在四边形ABCD中，AB=CD=3,AD=BC=4,∠A=90°，点E是边AD的中点.点P是边AB上 的动点（点P不与点A重合），连结EP,将线段EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EQ,连结PQ、BQ. 5/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A D (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)点？到边AD的距离是否为定值；请说明理由； 3)当点Q到边CD的距离是)时，线段BP的长为 15.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=6,点E为BC上一动点，延长BC到点F,使CF=CE ,且AF分别交DE,DC于点G和点H, B (1)将△DEB沿DB对折，使点E落在E处，若LADE'=45°，求∠EDE的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E,使得四边形AEFD是平行四边形？若存在，请说出E点位 置，并证明四边形AEFD是平行四边形，若不存在，请说明理由 3)若AG=6,探究CF2+GF是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由. 16.综合与探究 如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=a,P是边BC上的一动点，连接PA,将PA绕点P顺时针旋转a ,得到PQ,连接AQ M 图1 图2 1)①求证：∠PAQ=∠BCD. 2 ②若四边形ABCD为菱形，延长BC至点M,使得MC=BP,连接QM.求证：∠APQ=∠PMQ. 2如图2，若四边形ABCD为正方形，MP=BP,连接DM,DQ,则D0 DM 的值是否是该定值？若是，请直 接写出该定值；若不是，请说明理由. 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.如图，正方形ABCD边长为3√2，E为正方形对角线BD上一动点，连接CE,将线段CE绕C点顺时针 旋转90°得到CF,连接DF、EF. (1)判断△DEF的形状，并说明理由； (2)取EF中点G,连接BG,CG,则△BCG的面积是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是定值， 请说明理由， (3)点H是点G关于直线BD的对称点，直接写出线段AH的最小值. 18.【探究活动】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点.某数学兴趣小组进行了如下探究： A D A E F M 图1 图2 备用图 (1)如图1，过点E分别作垂线EF,EG,交BC,CD边于F,G两点.求证：四边形EFCG是正方形： (2)如图2，连接DE,过点E作EM⊥DE,交BC于点M,以DE,EM为邻边作矩形DEMN,连接CN.在 点E移动过程中. ①求证：CE+CN=V2AB; ②四边形DECN的面积是定值吗？ 考点04动点最值问题 19.如图1，在Rt△ABC中，AC=2,∠B=30°，点P为边AB上的一个动点，连接CP,将CP绕点P逆 时针旋转90°得到线段PQ,设AP=x, D B 图1 图2 备用图 (1)PC的最小值为-，此时x=-: (2)当∠BPQ=15°时，∠BPC=-: (3)当点Q落在BC上时，求x的值； 7/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)连接BQ,直接写出BQ的最小值 20.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点 A作AE⊥CD交CD的延长线于点E; B (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=2,AC=2V3,求AE的长： (3)在(2)的条件下，己知点P是线段AC上的一个动点，则PD+PE的最小值为 21.在正方形ABCD中，E是边CD上一动点，F是边BC的中点. D E B 图1 图2 (1)连接AE,AF. ①若点E是CD的中点，则AE AF;（填“="或“≠”") ②如图1，若∠AED=2∠EAF,用等式表示线段AE,CE,CF之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作PE⊥CD交BD于点P,过点P作PG⊥BC于点G,连接 PF,EG,求PF+EG的最小值. 22.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是BC边上一个动点，连接AE,AE的垂直平分线MN交 AE于点M,交BD于点N.连接EN,CN. E (1)求证：EN=CN; (2)若CE=2BE,BN=4V5,求菱形ABCD的面积； (3)若AB=4,求2EN+BN的最小值 23.己知：如图，在正方形ABCD中，点P在BD上，PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为E、F,CE=2, 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CF=4. D B B (1)试判断四边形PECF的形状，并说明理由； (2)连接AP,求AP的长； (3)若点Q是BD上的一动点，求△QCF周长的最小值. 24.如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为F、G,连接 DE、GF,正方形ABCD的周长是40cm. D E C G B (1)求证：四边形EFBG是矩形； (2)求FG的最小值. 考点05动点存在性问题 25.如图1，在矩形0ACB中，点A,B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，0A=8,0B=6. y y B B B C D 0 A x 图1 图2 图3 (1)请直接写出点C的坐标； (2)如图2，AF平分∠BAC交BC于点F,求△ACF的面积： (3)如图3，动点P在第一象限或x轴上，且点P在直线y=2x-4上，点D在线段AC上，是否存在以点P为 直角顶点的等腰直角三角形BDP,若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 26.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B(4,2),E为直线AC上 一动点，连OE,过E作GF⊥OE,交直线BC、直线OA于点F、G,连OF. 9/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y B B G A (1)求直线AC的解析式. (2)当E为AC中点时，求CF的长. (3)在点E的运动过程中，坐标平面内是否存在点P,使得以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，若存 在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由 27.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3分别与x轴、y轴交于点A、B,ABC是以AB为直角 4 边的等腰直角三角形，∠BAC=90°. B A 0 A (1)求C点坐标； (2)点P在直线x=2上，S△ABP=6,求P点坐标； (3)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外)，试探索在x轴的上方是否存在另一个点N,使得以O、 B、M、N为顶点的四边形是菱形？不存在，请说明理由；若存在，求出点N的坐标。 28.如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直 线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F. B (1)求证：EB=BF; 2)当O5为何值时，四边形AB0F是矩形？证明你的结论： OA (3)是否存在点A、B,使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由 29.将两个全等的直角三角形如图摆放，其中∠ACD=∠CAB=90°，AB=CD=3,AC=4,动点P从点A 10/16 专题05 特殊平行四边形动点问题分类训练 （7种类型42道） 考点01 动点问题与一次函数综合 考点02动点求值 考点03动点定值问题 考点04动点最值问题 考点05动点存在性问题 考点06 动点探究两条线段数量关系 考点07 动点探究三条线段数量关系 考点01 动点问题与一次函数综合 1．如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作交于点，设菱形的边长为， 在菱形中，，， 在中，， ∴， ∴ 由图2得 解得，（负值已舍去）， 所以，的长度为， 故选：B． 2．如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，若，y与x的函数图像如图2，则的长为（    ）． A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形的性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解∶由图象得∶当点P运动到点C时，、两点重合， ∵，，， ． 当时，，，点P在上，此时， ， 如图 在矩形中， 设，则，． 在中， ， 即∶， 解得∶． ， 故选∶A． 3．如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A． B．12 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、菱形的选择等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 时，时，，则时，，则，进而求解． 【详解】时，， 时，，则， 时，，则， 如图，过点作交于， 在中， ， ∴，而，故， 当时，点与点重合，即， ， 故选：B． 4．如图1，在正方形中，动点从点出发，在正方形的边上以的速度沿运动．设运动的时间为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则图2中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质及三角形的面积，由图2知，当时，，继而，即可得解．求得解题的关键是要正确理解题意并能从函数图象中获取相应的信息． 【详解】解：∵在正方形中，动点从点出发，在正方形的边上以的速度沿运动， 由图2知，当时，， 此时点点与点重合， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图1，在正方形中，E是边的中点，动点P从点A出发，沿着的路径以的速度运动到点C，设点P的运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，一次函数的性质，根据点P的运动过程，分情况讨论的面积变化，再结合图象求出面积最大值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可知，点P从点A运动到点C所用时间为， 因为运动速度为， ∴正方形的边长为：， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 当点P从上运动时，的底边不变，边上的高越来越大，即y随x的增大而增大； 当点P从上运动时，的高为，底边越来越小，即y随x的增大而减小； ∴当点P运动到点B时，的面积最大， ∴面积的最大值为：， 故选：B． 6．如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积与点运动的路程之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：（）； 从点到点，的面积一定，为：， 所以的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是： 故选：D． 考点02动点求值 7．如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M、N分别是边、上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】在上取一点，使，连接， 证明，再证明四边形是正方形，可得，再根据勾股定理即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 如图，在上取一点，使，连接， ，，， ， ， ， ∵， ， 、、三点共线且，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，作出适当的辅助线是解题关键． 8．如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识，分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，设直线l交于E，交于F． 由题意：， ∵， ∴， 设， 在中，则有：， ∴， ∴， 当点P在的延长线上时，设， 在中，则有：， 解得， ∴， 故答案为：或15． 9．如图，在矩形中，，点分别在上，且．，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时， ，此时的长为 ． 【答案】 或10 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， 如图，在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 解得：． 如图，在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 解得：， 故答案为：，或10． 10．如图，在矩形中，，足够长，是边上一动点，以为边向右侧作正方形，则当是等腰三角形时，正方形的面积为 ． 【答案】8，20，5 【详解】解： 过点F作交的延长线于点H，过点G作于点K，如图，则 ． ∵四边形是矩形，四边形为正方形， ∴． ∵ ∴． 在和中， ， ∴ ∴． 同理，可得 ∴． 设则， ∴． 在中，． 在中，． 在中， ∴， ①当时， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， 即正方形的面积为8； 如图所示 ②当时， ， 解得：(不符合题意，舍去)或， ∴， ∴； 即正方形的面积为20； 如图所示 ③当时， ， 解得， ∴； 即正方形的面积为5； 如图所示 综上所述，正方形的面积为8，20，5． 11．如图，在矩形中，，点为边上一动点，连接，以为一边在左侧作等边，连接，当最短时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：在上方作等边三角形，交于，连接，过作交于， 在矩形中，， ∴，，， ∵等边和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当与重合时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵中，，，， ∴ ∴（负值舍弃）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与重合时，最短，此时； 故答案为：． 12．如图，矩形中，，，点E是边上的中点，P是边上的一动点，M、N分别是、的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟记矩形的性质和三角形中位线定理，由勾股定理求出的长是解题的关键． 连接，根据矩形的性质和勾股定理求出的长度，再根据三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵E是边上的中点， ∴， ∴， ∵M，N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 考点03动点定值问题 13．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 14．如图，在四边形中，，点是边的中点．点是边上的动点（点不与点重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)点到边的距离是否为定值；请说明理由； (3)当点到边的距离是时，线段的长为_________． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)点到边的距离是定值，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、矩形的判定和性质及三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定定理和性质，注意分类讨论． （1）先证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是矩形； （2）过点作于，根据旋转的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出点到边的距离是定值； （3）分点在左侧和点在右侧两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：点到边的距离是定值，理由如下： 如图，过点作于， ∵点是边的中点， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点到边的距离是定值． （3）解：如图，当点在左侧时，过点作于， ∵点到边的距离是， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴． 如图，当点在右侧时，过点作于，于，交延长线于， 同理可得：四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述：线段的长为或． 故答案为：或． 15．如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，是的中点时，四边形是平行四边形 (3)是定值， 【分析】（1）由菱形的性质得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由菱形的性质得，，结合是的中点时，由平行四边形的判定方法，即可得证； （3）过作交的延长线于，由菱形的性质和等腰三角形的判定及性质得，结合菱形的性质，设，则，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形，， ， ， ， 由对折得：； （2）解：存在，是的中点时，四边形是平行四边形， 证明：如图， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点时， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，直角三角形的特征，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，掌握菱形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 16．综合与探究 如图1，在平行四边形中，，P是边上的一动点，连接，将绕点P顺时针旋转α，得到，连接． (1)①求证：． ②若四边形为菱形，延长至点M，使得，连接．求证：． (2)如图2，若四边形为正方形，，连接，则的值是否是该定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的值是定值． 【详解】（1）解：①∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵将绕点P顺时针旋转α，得到，连接， ∴，， ∴． ∴； ②∵， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的外角，， ∴，即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：的值是定值． 如图，延长至N，使，连接、， 在与中， ， ， ，； ， ∴是线段的线段垂直平分线， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ∵四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， ∵ ； 如图：延长交于E，则， ， ， 四边形内角和为，，， 在中，， ，即 17．如图，正方形边长为，为正方形对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、． (1)判断的形状，并说明理由； (2)取中点，连接，，则的面积是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是定值，请说明理由． (3)点是点关于直线的对称点，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)是定值，为 (3) 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 四边形是正方形，为对角线， ，，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 又，， ， 在和中： ， ， ， ， 是直角三角形； （2）是定值，如图，连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， （3）解：如图， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， 由（2）可得， ∴的最小值为． 18．【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②四边形的面积是定值．证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图： 由（1）知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②解：四边形的面积是定值． 理由：∵， ∴， ∴四边形的面积 ． 考点04动点最值问题 19．如图1，在中，，，点为边上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，设． (1)的最小值为 ，此时 ； (2)当时， ； (3)当点落在上时，求的值； (4)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)； (4)． 【详解】（1）解：当时，的值最小， 在中，，， ， ， ， ，． 故答案为：，； （2）如图1， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， 如图， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， 综上所述，或， 故答案为：或； （3）作于点，如图所示， 由题意可知， 则 ∴，即 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ 即， 解得 （4）如图5，以为直角边作等腰直角三角形，以为边向下作等腰直角三角形， 补全矩形，连接， 当从运动到点，点从运动到点，即点在定直线上运动，当时，最小，作， ，， ∴ ∴ 即的最小值为． 20．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点A作交的延长线于点E； (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点P是线段上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：如图：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由条件知，， ∵四边形是菱形． ∴， ∴， ∴， ∵AB=AD，AC平分∠DAB， ∵， ∴，解得：． （3）解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴当共线时，有最小值， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 21．在正方形中，是边上一动点，是边的中点． (1)连接． ①若点是的中点，则______；（填“”或“”） ②如图1，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若正方形的边长为2，过点作交于点，过点作于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)①=；②，见解析 (2) 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②，理由如下： 在正方形中，，，， ． ， ， ． 方法一：延长交的延长线于点． ∵ ，， ∴， ． 点是的中点， ， ∵， ， ． ， 即． 方法二：过点作于点H，连接， ，， ． ， ， ． 点是的中点， ∴， ， ∵， ， ， ，即． （2）解：连接． 在正方形中，，，， 且， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 当三点共线时，取得最小值， 即． 点是的中点， ， ， 最小值为． 22．如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】对于（1），先连接，根据菱形的性质得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据线段垂直平分线的性质得出答案； 对于（2），作，结合（1）说明，再根据菱形的性质和直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可求出，接下来，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（3），如图：连接，可得，进而得，可知当点A、、三点共线时,即时，取得最小值，求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图1：连接， 四边形是菱形， ． ， ， . 是的垂直平分线， ， ； （2）解：如图1：过点作于点， ， ， 即． ， ． ∵四边形是菱形，， ． ， ， ， ， 过点A作于点， 在中，， ∴ 根据勾股定理，得， ； （3）解：如图：连接， ， ， ， 当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值， 在中，由（2）得：， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线是解题的关键． 23．已知：如图，在正方形中，点P在上，，，垂足分别为E、F，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，求的长； (3)若点Q是上的一动点，求周长的最小值． 【答案】(1)矩形；理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质及，，得，则四边形是矩形； （2）连接，则垂直平分，因为，所以， （3）连接，可证明，则，则，求得，由，据此求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形， 理由：∵四边形是正方形，，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接，则垂直平分， ∵， ∴， ∴的长是； （3）解：连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题重点考查正方形性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 24．如图，点是正方形的对角线上一动点，，，垂足分别为、，连接、，正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）正方形的性质得到，根据三个角为90度的四边形为矩形，即可得证； （2）连接，矩形的性质，得到，得到当最小时，最小，再根据垂线段最短，求出的最小值即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形 ， ，， ，； 四边形是矩形． （2）连接， 四边形是矩形， ； 当时，取最小值，即取最小值， 四边形是正方形，正方形的周长是 ，， 在Rt中，， ， ， 解得：； 即的最小值为． 考点05 动点存在性问题 25．如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)请直接写出点的坐标； (2)如图2，平分交于点，求的面积； (3)如图3，动点在第一象限或轴上，且点在直线上，点在线段上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点P的坐标或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，一次函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据矩形的性质写出点C的坐标，即可求解． （2）根据勾股定理求得证明，得出，，，进而勾股定理建立方程求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； （3）设点．分类讨论：①当点在下方时，过点作，交轴于点，交于点，证明，得出此时点；②当点在的上方时，过点作，交轴于点，交的延长线于点同理，可证，得出的长，即可得出点P的坐标. 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴； （2）解：过点作交于，如图： ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 解得， ； （3）解：存在，理由如下：           设点． ①当点在下方时，过点作，交轴于点，交于点，如图： 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得， ∴点． ②当点在的上方时，过点作，交轴于点，交的延长线于点，如图： 同理，可证， ， ， 解得， ， 点； 综上分析可知：点P的坐标为或． 26．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，为直线上一动点，连，过作，交直线、直线于点、，连． (1)求直线的解析式． (2)当为中点时，求的长． (3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式：； (2)； (3)存在，点横坐标为：或或或 【分析】本题考查了矩形性质，菱形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是寻找数量关系，用勾股定理方程． （1）设直线的解析式：，将，两点坐标代入，进而求得结果； （2）设，可证得，进而在中，根据勾股定理列出方程，进一步求得结果； （3）当以，为边时，根据（2）可求得点和点坐标，进而求得点横坐标；当以，为边时，延长至，使，在的延长线上截取，连接，可推出平分，从而得出，可证得，进而求得点点坐标，在中，根据勾股定理列出方程，进一步可求得点横坐标；当，为边时，作于，连接，则四边形是矩形，，设，则，在中，,，根据勾股定理建立方程，可求得，进而求得点横坐标，当点在的延长线上时，当时，则，同理求得点的坐标，即可得出点横坐标． 【详解】（1）解：矩形的顶点、分别在轴、轴上，且， 点，点， 设直线的解析式：， 代入点，坐标， 得， 解得， 直线解析式：； （2）解：为的中点， ， 在矩形中，， ， 又， ， ，， ， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， 得， 解得， ； （3）解：存在以、、、为顶点的四边形为菱形，分情况讨论： 以，为边， 则， ， 为的中点， 由（2）可知点，点， 根据平移的性质，可得点的坐标为， 点的横坐标为； ， 以，为边，， 延长至，使，在的延长线上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 在中，，，， ， ， ，， ∵，， 点横坐标为：； 如图，以，为边，， 作于，连接，则四边形是矩形， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ， ， 如图3， 同（2）可得 设， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 综上所述：点横坐标为：或或或． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，是以为直角边的等腰直角三角形，． (1)求点坐标； (2)点在直线上，，求点坐标； (3)点是线段上的一个动点（点、除外），试探索在轴的上方是否存在另一个点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】此题主要考查一次函数与几何图形、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，主要掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1）过点作轴于点，证明，即可求得和的长，则的坐标即可求得； （2）设与直线交于，求得点的坐标，根据点在直线上，设，根据，列出方程，解方程即可求解； （3）分当时；当时两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点、， 当时，，当时，， ， 如图1，过点作轴于点， ， ， 又中，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点的坐标为； （2）解：设与直线交于， 由，当时，， ， 点在直线上，设， ， ， ， 即， 解得：或， 或． （3）解：存在． ①如图2，当时，四边形为菱形． 则在的中垂线上，则的纵坐标是， 把代入中，得， 即的坐标是， 则点的坐标为． ②如图3，当时，四边形为菱形． 设， ， ， 解得：或（舍去），则点的坐标为， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 28．如图，在平面直角坐标系中，点是动点且纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． (1)求证：； (2)当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； (3)是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，使四边形为正方形，理由见解析 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练地应用矩形判定与正方形的判定是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质以及等角对等边即可得出，进而求出答案； （2）根据当时，首先求出四边形是平行四边形，进而得出利用角平分线的性质得出，即可得出四边形是矩形； （3）根据当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形，进而即可得出四边形为正方形． 【详解】（1）（1）证明：如图所示； ∵是的角平分线， ， ∵轴， ， ， ， 同理可证， ； （2）解：当，四边形是矩形， ， ， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、是角平分线， ， ∴四边形是矩形； （3）存在点、使四边形为正方形，如图所示， ∵轴， ∴当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形， ∴四边形为正方形， ∴存在，使四边形为正方形． 29．将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)不存在，见解析 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据运动速度，求出，最后求出结果即可； （2）根据菱形的性质，得出，且，然后列出方程，解方程即可； （3）根据与互相平分时，，列出方程，解方程得出答案，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在中 ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动， ∴，当时，， ∴． （2）解：存在；理由： 依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且 即， 解得， 当时，， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形； （3）解：不存在；理由： 若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， 由（1）知， ∴不存在的值，使得与互相平分． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 30．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以为一边在第二象限内作正方形，为边上的一个动点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交于，连接． (1)求点的坐标； (2)如图2，当为的中点时，连接， ①求的长； ②线段上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①5；②存在， 【分析】（1）由题得，所以； （2）①坐标系中有等腰直角斜放则构造三垂直全等，进而可求坐标，进而求出解析式，得到坐标，即可得解； ②过作轴于点，过作轴于点，过作于点，通过平行线得，所以，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 四边形是正方形， ， ； （2）①过作轴于点，则， 是中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线解析式为，将代入得， ，解得， 直线．解析式为， ， ，解得， ， ， 在中，； ②如图，过作轴于点，过作轴于点，过作于点， 由可得直线解析式为， 设，则， 由辅助线可知四边形、四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 等腰直角三角形， ， ， 解得， ，即． 考点06 动点探究两条线段数量关系 31．【问题探究】 （1）如图1，为正方形的对角线，点E为边上的动点，连接，点M为的中点，交于点N，连接，设，，试说明：； 【问题解决】 （2）王奶奶想请专业面匠来家里做挂面，如图2，四边形是王奶奶家临时搭建的工作棚示意图，边上的点H处有一个出入口，为一条固定长度的晾晒架，经测量，，．王奶奶计划在边上找一点E，沿搭建第二条晾晒架，取的中点M，在上取点N，使得，沿搭建第三条晾晒架．为了合理预算制作挂面的数量，需要知道与的数量关系，请你帮助王奶奶计算出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）证明，得出，，证明垂直平分，得出，则可得出； （2）连接，证明四边形是菱形，得出，，，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：为正方形的对角线， ，，， 在和中， ， ， ，， ，， ， 点M为的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 连接，如图， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， 在和中， ， ， ，， ，， ， 点M为的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 32．如图，正方形中，点为上的一个动点，连接交于点，过点作，交于点． (1)如图1，若，求的大小； (2)过点作于点． ①如图2，若，求的值； ②如图3，试探索线段和的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)； (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，据此求解即可； （2）①根据勾股定理得到，求得，得到，如图2，连接，，根据全等三角形的性质得到，，得到是等腰直角三角形，求得，根据勾股定理得到，求得； ②连接交于点O，可知：，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，连接，， 在正方形中，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ②， 证明：连接交于点O，可知：， ∵， ∴． ∵，， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 33．综合与探究 问题背景 在学习正方形的性质之后，勤学小组对正方形进行了进一步的研究．如图1，在正方形中，对角线，相交于点O，E为边上一点，连接，过点O作的垂线，交于点F．    探究发现 （1）试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 深入探究 点E是上的一个动点（不与点B，C重合），连接，交于点H． （2）如图2，当点H恰好是的中点时，试判断四边形的形状．并说明理由． （3）若，是否存在与全等的情况？若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）．理由见解析；（2）四边形是正方形．理由见解析；（3）存在与全等的情况，此时的长度为． 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而推导出，再证明，即可解答； （2）由，得，证明是的垂直平分线，则可推导出，即可解答； （3）判断出在与全等时，只满足当，则， 在中，由勾股定理，得到，求出，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 在正方形中，有 ， ∴ ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． （2）四边形是正方形，理由如下： 由（1），同理可得， ∴， ∵点H恰好是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴ ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． (3) 存在与全等的情况，此时的长度为． 由与可得 在与全等时，只满足当，如图，    有， 在正方形中，有 ， ∴ 即， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴， ∴． 故存在与全等的情况，此时的长度为． 34．综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学规律．如图1．正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小明经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整，在上截取，连接，易得，．________________．可证得（________），； 【问题探究】（2）在（1）的条件下，连接，过点P作，垂足为点Q，连接．如图2，当时，证明：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7． 【分析】（1）由分析思路知，只要，利用从而可证明，进而得到结论； （2）作于点，设，则，证明和都是等腰直角三角形，利用勾股定理求得，，再证明，，即可证明四边形是平行四边形； （3）①在上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质及勾股定理即可得到与的数量关系； ②分两种情况考虑：P 在线段上；P 在线段延长线上；利用等腰三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：（1）在上截取，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）作于点， ∵， ∴设，则， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 解：（3）①； 证明：在上截取，连接，如图； 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴； ②或7；理由如下： 当P 在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当 P 在延长线上时，延长使，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴； 又，， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，或 7． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 35．已知：正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在的直线上，且随着点的运动而运动，总成立． (1)如图1，当点在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并证明； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图2，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)（1）中猜想的结论成立，证明见解析 (3)图形见解析；结论：①，②．理由见解析 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）证明，可得，即可解答； （3）根据题意补全图形，设交于J．证明，可得，再结合，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中猜想的结论成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示：结论：①，②．理由： 设交于J． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 36．正方形中，点为边上一动点，连接，点关于的对称点为，连接． (1)如图1，连接，若是中点，求证：； (2)如图2，连接，，并延长，交于点． ①求的度数； ②连接，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）设交于点，连接，证明，即可得证； （2）①过点作于点，设，则，得出，则是等腰直角三角形，则进而根据对称性可得，，得出，根据邻补角的定义，即可求解； ②过点作交于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，勾股定理可得，连接，进而证明四边形是正方形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，设交于点，连接， ∵点关于的对称点为， ∴，，， 又∵为的中点， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴. （2）解：①如图所示，过点作于点， 依题意，点关于的对称点为， ∴， ∴ 设，则， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形，则 又∵关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， 点与点关于直线对称，，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， 在中，， 又， ∴ 连接，则， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴即． 考点07 动点探究三条线段数量关系 37．如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． (1)【操作判断】 求的度数； (2)【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，利用菱形性质和角度关系进行推理计算． （1）通过旋转性质得，结合，从而求出度数； （2）在直线上截取（点不与点重合），连接，利用菱形性质，证明，结合已知边长和线段长度求； （3）需要分情况讨论，情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上．分别画出图形，构造全等三角形，通过线段等量转化即可求解． 【详解】（1）解：∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ； （2）如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴在中，， ， ∴在中，， ， ∴的长为3； （3）或， 理由如下： （1）当点在线段上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）当点在延长线上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ， ， ， 综上所述，之间的数量关系为或． 38．已知正方形，点M是直线上的一个动点，点N是直线上的一个动点，且满足，连接． (1)如图1，当点M在边上时，求证：； 请根据下面的思路分析填空：延长线段至点E，使得，连接，根据正方形性质和作图可证________，得到，接着可证明________，可得出________，再由线段的加法可以得出； (2)如图2，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上时， ①猜想，，之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想： ②若，，求． 【答案】(1)，，； (2)①，证明见解析；②． 【分析】（1）如图所示，延长线段至点E，使得，连接，根据正方形性质和作图可证，得到，接着可证明，可得出，再由线段的加法可以得出； （2）①如图所示，在射线上截取，然后仿照①证明出，由此即可得到结论；②根据正方形的性质求出，，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）（1）证明：如图所示，延长线段至点E，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，，． （2）如图2所示，在上截取． ①，证明如下： 四边形是正方形， ，． ， 又， ， ，， ， 即， ， ． ， ， ． ，， ； ②如图2所示，四边形是正方形． ，， ， ，， ，， 设，则． 在中，由勾股定理得， 则， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确利用截长补短模型作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 39．综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 【答案】（1）图见解析，90；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据作一个角等于已知角画出直线；根据菱形的性质得，结合外角的性质得，即可求得； （2）连接，根据菱形的性质得，进一步得是等边三角形和是等边三角形，可证明，则，即有； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论：当点E在线段上时，连接，过点A作于点H，由（2）可知是等边三角形，利用勾股定理求得、和，由（2）可知，即可知；当点E在的延长线上时，连接，过点A作于点H，同（3）①可得， 和，，由（2）可知，则． 【详解】解：（1）画出图形如解图， ∵在菱形中，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）， 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论： ①当点E在线段上时，如图，连接，过点A作于点H， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴； ②当点E在的延长线上时，如图，连接，过点A作于点H， 同（3）①可得， ， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴ 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角、菱形的性质、外角的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质和勾股定理．解题的关键是熟悉菱形的性质和分类讨论思想的应用． 40．如图，平行四边形中，点为对角线上的一动点（不与、重合），为直线且、，点为对角线交点． (1)若与重合时，不难得出线段与的关系为________． (2)若，且点运动到图二位置时，中的关系是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由． (3)当点运动至的延长线上，且时，试探究线段、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析； (3)． 【分析】根据平行四边形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接并延长，交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，因为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证； 连接并延长交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，因为，所以，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， 、， ， 在和中，， ， ， 故答案为：； （2）解：成立， 理由如下， 如下图所示，连接并延长，交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 点为对角线交点， ， 、， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 中的关系仍然成立； （3）解：如下图所示，连接并延长交的延长线于点， 、， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 41．已知，在正方形中，点是对角线的中点，点是上一动点（不与点，，重合），作交直线于点． (1)如图，当点在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； (2)直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②线段，，的数量关系，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①过点E作于点M，点E作于点N，先证明四边形是正方形，得到，再证明，从而得出结论； ②连接，证明四边形是正方形，再证明，，可证，根据，即可得证． （2）过点E作于点G，根据前面的证明，得到四边形是矩形， 得，， 结合，代换即可得到． 【详解】（1）解：①过点E作于点M，点E作于点N， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②线段，，的数量关系，理由如下： 连接， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． （2）解：关系如下．理由如下： 过点E作于点G， 根据前面的证明，得到四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 42．在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． (1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长； (2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)8． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，与交于点O，如图2， 由旋转可得，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴G、B、D三点共线，且是等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得； （3）如图3，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， ∵将绕点P逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴点B在上，，, ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴O为的中点， ∵M为的中点， ∴M与O重合，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、N、E三点共线时取得最小值，此时， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $