培优课08子数列问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

培优课08子数列问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 　子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列 【核心题型】 题型一　奇数项与偶数项 解答与奇偶项有关的求和问题的关键 (1)弄清n为奇数或偶数时数列的通项公式． (2)弄清n为奇数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数． 【例题1】（2024·河南南阳·一模）已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·辽宁大连·二模）在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为， . 【变式2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 【变式3】（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 题型二　两数列的公共项 解决两个等差数列的公共项问题时，有两种方法： (1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； (2)周期法：即寻找下一项．通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 【例题2】（2024·河南·二模）已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（    ） A．134 B．135 C．136 D．137 【变式1】（2023·广东广州·一模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 . 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和． 题型三　分段数列 (1)利用等差数列的通项公式与等比中项性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式． (2)对n分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式可得所求和 【例题3】（2024·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 【变式1】（2024·河北石家庄·三模）已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则 ；满足的最小值为 ． 【变式2】（2024·河北石家庄·三模）已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则 ；满足的最小值为 ． 【变式3】（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·福建漳州·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则的前30项的和为（    ） A．3255 B．5250 C．5430 D．6235 3．（2024·山东济南·二模）已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京丰台·一模）已知数列满足则（   ） A．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，对于任意正整数，存在，使得 二、多选题 5．（2024·福建泉州·模拟预测）数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 6．（2022·河北·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．数列的前n项和为 三、填空题 7．（2024·云南曲靖·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ． 8．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 . 9．（2023·上海嘉定·一模）数列满足，且，为的前项和，求 四、解答题 10．（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，， (1)求，的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和． 11．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·河南·二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为记数列的前n项和为，则（    ） 参考公式：. A．169125 B．169150 C．338300 D．338325 2．（22-23高三下·河北·阶段练习）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，若，则的最大值为（    ） A．133 B．134 C．135 D．136 3．（2023·江西南昌·三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022高三·全国·专题练习）定义数列的公共项组成的新数列为,则数列的第101项为（    ） A．2025 B．2021 C．2017 D．2013 5．（2023·四川·模拟预测）在数列中，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃兰州·一模）数列满足，，则（  ） A．5 B．4 C．2 D．1 7．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）已知各项均为正整数的数列满足若，则所有可能的取值之和为（    ） A．15 B．29 C． D．41 8．（2023·湖南岳阳·一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（    ） A．1666 B．1654 C．1472 D．1460 二、多选题 9．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列满足：（为正整数）， ，则（    ） A．时， B．时，在所有的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为 C．时，的所有可能取值组成的集合为 D．若所有的值组成的集合有5个元素，则 10．（2023·河南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式 .则（    ） 参考公式： A． 是数列中的项 B． C． D． 11．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知和，数列和的公共项由小到大组成数列，则（    ） A． B．不是等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 三、填空题 12．（2024·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ． 13．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ． 14．（23-24高三上·河南漯河·期末）数列满足，若为数列的前项和，则 . 四、解答题 15．（2023·吉林通化·一模）记为公比不为1的等比数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 16．（2022·四川南充·一模）已知等差数列的前n项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的公共项从大到小排列得到数列，求数列的前n项和为. 17．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足且． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的前100项和． 18．（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 19．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2023·内蒙古包头·一模）已知数列满足，若，则（    ） A．18 B．16 C．11 D．6 2．（23-24高三上·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（    ） A．511 B．677 C．1021 D．2037 4．（2024·全国·模拟预测）已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2023·重庆·模拟预测）已知数列满足，，，记数列的前项和为，若存在正整数，，使得，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·重庆九龙坡·二模）已知数列满足，，设，记数列的前2n项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，，若，且的前n项和为，则满足的最小正整数n的值为 ． 8．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，已知则 ． 9．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和满足，，且，若数列的通项公式为，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，则的前n项和为 ． 四、解答题 10．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 11．（2024·福建·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，，并求的通项公式； (2)记求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优课08子数列问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 　子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列 【核心题型】 题型一　奇数项与偶数项 解答与奇偶项有关的求和问题的关键 (1)弄清n为奇数或偶数时数列的通项公式． (2)弄清n为奇数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数． 【例题1】（2024·河南南阳·一模）已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列、等比数列的定义及求和公式计算即可. 【详解】因为，所以，则， 根据题意，， 所以 . 故选：B. 【变式1】（2024·辽宁大连·二模）在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为， . 【答案】 【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出B，再分奇偶求出，分组求和即可得解. 【详解】因为，，成等比数列，所以，即, 又，所以，即， 由知，所以， ，为偶数， ，为奇数， 所以 . 故答案为： 【变式2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解. 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为： 【变式3】（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 所以数列的前项和为 题型二　两数列的公共项 解决两个等差数列的公共项问题时，有两种方法： (1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； (2)周期法：即寻找下一项．通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 【例题2】（2024·河南·二模）已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（    ） A．134 B．135 C．136 D．137 【答案】A 【分析】求出数列的通项公式，再解不等式即得. 【详解】依题意，令，则，即有，显然是5的正整数倍， 令，因此，由，解得， 所以最大的整数. 故选：A 【变式1】（2023·广东广州·一模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 . 【答案】 【分析】由题意归纳得出，即得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】数列：，数列：， 则为：，则， 所以， 故， 故答案为： 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ． 【答案】 【分析】分类讨论奇偶性，可知，利用裂项相消法分析求解. 【详解】因为数列是正奇数组成的数列， 所以数列中所有的奇数是数列和数列的公共项， 当为奇数时，设，则，为奇数； 当为偶数时，设，则，为偶数； 综上所述：. 则， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是观察数列的通项公式，发现数列是正奇数组成的数列，故可以通过判断数列各项的奇偶，得到，再利用裂项相消法求和即可 【变式3】（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）运用等差数列的求和公式和它们的通项公式，就可求出结果； （2）关键在于证明数列中的任意一项，都在数列中存在公共项，这里用到了二项式定理进行证明，从而利用等比数列求和公式就可以得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意得，解得， 所以由等差数列的通项公式可得：． 由得数列是首项为4，公比为4的等比数列， 所以由等比数列的通项公式可得： （2）令，则可得， 所以 ， 即对于数列中的任意一项，都在数列中存在公共项， 所以数列是数列的子数列，从而可得， 所以 题型三　分段数列 (1)利用等差数列的通项公式与等比中项性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式． (2)对n分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式可得所求和 【例题3】（2024·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2， 则， 当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为， 则， 所以. 故选：C 【变式1】（2024·河北石家庄·三模）已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则 ；满足的最小值为 ． 【答案】 2 40 【分析】由，可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，取，计算出后，再计算及即可得解. 【详解】由，则，， 则、、都不是的倍数，是的倍数， ，不是的倍数，，不是的倍数， ，不是的倍数， ，是的倍数， 依次可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数， 由， 则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则； 当， ， 当，即时，有， ， 故满足的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题意，得到当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，从而可通过计算当时的. 【变式2】（2024·河北石家庄·三模）已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则 ；满足的最小值为 ． 【答案】 2 40 【分析】由，可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，取，计算出后，再计算及即可得解. 【详解】由，则，， 则、、都不是的倍数，是的倍数， ，不是的倍数，，不是的倍数， ，不是的倍数， ，是的倍数， 依次可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数， 由， 则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则； 当， ， 当，即时，有， ， 故满足的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题意，得到当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，从而可通过计算当时的 【变式3】（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得； （2），利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再求为正奇数时的表达式，即可得到. 【详解】（1）证明：因为，，所以. 因为，所以， 又，则有， 所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以， 所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. （2）由（1）知， 则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列. 所以当为偶数，且时， ； 当为奇数，且时，为偶数， . 时，，满足. 所以，当为奇数，且时，有. 综上，. 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·福建漳州·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】经检验，数列中的奇数项都是数列中的项，观察归纳可得. 【详解】数列中的项为：2，4，8，16，32，64，128，256，， 经检验，数列中的奇数项都是数列中的项， 即2，8，32，128，可以写成的形式，观察归纳可得， 所以， 故选：C． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则的前30项的和为（    ） A．3255 B．5250 C．5430 D．6235 【答案】C 【分析】根据等差数列的特点得到数列和数列均为等差数列，然后令，得到，然后通过列举得到数列为等差数列，最后利用等差数列求和公式计算即可. 【详解】显然数列和数列均为等差数列， 令，其中， 可得，则， 则数列为等差数列，且，公差为， 所以的前30项的和为. 故选：C. 3．（2024·山东济南·二模）已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设， 则， ，， ，， ，， 可归纳得：，， 所以. 故选：B 4．（2024·北京丰台·一模）已知数列满足则（   ） A．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，对于任意正整数，存在，使得 【答案】D 【分析】直接构造反例即可说明A和B错误；然后证明引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 最后由该引理推出C错误，D正确. 【详解】当时，，，所以此时不是递增数列，A错误； 当时，，，，所以此时不是递减数列，B错误； 我们证明以下引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 若该引理成立，则它有两个直接的推论： ①存在，使得对任意的正整数，都存在，使得； ②当时，对任意的正整数，都存在，使得. 然后由①是C的否定，故可以说明C错误；而②可以直接说明D正确. 最后，我们来证明引理： 当时，对任意确定的正整数： 如果，则； 如果，则或. 此时若，则； 若，则. 无论哪种情况，都有，从而. 这说明或，所以可以选取，使得. 这就说明存在，使得. 这就证明了引理，从而可以推出C错误，D正确. 故选：D. 【点睛】最关键的地方在于引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 这一引理可以帮助我们判断出较难判断的C和D选项. 二、多选题 5．（2024·福建泉州·模拟预测）数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 【答案】BCD 【分析】根据题意，分别求得，，，得到数列构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解． 【详解】解：由题意，数列满足， ， 当时，，当时，，A错误； 当时，； 若为奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，. 所以数列是以4为周期的周期数列. 故，B正确： 又由，故递增，C正确； 由上述讨论可知，的项为1，，1，，故是周期数列，D正确． 故选：BCD． 6．（2022·河北·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．数列的前n项和为 【答案】BD 【分析】与公共项从小到大排列出，可知为等比数列，求出通项公式再利用错位相减求的前n项和，即可知正确选项. 【详解】数列中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31， 34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…， 数列中的项为2，4，8，16，32，64，128，…， ∴数列是首项为4，公比为4的等比数列， ∴； ∴，记数列的前n项和为， 则， ， 两式相减： ， ∴. 故选：BD 三、填空题 7．（2024·云南曲靖·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ． 【答案】 【分析】当时，，当时，，推出，利用累加法可得，从而求得，即可求解，根据，即可求解. 【详解】当时，①，当时，②， 由①②可得，， 所以， 累加可得，， 所以， 令且为奇数)，，当时，成立， 所以当为奇数，， 当为奇数，， 所以当为偶数，， 所以 故； 根据 所以的前项的和. 故答案为：； 8．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，记，即可得到，从而求出的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 记的前项和为， 则 . 故答案为： 9．（2023·上海嘉定·一模）数列满足，且，为的前项和，求 【答案】 【分析】逐项代入可得，再根据等比数列求和与极限求解即可. 【详解】由题，，，，， ，， ， ， ， . . 故 . 又当时，，故 . 故答案为： 四、解答题 10．（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，， (1)求，的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出d，q，根据等比和等差数列的通项公式求解即可； （2）利用等比数列前项和公式求出，求出，得证； （3）利用错位相减法和裂项相消法分奇偶项两组求和即可. 【详解】（1）解：由已知可得， ， 联立①②，得，解得或， 因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得， 所以，； （2）， ，， 则 ， 所以； （3） ， 令 ， 则， ，得 ， 令 ， . 11．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·河南·二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为记数列的前n项和为，则（    ） 参考公式：. A．169125 B．169150 C．338300 D．338325 【答案】B 【分析】根据分组求和以及参考公式即可求解. 【详解】由， 故 . 故选：B 2．（22-23高三下·河北·阶段练习）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，若，则的最大值为（    ） A．133 B．134 C．135 D．136 【答案】C 【分析】计算得到，，，解不等式得到答案. 【详解】所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列， 且首项为2，公差为3，则； 所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列， 且首项为2，公差为5，则， 把数列与的公共项按从小到大的顺序排列， 组成首项为2，公差为15的等差数列，则， 故由，得，故的最大值为135， 故选：C 3．（2023·江西南昌·三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析出数列与数列的公共项，找出他们公共项的通向公式，再利用裂项相消法解决问题. 【详解】若数列与数列的公共项， 则设，即 ， 因为为偶数，所以也为偶数， 所以令数列与数列的公共项为： ， 所以， 所以 ， 故选：B. 4．（2022高三·全国·专题练习）定义数列的公共项组成的新数列为,则数列的第101项为（    ） A．2025 B．2021 C．2017 D．2013 【答案】D 【分析】根据题意，得到数列是首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由数列的通项公式为， 可得数列的公差为，数列的公差为， 所以它们的公共项组成的新数列的公差为， 再两个数列的第1个公共项为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 则第101项为. 故选：D. 5．（2023·四川·模拟预测）在数列中，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数列递推式可得和相减可得，分n为奇数和偶数两种情况，求得数列通项公式，即得答案. 【详解】由，可得，且， 两式相减得，当时, ， 此时是以为首项，公差为2的等差数列， 则，即（n为奇数）； 当时, ， 此时是以为首项，公差为2的等差数列， 则，即（n为偶数）， 综合上述可得数列的通项公式为， 故选：B 6．（2024·甘肃兰州·一模）数列满足，，则（  ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由递推公式得到，，，，即可找到规律，从而求出. 【详解】因为，， 所以，，，， ，，，，， 又， 所以. 故选：B 7．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）已知各项均为正整数的数列满足若，则所有可能的取值之和为（    ） A．15 B．29 C． D．41 【答案】B 【分析】根据题意，先推断出，得，将按奇数偶数分类，可得的值，同理可得. 【详解】因为，所以，所以，. 若为奇数，则，；若为偶数，则，. 当时，同理得或（舍去）；当时，同理得或. 故所有可能的取值之和为. 故选：B 8．（2023·湖南岳阳·一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（    ） A．1666 B．1654 C．1472 D．1460 【答案】A 【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，38，50，…，182，194，共有项，是公差为12的等差数列， 故新数列前17项的和为， 即数列的各项之和为1666. 故选：A. 二、多选题 9．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列满足：（为正整数）， ，则（    ） A．时， B．时，在所有的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为 C．时，的所有可能取值组成的集合为 D．若所有的值组成的集合有5个元素，则 【答案】ABD 【分析】将代入递推公式即可判断A；写出所有的值组成的集合中的元素，再根据古典概型即可判断B；根据递推公式，讨论前一项的奇偶即可判断C；若所有的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为，再验证即可判断D. 【详解】对于A，当时， 则，故A正确； 对于B，当时， 则， 所以数列从第项起，是以为周期的周期数列， 所以所有的值组成的集合为， 从中任选2个数都是偶数的概率为，故B正确； 对于C，当时， 若为奇数，则，故， 若为偶数，则，故， 若，则或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或， 若，则或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或（舍去）， 综上所述，或或或， 所以的所有可能取值组成的集合为，故C错误； 对于D，若所有的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为， 若，则， 所以数列是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意； 若，则， 所以数列是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意； 若，则， 所以数列是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意； 若，则， 所以数列从第项起，是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合只有4个元素，不符题意； 若，则， 所以数列从第项起，是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合有5个元素，符合题意， 所以若所有的值组成的集合有5个元素，则，故D正确. 故选：ABD. 10．（2023·河南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式 .则（    ） 参考公式： A． 是数列中的项 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据的通项公式，分类讨论为奇偶情况，即可逐项求解判断. 【详解】对A：当为偶数时，，解得，不符题意； 当为奇数时，，解得，符合题意，故A正确； 对B： ，故B正确； 对C：由题意知 ， 所以，故C错误； 对D： 故D正确； 故选：ABD. 11．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知和，数列和的公共项由小到大组成数列，则（    ） A． B．不是等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 【答案】AD 【分析】由题意，根据等比数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；由，结合裂项相消求和法计算即可判断C；由，结合错位相减法计算即可判断D. 【详解】由，易知是以2为首领，4为公比的等比数列， ，则，故A正确，B错误； C：， 所以，故C错误； D：， 所以， ， 两式相减得， ， ，而，则，故D正确； 故选：AD. 【点睛】思路点睛：根据的通项公式确定的通项公式，结合裂项相消求和法和错位相减法计算求解即可. 三、填空题 12．（2024·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得，再由题意得到求得k，即可求解. 【详解】由，可得， 解得， 当时，， 即， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列， 所以， 设是的第m项，则， 因为， 所以不是中的项， 因为， 所以是中的项， 所以 所以. 故答案为：. 13．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ． 【答案】 【分析】先求出新数列的公差，再结合等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】等差数列2，6，10，…，202中，公差；等差数列2，8，14，…，200中，公差，和的最小公倍数为， 所以新数列的公差，首项，所以， 令，解得，故新数列共有项， 所以新数列的各项之和为， 故答案为： 14．（23-24高三上·河南漯河·期末）数列满足，若为数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】根据裂项相消及周期求和计算即可. 【详解】， . 故答案为：. 四、解答题 15．（2023·吉林通化·一模）记为公比不为1的等比数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，由求出，再由等比数列求和公式求出，即可得解； （2）由（1）可得，即可得到数列的特征，令，求出的取值，即可得到为以为首项，为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得. 【详解】（1）解：设等比数列的公比为， 因为，即，即，所以， 又，即，解得， 所以. （2）解：由（1）可得， 则数列为、、、、，偶数组成的数列， 又，令，则为正偶数， 所以，，，，， 所以为以为首项，为公比的等比数列， 所以. 16．（2022·四川南充·一模）已知等差数列的前n项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的公共项从大到小排列得到数列，求数列的前n项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列方程组求解可得； （2）根据两个数列的公差可得数列的公差，然后由等差数列求和公式可得. 【详解】（1）记等差数列的公差为， 由题知，即，解得， 所以数列的通项公式为：. （2）数列的公差为，数列的公差为， 所以数列的公差为， 又数列和的首项都为2， 所以数列是以2为首项，为公差的等差数列， 所以. 17．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足且． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的前100项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推公式得，当，是首项为1，公比为2的等比数列，令， 是首项为2，公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可； （2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前项和公式计算即可． 【详解】（1）由题意，得当时，，① ．② 将①代入②，得，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 又因为， 所以，所以． 令，则，而，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以． 所以． （2） ． 18．（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由与的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得后，讨论n为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求. 【详解】（1）当时，，即，， 所以，同理． 当时，，化简得： ，因为，所以， 即，故，又，所以． 同理，或， 因为是等比数列，所以，即，所以． （2）由（1）知， 所以当为奇数时， ， ， 同理当为偶数时，． 所以. 19．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意进行因式分解，求得，再根据与的关系式求得通项公式； （2）由代入求得，结合裂项相消法求和得出结果. 【详解】（1）由题意，得，又， 所以，从而． 当时，． 由于不符合上式， 故 （2）由（1）知 当时，， 所以当时， ． 又也适合上式， 所以 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2023·内蒙古包头·一模）已知数列满足，若，则（    ） A．18 B．16 C．11 D．6 【答案】B 【分析】分奇偶依次代入递推公式，即可求得答案. 【详解】 . 故选：B. 2．（23-24高三上·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，，进而得到数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为，得出，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，成公比不为1的等比数列， 所以，可得，解得， 所以，则，可得， 由数列为正奇数列， 对于数列，设时，可得为偶数； 当时，可得为奇数， 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：C. 3．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（    ） A．511 B．677 C．1021 D．2037 【答案】B 【分析】由题意可得，，结合所给条件计算即可得. 【详解】 . 故选：B. 4．（2024·全国·模拟预测）已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设，则，为偶数，所以， ， 所以， 故选：D． 二、多选题 5．（2023·重庆·模拟预测）已知数列满足，，，记数列的前项和为，若存在正整数，，使得，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】根据数列的递推公式确定数列的通项公式，即可求得的表达式，进而判断的可能取值，分类讨论，求得m的值，即得答案. 【详解】由题意数列满足，，， 可得数列的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列， 偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列， 故， 所以， 故 ， ， 故， 由可知都大于3， 所以只能是其中之一， 若，即，即，无解； 若，即， 若，即， 故选：AB 6．（2023·重庆九龙坡·二模）已知数列满足，，设，记数列的前2n项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A选项，逐步代入计算即可，对B选项，根据递推关系可得，结合等差数列的定义即可求出其通项，对C选项，用错位相减法求，对D选项，由题设可得，利用C的结果即可计算. 【详解】对A，，，，则，故A正确； 对B，由题意，， 当时，， 所以，则是以1为公差，为首项的等差数列. 则，则，故B错误， 对C，，即， 所以， 两式相减得 ， 所以，故C正确； 对D， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是构造出等差数列，从而求出其通项，再利用错位相减法求出，通过分组求和计算得到，再将前面得到的结果代入即可. 三、填空题 7．（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，，若，且的前n项和为，则满足的最小正整数n的值为 ． 【答案】6 【分析】由题目条件先求数列的通项，利用分组求和法求出，根据的单调性，解得满足不等式的最小正整数的值. 【详解】因为是等比数列，设公比为q， 由可得， 故，则，即， 故， 所以． 由于时，，故随着n的增大而增大， 而，， 故满足的最小正整数n的值为6． 故答案为：6. 8．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，已知则 ． 【答案】 【分析】注意到，进一步由裂项相消法即可求解. 【详解】由题意， 所以 . 故答案为：. 9．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和满足，，且，若数列的通项公式为，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，则的前n项和为 ． 【答案】 【分析】先根据得到，，变形后得到，得到，，经检验，也符合上式，再求出是以1为首项，以12为公差的等差数列，利用求和公式求出答案. 【详解】中，令得，即， 又，故令时，，即， 所以，解得， 由，得，， 两式相减得，， 两边同时除以，得，， 即， 故，， 经检验，也符合上式，故． 数列是以1为首项，以4为公差的等差数列， 数列是以1为首项，以3为公差的等差数列， 这两个数列的公共项构成的新数列是以1为首项，以12为公差的等差数列， 故的前n项和为． 故答案为： 四、解答题 10．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得. （2）利用（1）的结论，求出，按为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和. 【详解】（1）数列中，，，显然，则， 数列是首项为1，公差为1的等差数列，， 所以数列通项公式是. （2）由（1）知，， 当时，，， 当时，， 所以. 11．（2024·福建·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，，并求的通项公式； (2)记求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用递推关系，可求，的值；结合题意，可用“累加法”求数列的通项公式. （2）可以把数列的前几项一一列举，然后求和，也可以用错位相减法求和. 【详解】（1）解法一：因为，， 所以，当时，，，所以. 当时，，，所以. 当时， ， 所以 当时，也符合上式. 综上， 解法二：因为，，， 所以，当时，，，所以. 当时，，，所以. 因为， 所以，即. 所以，即. 又，所以 （2）解法一：由（1）得，即 记 则①， ② ①-②，得， 所以， 故. 解法二：由（1）得，即. 记， 则 . 故 1 学科网（北京）股份有限公司 $$