专题02有理数混合运算的七种方法-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

专题02有理数混合运算的七种方法 题型01直接运用分配律 【典例分析】 【例1-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【例1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题：． 【例1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算 【变式演练】 【变式1-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式1-2】（23-24七年级上·河北承德·期中）计算：． 【变式1-3】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算：； 题型02拆分后运用分配律 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）用简便方法计算下面各题． 【例2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：； 【例2-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）简便运算 【变式演练】 【变式2-1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算 【变式2-2】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）计算： 【变式2-3】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： 题型03逆向运用分配律 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： 【例3-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）．计算下列各题： 【例3-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）计算. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）用简便方法进行计算： 【变式3-2】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算：（能简算的要简算） 【变式3-3】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）简便计算： (1) (2) 题型04逆向运用有理数减法计算 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级·江西吉安·期末）计算： 【例4-2】（23-24七年级下·湖北武汉） 【例4-3】（23-24七年级上·江苏泰州）用递等式计算，能简算的要简算． 已知，，按这样的规律，请计算：． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级·江西吉安·期末）计算： 【变式4-2】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）观察： ，，，…… 计算：的值． 题型05去绝对值后计算 【典例分析】 【例5-1】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算：． 【例5-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算：． 【例5-3】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： 【变式5-2】（22-23七年级上·云南保山·期末）计算：． 【变式5-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）计算：． 题型06倒序相减法 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）计算：； 【例6-2】（22-23七年级上·广西南宁）计算：． 【例6-3】（22-23七年级上·广西南宁·期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设，① 则．② ①＋②，得（即左右两边分别相加）： ． 所以，． 所以，． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： 计算：_________； 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）计算：． 【变式6-2】（20-21七年级上·山东菏泽·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从到这个正整数的和"，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ①②，得 ． ，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想　　　　（用含的代数式表示）； （3）计算：． 【变式6-3】（20-21六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1+2+3+…+100， ① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1+2+3+…+101； (2)猜想：1+2+3+…+n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000． 题型07错位相减法 【典例分析】 【例7-1】（23-24七年级上·湖北恩施·期末）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（23-24七年级上·山东威海·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（    ） A． B． C． D． 【例7-3】（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算过程计算下列式子： (1)计算的值； (2)计算的值 【变式演练】 【变式7-1】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨）阅读下列材料，并解决相应问题 观察下面一列数： 1，2，4，8，…… 我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2． 一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． (1)如果一个等比数列的第2项是12，第3项是18，则这个等比数列的第1项是_________，第4项是_________． (2)为了求等比数列1，2，4，8，……的前2024项的和，可以用如下的方法： 求此等比数列前2024项的和，即为求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上材料，求出的值，并写明求解过程． 【变式7-3】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此．所以，即．请仿照以上推理计算，完成下面问题： (1)求的值； (2)计算的结果为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02有理数混合运算的七种方法 题型01直接运用分配律 【典例分析】 【例1-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】先利用乘法分配律，然后在进行加减计算即可；本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律． 【详解】解： ， ， ． 【例1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题：． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算：运用乘法分配律计算即可； 【详解】解： ． 【例1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算 【答案】 【分析】本题考查了有有理数的乘法运算：利用有理数乘法运算律进行求解即可； 【详解】解：原式 ． 【变式演练】 【变式1-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】51 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．利用乘法分配律计算即可； 【详解】解：原式 ． 【变式1-2】（23-24七年级上·河北承德·期中）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．利用乘法对加法的分配律进行计算即可． 【详解】 【变式1-3】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算：； 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是∶ （1）利用有理数的乘法分配律计算即可； （2）先化简绝对值，然后利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； 题型02拆分后运用分配律 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）用简便方法计算下面各题． 【答案】 【分析】本题主要考查分数的混合运算，简便计算，运算律的运用，掌握运算法则是解题的关键．将拆成，再运用乘法分配律即可求解． 【详解】解： 【例2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，先将化成，再运用乘法分配律计算即可； 【详解】原式 . 【例2-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）简便运算 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练乘法分配律简便计算．先将变形为，再根据乘法分配律进行计算． 【详解】解：原式 ． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律是关键；根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】解： 【变式2-2】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式 【变式2-3】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型03逆向运用分配律 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： 【答案】； 【分析】根据乘法运算律逆运算计算即可； 【详解】解： ， ， ， ； 【例3-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）．计算下列各题： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【例3-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）计算. 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，混合运算．逆用分配律计算即可． 【详解】 ． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）用简便方法进行计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律：先提取99，再利用运算律得，再将99化为，再利用运算律即可求解； 熟练掌握相关运算律是解题的关键． 【详解】 ． 【变式3-2】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算：（能简算的要简算） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解； 【详解】解： ； 【变式3-3】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)25 【分析】本题主要考查了运用简便方法进行有理数混合运算： （1）将变形为，然后再运用分配律进行计算即可得到答案； （2）将原式变形为，再逆用乘法分配律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： 题型04逆向运用有理数减法计算 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级·江西吉安·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键． 【详解】解： ． 【例4-2】（23-24七年级下·湖北武汉） 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，把原式变形为，即可得到答案． 【详解】解： 【例4-3】（23-24七年级上·江苏泰州）用递等式计算，能简算的要简算． 已知，，按这样的规律，请计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算：先把原式变形为，即可求解． 【详解】解： 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级·江西吉安·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键．分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答； 【详解】 解： 【变式4-2】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：． 【答案】 【分析】本题考查了乘法分配律，以及分数的四则运算，熟练掌握乘法运算律是解答本题的关键．将原式化为分数的加减法计算即可． 【详解】） ． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）观察： ，，，…… 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，观察题目所给的等式，将原式化为，再进行计算即可． 【详解】解： ． 题型05去绝对值后计算 【典例分析】 【例5-1】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是∶先化简绝对值，然后利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【例5-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算：． 【答案 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先去绝对值，再计算加减法即可． 【详解】 【例5-3】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算：通过观察可知分子分母的差为1，先写成1加减分数单位，整数分组计算，分数简算时，根据裂项公式先拆分，再简算． 【详解】解：原式 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： 【答案】． 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值，先化简绝对值，然后根据有理数的加减混合运算法则，即可解题． 【详解】解： ． 【变式5-2】（22-23七年级上·云南保山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方以及四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的有关运算法则．先算乘方，化简绝对值，然后算乘法，最后算加减． 【详解】解： = = = =． 【变式5-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： 题型06倒序相减法 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算律及有理数的混合运算，把原式化为，再计算即可； 【详解】 ． 【例6-2】（22-23七年级上·广西南宁）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算律及有理数的混合运算 【详解】（1）解：设① 则② ①+②，． 所以，， 所以，， 故答案为：； 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值 【例6-3】（22-23七年级上·广西南宁·期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设，① 则．② ①＋②，得（即左右两边分别相加）： ． 所以，． 所以，． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： 计算：_________； 【答案】 【分析】根据题目中的例子可以求得所求式子的值； 【详解】解：设① 则② ①+②，． 所以，， 所以，， 故答案为：； 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）计算：． 【答案】1024144 【分析】直接利用高斯公式计算即可． 【详解】解： ； 【变式6-2】（20-21七年级上·山东菏泽·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从到这个正整数的和"，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ①②，得 ． ，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想　　　　（用含的代数式表示）； （3）计算：． 【答案】（1）1275；（2）；（3）15050． 【分析】（1）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式变形后，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】解：（1）设① 则②， ①②，得， 所以， ， 所以； （2）由（1）及题目例题的解析可得： ， 故答案为：； （3） 故答案为：15050 【点睛】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【变式6-3】（20-21六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1+2+3+…+100， ① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1+2+3+…+101； (2)猜想：1+2+3+…+n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000． 【答案】(1)5151 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果； （3）根据（2）中结论即可得到结果． 【详解】（1）解：设S＝1+2+3+…+100+101① 则S＝101+100+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102． 所以，S＝， 所以，1+2+3+…+100+101＝5151； （2）解：解：设S＝1+2+3+…+n① 则S＝n+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n． 猜想：1+2+3+…+n＝， 故答案为：； （3）解：1001+1002…+2000=． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值 题型07错位相减法 【典例分析】 【例7-1】（23-24七年级上·湖北恩施·期末）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算和数字计算的规律问题．解题的关键是读懂阅读材料，举一反三运用阅读材料的方法解决问题． 令，则，然后两式相减求解即可． 【详解】令 ∴ ∴ ∴ 解得． 故选：B． 【例7-2】（23-24七年级上·山东威海·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键 【例7-3】（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算过程计算下列式子： (1)计算的值； (2)计算的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键． （1）设，求出，用，求出的值，进而求出S的值； （2）设，则的值，同理可得结果． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， ， 即； （2）解：设， 则， ， ， ， 则 【变式演练】 【变式7-1】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结一般性的规律． 【详解】解：令， 则， ∴， ∴， 即， 故选：D． 【变式7-2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨）阅读下列材料，并解决相应问题 观察下面一列数： 1，2，4，8，…… 我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2． 一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． (1)如果一个等比数列的第2项是12，第3项是18，则这个等比数列的第1项是_________，第4项是_________． (2)为了求等比数列1，2，4，8，……的前2024项的和，可以用如下的方法： 求此等比数列前2024项的和，即为求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上材料，求出的值，并写明求解过程． 【答案】(1)8，27 (2)，求解过程见解析 【分析】（1）先求出该等比数列的公比，再计算第1项和第4项的值即可； （2）结合题目中的方法求解即可． 【详解】（1）解：如果一个等比数列的第2项是12，第3项是18， 则等比数列的公比为， 所以，第1项是，第4项是． 故答案为：8，27； （2）根据题意，可知， 则， 所以， 所以， 即． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律是解决问题的关键 【变式7-3】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此．所以，即．请仿照以上推理计算，完成下面问题： (1)求的值； (2)计算的结果为__________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题目信息，设，求出，然后相减计算即可得解； （）根据题目信息，设，求出，然后相减计算即可得解． 【详解】（1）解：令， 则， 因此， 所以，，即． （2）令， 则， 因此， 所以，，即， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$