精品解析：四川省成都实验外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年四川省成都实验外国语学校八年级（下） 期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的特点进行分析即可． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；解题的关键是掌握不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于，根据不等式的性质1，两边都加上4，不等号的方向不变，即，因此选项A不符合题意； B．由于，根据不等式的性质3，两边都乘以，不等号的方向改变，即，因此选项B符合题意； C．由于，根据不等式的性质1，两边都加上，不等号的方向不变，即，因此选项C不符合题意； D．由于，根据不等式的性质2，两边都除以4，不等号的方向不变，即，因此选项D不符合题意． 故选：B． 3. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：①，从左到右的变形是因式分解； ，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以①是因式分解，②是乘法运算． 故选：C． 4. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 等角对等边 B. 两点之间，线段最短 C. 同旁内角互补 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段的性质：两点之间线段最短，直角三角形斜边的中线，等腰三角形判定，同旁内角，掌握以上知识点是解题的关键． 由两点之间线段最短，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形判定，同旁内角的定义，即可判断． 【详解】解：A、等角对等边，命题正确，故此选项不符合题意； B、两点之间，线段最短，命题正确，故此选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，原命题不正确，故此选项符合题意． D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，命题正确，故此选项不符合题意； 故选：C 5. 如果将点向右平移4个单位后，得到的点在第四象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移的坐标变换，各象限内点的坐标特征，解不等式组．熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据平移的性质表示出平移后的点的坐标，再利用第四象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵将点向右平移4个单位后，得到点的坐标为， ∵点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 6. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕着点顺时针旋转后，得到， ，， ， ， 故选：． 7. 某超市计划购进A，B两种水果，其中A种水果的进价比B种水果的进价低6元，用2400元购进A种水果的数量是用1600元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的进价．若设A种水果的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．根据用2400元购进A种水果的数量是用1600元购进B种水果数量的2倍，列方程即可． 【详解】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为元， 由题意，得，． 故选：D． 8. 如图，直线：与直线：的交点坐标为，则使不等式成立的x取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数图象交点求不等式解集，掌握用图象法求不等式解集是解题的关键． 结合函数图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线：与直线：相交于点， ∴当时，， 即关于的不等式的解集为． 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用提公因式法分解因式．找到正确的公因式是解题的关键． 提公因式x，即可因式分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 10. 若一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于______度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，设这个等腰三角形的底角为，再根据三角形内角和定理得，由此解出即可． 【详解】解：设这个等腰三角形的底角为， ∵这个等腰三角形的顶角等于， ∴， 解得：． 故答案为：72． 11. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 12. 若二次三项式可分解为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用及多项式乘多项式，先展开得，再根据对应项系数相等即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，． 故答案为：1． 13. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则．由题意可得，，则的周长为求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∵的周长为24，， ∴． ∴的周长为． 故答案为：15． 14. 已知，则代数式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用因式分解的方法将代数式因式分解后，再将x值代入运算即可． 【详解】解： ， ∴当时，原式 故答案为：2． 15. 如图，，点P是平分线上一点，过点P作交于C，，过点P作于M，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】过点P作于点N，证明，根据等腰三角形的判定得出，求出，根据含直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得出． 【详解】解：过点P作于点N，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16. 若关于y的分式方程的解为负数，则所有满足条件的非负整数m的值之和为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参，熟练掌握式解分式方程是解题的关键．注意分式有意义有条件． 解分式方程，根据“解为负数”和分母不能为0以及m为非负整数确定m的可能值，求它们的和即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∵，即，解得， ∵，即，解得． 综上，且且m为非负整数， ∴， ， ∴所有满足条件的非负整数m的值之和为3． 故答案为：3． 17. 如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的平移，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的平移法则“左减右加，上加下减”是解答本题的关键． 将直线按照平移法则平移后得到，函数图象过，将已知A、B、C坐标代入求出k值，根据题意得到k的取值范围即可． 【详解】解：∵，，是等腰直角三角形， ∴， 直线上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到解析式为：， ∴函数过点， 将坐标代入得，，， 将坐标代入得，，， 将坐标代入得，，． ∵点Q是等腰直角的“和雅点”， ∴或． 故答案为：或 18. 如图，在等腰中，，，点M为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，则当点E在从C到B的运动过程中，线段扫过的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质和旋转的性质，解题的关键是恰当作辅助线．如图，过点A作于D，当点E与点C重合时，点F在的延长线上，过点B作，延长交于G，通过画图可知：线段扫过的图形是，分别计算和的长，利用三角形的面积公式可得结论． 【详解】解：如图，过点A作于D， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， 当点E与点C重合时，点F在的延长线上，过点B作，延长交于G， ∴线段扫过的图形是， 由旋转得：，， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）分解因式：； （3）化简：； （4）解方程：； （5）解不等式：； （6）解不等式组：． 【答案】（1）2 （2） （3） （4） （5） （6）原不等式组无解 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）先通分，再根据平方差公式计算即可； （4）根据分式方程的解法求解即可； （5）根据一元一次不等式的解法求解即可； （6）根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 方程两边同除以2，得， 经检验，是原分式方程的根， ∴； （5）去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得； （6）解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组无解． 【点睛】本题考查实数的混合运算，利用完全平方公式进行分解因式，分式加减运算，解分式方程，解一元一次不等式及不等式组等，掌握分式方程的解法、用公式法分解因式法、零指数幂和负整数指数幂的运算法则、一元一次不等式及不等式组的解法是本题的关键． 20. 先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选择使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵且， ∴且， 则不等式组中符合条件的整数有0和1， 当时，原式． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． ①把向左平移6个单位后得到对应的，画出； ②将关于原点O中心对称，得到，直接写出点、的坐标． 【答案】 解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． 点，． 【解析】 【分析】本题考查平移作图，作中心对称图形，点的坐标，熟练掌握平移的性质和中心对称图形的性质是解题的关键． ①根据平移的性质作图即可． ②根据中心对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】①略 ②略 22. 已知关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数． （1）请用含a的式子表示出x，y； （2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由一元一次不等式的解集求参等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意得出不等式组，求出不等式组的解集为，然后根据不等式的解集求出，即可得出整数a为． 【小问1详解】 解：， ①+②得：，即； ②-①得：，即； 【小问2详解】 解：∵关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数． ∴， 解得：， ， ， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ∵，a为整数， ∴， 所以当a为时，不等式的解集为． 23. 如图，在等腰中，，平分，且与相交于点．过作于，交于，过作交的延长线于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图，连接连交于，求的值． 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵于， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由等腰直角三角形的性质得，，因为于，所以，而，可求得，，即可证明； （）先证明，得，再证明，得，所以； （）作于点，则，所以，则，由，求得，再根据三角形的中位线定理证明，则，所以，则，所以，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵交的延长线于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问3详解】 解：如图，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，点在上，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 随着华为鸿蒙系统的块速发展，华为手机正逐渐成为人们喜爱的智能设备，某手机店决定采购甲型和乙型两款手机，已知每部甲型手机的进价是每部乙型手机的进价的倍，若用万元购进甲型手机的数量比万元购进乙型手机的数量多2部． （1）甲型和乙型手机的进价分别为每部多少万元？ （2）该公司决定用不多于万元购进甲型和乙型手机共部，最多可以购买多少部甲型手机？ 【答案】（1）甲型手机的进价为每部万元，乙型手机的进价为每部万元 （2）最多可以购买部甲型手机 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式的应用； （1）设乙型手机的进价为每部万元，则甲型手机的进价为每部万元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购买部甲型手机，则购买部乙型手机，根据题意列出不等式，求得最大整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设乙型手机的进价为每部万元，则甲型手机的进价为每部万元，根据题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解 ∴ 答：甲型手机的进价为每部万元，乙型手机的进价为每部万元； 【小问2详解】 解：设购买部甲型手机，则购买部乙型手机，根据题意得， ， 解得：， 取最大整数解为， 答：最多可以购买部甲型手机． 25. 已知如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，且． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）将直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求的面积； （3）在（2）的情况下，直线上是否存在的一个点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． （1），则直线的表达式为：，联立上式和得：，即可求解； （2）先求出直线绕点C顺时针旋转后的解析式，由的面积，即可求解； （3）分，，，三种情况讨论即可，利用两坐标见距离公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 则直线的表达式为：， 联立上式和得：， 解得：， ∴点； 【小问2详解】 解：由（1）知直线的解析式为：， 令，则，解得， ， ， 直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D， 设点， 是直角三角形， ， ，即， 解得：， ， 设新直线的表达式为：， 则，解得， 则新直线的表达式为：， 则E的坐标为：， 则的面积； 【小问3详解】 解：存在，理由： 设点，则点， 由点P、E、O的坐标得，，，， 当时， 则， 解得：或， 当时，， 当时，， 则点或； 当时， 则， 解得：或0（舍去）， 当时，， 则点的坐标为：； 当时， 则， 解得：， 当时，， 则点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或或或． 26. 如图1，在等边中，D、E分别为边、边上的一点，且． （1）求证：； （2）如图2，D、E分别在边、边边的延长线上，且，连接，连接并延长交于点F，求的度数； （3）在（2）的情况下，如图3，将关于对称得到，交于M；将关于对称得到，交于．当时，求面积的最大值． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可推出，进一步得出结论； （2）可证得，从而得出，进一步得出结果； （3）作于G，可证得，进而证得，从而得出，设，则，从而得出，进而得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 作于G， ∴， ∵将关于对称得到，将关于对称得到， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，完全平方公式的应用。利用类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省成都实验外国语学校八年级（下） 期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 4. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 等角对等边 B. 两点之间，线段最短 C. 同旁内角互补 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5. 如果将点向右平移4个单位后，得到的点在第四象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某超市计划购进A，B两种水果，其中A种水果的进价比B种水果的进价低6元，用2400元购进A种水果的数量是用1600元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的进价．若设A种水果的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线：与直线：的交点坐标为，则使不等式成立的x取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 因式分解：______． 10. 若一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于______度． 11. 若分式的值为零，则x的值是______． 12. 若二次三项式可分解为，则m的值为______． 13. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为______． 14. 已知，则代数式的值是______． 15. 如图，，点P是平分线上一点，过点P作交于C，，过点P作于M，则____________． 16. 若关于y的分式方程的解为负数，则所有满足条件的非负整数m的值之和为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是______． 18. 如图，在等腰中，，，点M为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，则当点E在从C到B的运动过程中，线段扫过的面积是______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）分解因式：； （3）化简：； （4）解方程：； （5）解不等式：； （6）解不等式组：． 20. 先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． ①把向左平移6个单位后得到对应的，画出； ②将关于原点O中心对称，得到，直接写出点、的坐标． 22. 已知关于x，y的方程组中，x为非正数，y为负数． （1）请用含a的式子表示出x，y； （2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为． 23. 如图，在等腰中，，平分，且与相交于点．过作于，交于，过作交的延长线于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图，连接连交于，求的值． 24. 随着华为鸿蒙系统的块速发展，华为手机正逐渐成为人们喜爱的智能设备，某手机店决定采购甲型和乙型两款手机，已知每部甲型手机的进价是每部乙型手机的进价的倍，若用万元购进甲型手机的数量比万元购进乙型手机的数量多2部． （1）甲型和乙型手机的进价分别为每部多少万元？ （2）该公司决定用不多于万元购进甲型和乙型手机共部，最多可以购买多少部甲型手机？ 25. 已知如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，且． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）将直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求的面积； （3）在（2）的情况下，直线上是否存在的一个点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图1，在等边中，D、E分别为边、边上的一点，且． （1）求证：； （2）如图2，D、E分别在边、边边的延长线上，且，连接，连接并延长交于点F，求的度数； （3）在（2）的情况下，如图3，将关于对称得到，交于M；将关于对称得到，交于．当时，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $