22.12二次函数与几何压轴：线段与周长最值问题（重难点分层培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

22.12二次函数与几何压轴：线段与周长最值问题（重难点分层培优提升） 一、解答题 1．（23-24九年级上·江西宜春·期中）已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 2．（21-22九年级上·广东江门·阶段练习）如图，经过原点的抛物线与轴交于另一点． (1)求的值和抛物线顶点的坐标； (2)在轴上求一点，使的周长最小．    3．（2022九年级下·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标； 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 5．（22-23九年级上·山东临沂·期末）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 6．（21-22九年级上·山东菏泽·期末）已知抛物线 的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．   (1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； (2)根据图象回答：当x取何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标． 7．（21-22九年级下·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)点在该函数图象上（其中），求m的值； (4)在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（22-23九年级上·天津红桥·期中）如图，已知抛物线过点，，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限． ①当的面积为15时，求点的坐标； ②是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标． 9．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，直角坐标系中，抛物线，（，a，b均为常数）经过点（3，13），分别交y轴正半轴于点C，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）． (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标． (2)当时，求AB的长． 10．（21-22九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 11．（2024九年级下·黑龙江齐齐哈尔·学业考试）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值． 12．（2024·河南周口·三模）如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 13．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 14．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 2．（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，抛物线经过点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点B是抛物线与x轴的另一个交点，点M是直线上方的抛物线上的一点，当的面积最大时，求点M的坐标． 3．（2021·广东东莞·一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长； (3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m．求的最大值． 5．（2024·山西晋城·三模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． (2)是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 6．（2024·江西九江·二模）已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (1)当 时，求两个函数图象的交点坐标． (2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围． (3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求 的最小值； ②当轴时，求 的最小值． 7．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 8．（2024·河南郑州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，的取值范围是，求的取值范围； (3)如图2，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，直接写出周长的最大值． 9．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 10．（2024·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，点P，B在抛物线上，已知轴，且为等腰直角三角形，设的中点为F，点P的纵坐标为t． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在常数m，使得恒成立？若存在求出m的值，若不存在请说明理由； (3)已知，设，求的最大值，并求当取最大值时点的坐标． 11．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 12．（2024·广东广州·二模）已知抛物线 (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线与轴有两个不同的交点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且． ①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值； ②取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.12二次函数与几何压轴：线段与周长最值问题（重难点分层培优提升） 一、解答题 1．（23-24九年级上·江西宜春·期中）已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，求函数解析式，一般利用待定系数法求解；二次函数与线段长之间的关系，一般用点的坐标表示出线段的长, （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点和点代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或或或， ∴点P的坐标为或或或． 2．（21-22九年级上·广东江门·阶段练习）如图，经过原点的抛物线与轴交于另一点．    (1)求的值和抛物线顶点的坐标； (2)在轴上求一点，使的周长最小． 【答案】(1)，顶点的坐标是 (2)点的坐标为 【分析】（1）将点代入抛物线解析式即可求解； （2），因为定值，故求的最小值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线顶点的坐标是. （2）解：∵，为定值 ∴当的值最小时，的周长最小 如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，点即为所求.    设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为. ∴点的坐标为. 【点睛】本题考查抛物线与图形周长问题．将“的周长最小”转化为“的值最小”是解题关键． 3．（2022九年级下·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，可设抛物线的解析式为，再把代入，即可求解； （2）根据抛物线的性质可得，从而得到当A，C，P共线时，的值最大，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：或4， ∴， 由题意设抛物线的解析式为， 把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∵抛物线与是“共根抛物线”，， ∴抛物线、的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点为P， ∴点P在直线上， ∴， ∴， 如图，当A，C，P共线时，的值最大， 此时点P为直线与直线的交点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ∵直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 5．（22-23九年级上·山东临沂·期末）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）已知在直线上，可求得的值，抛物线图象上的、两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标， （3）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标，进而得到关于与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：，在直线上， ， ， ，在抛物线上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）设动点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为： （3）解： ， ∵， ∴当时，线段最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 6．（21-22九年级上·山东菏泽·期末）已知抛物线 的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．   (1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； (2)根据图象回答：当x取何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）观察图象得：当时，，即可； （3）作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解∶ 把点，代入抛物线 可得方程组 ，解得：， 所以函数表达式为 ，                    当时，， 解得； 另一个交点B的坐标为； （2）解∶观察图象得：当时，； （3）解∶ 如图，作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点． 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数式为， ∵抛物线对称轴为直线， 当时，， 即点． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键． 7．（21-22九年级下·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)点在该函数图象上（其中），求m的值； (4)在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴：直线，顶点坐标： (3)6 (4)存在，当点P坐标为时，最小 【分析】（1）利用待定系数法解答解答，即可求解； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解； （3）把代入二次函数的解析式，即可求解； （4）作点B关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为所求的点P．求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入，得∶ ，解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标：； （3）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴ 或6． ∵， ∴m的值为6； （4）解：存在． 如图，由（2）可知，作点B关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为所求的点P． 设直线的解析式为， 把点、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴． ∴当点P坐标为时，最小． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键． 8．（22-23九年级上·天津红桥·期中）如图，已知抛物线过点，，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限． ①当的面积为15时，求点的坐标； ②是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 则：，解得：， ∴； （2）解：如图与对称轴交于点，设 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∵点在第一象限， ∴， ∴ ②设直线的解析式为，把代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴当三点共线时，最长， 解得：（舍） ∴； 所以当时，最长． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数解析式是解题的关键． 9．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，直角坐标系中，抛物线，（，a，b均为常数）经过点（3，13），分别交y轴正半轴于点C，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）． (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标． (2)当时，求AB的长． 【答案】(1)，（ ， ） (2) 【分析】（1）把点（3，13）代入抛物线解析式即可求出a的值，再把解析式一般式化成顶点式，即可得到顶点坐标； （2）由解析式得出C点坐标，即可得OC长度，由，可得P点纵坐标，也就是点A，B的纵坐标，代入解析式计算即可． 【详解】（1）将点（3，13）代入抛物线中，得 解得 抛物线的表达式为 顶点坐标为（ ， ） （2）由抛物线的表达式为可得， （ ， ） 点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B 当 时，即 解得 即A点横坐标为 ，B点横坐标为 故，AB的长为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、一般式化成顶点式、二次函数的性质、两点间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（21-22九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；②4，-5；（4） 【分析】（1）设直线BC的解析式为 ，把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解； （3）①将抛物线解析式化为顶点式，即可求解； ②根据抛物线的顶点式，可得当 时，有最大值4，再由二次函数的增减性，即可求解； （4）设点 ，则，可得，即可求解． 【详解】解：（1）设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴直线BC的解析式为 ； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴抛物线所对应的函数解析式为 ； （3）①， ∴点 ； ②∵ ， ∴当 时，有最大值4， ∴在直线的左侧时， 随 的增大而增大；在直线的右侧时， 随 的增大而减小， 当 时， ， 当 时， ， ∴当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5； （4）设点 ，则， ∴ ， ∴当 时， 的值最大，最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 11．（2024九年级下·黑龙江齐齐哈尔·学业考试）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，，进而表示出的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； 【详解】（1）直线与轴、轴分别交于、两点， 、， 抛物线经过、两点， ， ， ． （2）设， 平行于x轴，与直线交于点， 令， ， ，， ， 当时，的长取最大值，最大值为4． 12．（2024·河南周口·三模）如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点；③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点，三种情况讨论求解即可； （3）根据对称性可知，连接交对称轴于点P，此时的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点A，C的坐标代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 将点A，C的坐标代入直线的解析式，得， 解得 ∴直线的解析式为． （2）解：①当点D在线段上时， ∵点A和点C的水平距离是3，且与抛物线只有一个交点， ∴； ②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点； ③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴点D的纵坐标为， 在中，当时，， ∴此时． 综上所述，或． （3）∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴连接交对称轴于点P，此时的周长最小， 将代入，得， ∴点P的坐标为．    13．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，得到，，表示出，结合二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得：， 解得：， 抛物线表达式为 将点，分别代入得：， 解得： 直线的表达式为； （2）解：设点坐标为， 轴， 点与点的横坐标相同，即点坐标为， ， 轴， 点与点的纵坐标相同， ， ， 即点坐标为， ， ，开口向下， 的最大值为． 14．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）再把原解析式化为顶点式，再根据二次函数平移的性质，即可求解； （3）先求出直线的解析式，设，则，可得，即可． 【详解】（1）解：将代入， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴平移后的函数解析式为； （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的长有最大值4． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)抛物线为，直线AC为 (2) (3)的最大值为． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果； （2）作直线，作点D关于直线的对称点，得坐标为，连结交直线于点M，此时三点共线时，最小，即最小，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而求出求出m的值； （3）设，则，表示出，根据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线过点得 ， 解得， ∴抛物线为； 设直线为过点，得 ， 解得， ∴直线为； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或，即抛物线与x轴的另一个交点为， 作直线，作点D关于直线的对称点， 得坐标为，如图，    连接交直线于点M， 此时三点共线时，最小，即最小， 设直线的关系式为：， 把点和代入得， 得，， ∴直线NM的函数关系式为：， 当时，， ∴； （3）解：如图，    ∵轴交于点Q， ∴设，则， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，抛物线经过点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点B是抛物线与x轴的另一个交点，点M是直线上方的抛物线上的一点，当的面积最大时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B的坐标，由点，求出直线的解析式，利用配方法求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）连接，设，根据的面积，由二次函数的性质得到当时，的面积有最大值，此时，即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在， 连接交抛物线的对称轴于点P，此时取最小值，如图所示：    当时，， 解得， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为 将点，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当的值最小时，点P的坐标为； （3）连接，    设， 的面积 ， 当时，的面积有最大值， 此时， ∴点M的坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，最短路径问题与二次函数，图形面积问题与二次函数，正确掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 3．（2021·广东东莞·一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长； (3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)PA+PC的长为 (3)存在，点Q的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）当x＝0时，y＝3，可得C（0，3）．再设设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系数法，即可求解； （2）连接PA、PB、PC，根据轴对称性可得PA＝PB．从而得到PA+PC＝PC+PB．进而得到当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，可得点，再由点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3， ∴C（0，3）． 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）， 将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1． ∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3． （2）解：如图，连接PA、PB、PC， ∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上， ∴PA＝PB． ∴PA+PC＝PC+PB． ∵两点之间线段最短， ∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值． ∵OC＝3，OB＝3， ∴BC＝． ∴PA+PC的最小值＝． （3）解：存在，理由： 抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1． ∵抛物线的对称轴l与x轴交于M点． ∴点， ∵点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）． ∴OM=ON=1，OB=OC=3， ∴， ∴∠CBM=∠MNO， 当点Q在点N下方时，∠MNQ=135°，不符合题意， ∴点Q在点N上方， 设点Q的坐标为（0，n）．则QN=n+1， ∵以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似， ∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB， 当时，，如图（2）， ∴， ∴，解得：， ∴点； 当时，，如图（3）， ∴， ∴，解得：， ∴点， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m．求的最大值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)的最大值为4 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到含直角三角形的性质、求一次函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点E作于点H，利用，求出，从而求出，再求出直线AC的表达式为：， 设点和点，从而求出，最后得到的最大值为4． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， 则， 则，解得：， 则抛物线的表达式为∶； （2）过点E作于点H， ∵，则， 即， 由点C、A的坐标得，直线的表达式为：， 则点、则点， 则， ∴的最大值为4． 5．（2024·山西晋城·三模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． (2)是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数与x轴和y轴的交点问题、求一次函数不等式、线段问题，熟练待定系数法是解题的关键． （1）把和分别代入即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，根据题意表示出，，然后利用列方程求解即可． 【详解】（1）把代入，得， ， 把代入，得， 解得，， 点在点的左侧， ，． 设线段所在直线的函数表达式为； ∴ 解得 ∴线段所在直线的函数表达式为； （2）点在抛物线上， 设点的坐标为， 轴于点，交AC于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 点在线段AC上方的抛物线上， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为． 6．（2024·江西九江·二模）已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (1)当 时，求两个函数图象的交点坐标． (2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围． (3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求 的最小值； ②当轴时，求 的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题； （1）当时，一次函数为y= 二次函数为 ，联立解析式，解方程，即可求解． （2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解； （3）当 时，一次函数为y= 二次函数为 ①设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解； ②设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为 联立方程组 解得 或 ∴交点坐标为或； （2）由 得 ∵两个函数图象没有交点， ∴ 得 （3）当 时，一次函数为二次函数为 ①∵轴 设 ， ∴当 时， ②设 ∵轴， ∴当 时， 7．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 8．（2024·河南郑州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，的取值范围是，求的取值范围； (3)如图2，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，直接写出周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入中，利用待定系数法即可求解； （2）将抛物线表达式配成顶点式得，当时，，且当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，结合图象即可求解； （3）先求得的解析式为，可得，， 设点，得，，可知，再求得，，根据的周长，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入中， 可得：，解得， ∴； （2）当时，或， ， 当时，，且当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 结合图象，可知当时，的取值范围是， ∴； （3）当时，，则， 设的解析式为，代入，， 得，解得， ∴的解析式为， ∵，， ∴，，则， ∴，， 设点， ∵轴，则， ∴， ∴， ， ∴的周长， 当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象及其性质，解直角三角形及其应用，掌握二次函数的顶点式、配方法求二次函数的最值，列出的长与的函数关系式是解题的关键． 9．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，而，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 又过， 则， 则． 即， 即； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、， 、， 则，， 由点、的坐标得，直线解析式为， ，， ． ， 又， ． ， 则， 当 时，； （3）解：存在，理由： 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：； 当或为对角线，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：，或； 综上，或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键． 10．（2024·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，点P，B在抛物线上，已知轴，且为等腰直角三角形，设的中点为F，点P的纵坐标为t． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在常数m，使得恒成立？若存在求出m的值，若不存在请说明理由； (3)已知，设，求的最大值，并求当取最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)最大值为，此时 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰直角三角形的性质，求出A，B的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点坐标，设，表示出，利用点在抛物线上将消去即可得出结论； （3）先将转化为，由图可知当、、三点依次共线时最大，此时最大值为，求出即可得最大值，利用直线与抛物线交点即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴， ∴或 把代入，得到； 把代入，得到（与矛盾，舍）， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵为中点， ∴， ∴， 设， 则， ∵点在抛物线上， ∴， 即， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：存在，使得恒成立； （3）由（2）知，，即， ∴， 由图可知，当、、三点依次共线时最大， 此时最大值为， ∵，， ∴， ∴最大值为， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， 所以直线解析式为， 联立抛物线解析式得：， 解得， ∵在的延长线上，故， ∴， 此时， 综上，最大值为，此时． 11．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数最值，二次函数在线段长的应用； （1）由抛物线的解析式可求，将其代入直线的解析式得，由直线解析式可求，将、的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求解； （2）由可求得，由在抛物线上得，即可求解；②将化成顶点式即可求解． 掌握待定系数法，会求二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ， ， ， 当时， ， ， ， 解得：， ； （2）解：①由题意得 ， 点是抛物线上的一个动点， ， ； ② ， ． 12．（2024·广东广州·二模）已知抛物线 (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线与轴有两个不同的交点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且． ①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值； ②取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)①；②当的值为或时，的最小值是． 【分析】（1）当时，抛物线，解方程，即可求解； ①根据题意得出和，点，点，过点作于点，由点，得点．根据题意求出的值即可； ②得出．求出，当，即时，当，即时，根据的最小值可分别求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线， 令，则， 解得或， ∴抛物线与轴的交点坐标为或； （2）解：①抛物线的解析式为， 令，则， 解得或， ∴和，， 令，则， ∴点，点， 过点作于点，由点，得点． 在中，，， ， ， ， 解得 ∴； ②由是的中点，连接，，得． 根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上， 由点，点，得，， 在中，． 当，即时，满足条件的点在线段上． 的最小值为，解得； 当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为， 解得． 当的值为或时，的最小值是． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． ( 50 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$