精品解析：五育联盟——巅峰计划河南省2024-2025学年高三上学期第一次综合检测数学试题

五育联盟——巅峰计划·河南省2024~2025学年 高三年级秋季学期第一次综合检测 数学试题 ★祝考试顺利★ 本试题卷共6页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，且在复平面内对应的点关于原点的对称点位于第二象限，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线垂直”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 4. 在中，角对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（ ） A B. C. 3 D. 5. 过原点直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（ ） A. 存在和，使得不变 B. 存在和，使得变为原来的2倍 C. 若，则最多可变为原来的2倍 D. 若，则最多可变为原来的2倍 7. 已知定义域为的函数满足：①对任意，有恒成立；②若，则．下列说法不正确的是（ ） A. 在上是严格增函数 B. 若，则 C. 函数经过原点 D. 函数的图象与轴重合 8. 已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，在三角学领域有着广泛的应用.已知，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ） A. 定义域为 B. C. 与正切函数有相同的对称中心 D. 将函数的图象向右平移个单位均可得到函数的图象 10. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过40的素数中，任选两个不同的素数，令事件，，，记事件发生的概率分别为，则下列关系式不成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的图象关于原点对称 B. 曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有________种． 13. 已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，已知四点共圆，则圆心坐标为______． 14. 已知且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某公司举行年终联欢活动，每位员工可从下表所示两种方案中选择一种抽取红包． 方案一 4个红包内分别装有现金200元、400元、600元、800元，参与抽红包的员工可从中随机抽取2个； 方案二 员工通过手机扫描公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员工可抽4次，每次抽中红包的概率均为0.5，每个红包的金额均为a元． 已知员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为元. （1）求的分布列； （2）若，求的值． 16. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为4． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值． 17. 已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1． （1）求曲线M的方程； （2）设点．若过点直线与曲线M交于B，C两点，求的面积的最小值． 18. 已知函数，圆． （1）若，写出曲线与圆C的一条公切线的方程(无需证明)； （2）若曲线与圆C恰有三条公切线． (i)求b的取值范围； (ii)证明：曲线上存在点，对任意，． 19. 约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数. 设正整数有个正约数，即为. （1）当时，是否存在构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由； （2）当时，若构成等比数列，求正整数； （3）当时，若是的所有正约数的一个排列，那么，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 五育联盟——巅峰计划·河南省2024~2025学年 高三年级秋季学期第一次综合检测 数学试题 ★祝考试顺利★ 本试题卷共6页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，且在复平面内对应的点关于原点的对称点位于第二象限，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由乘法运算得出，再由对称性结合复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意知，，即. 在复平面内对应的点关于原点的对称点为， 所以，即. 由选项可知，B正确，ACD错误； 故选：B 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若直线与直线垂直，则， 即，解得或， 因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选：A. 3. 已知向量，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平面向量数量积的坐标表示与三角恒等变换化简，再根据整体角范围利用正弦函数图象求解最值即可. 【详解】由，得，， 由， 得 ， 因为， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 故选：C. 4. 在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“”的代换，结合基本不等式求最值. 【详解】由题意得，，所以， 则， 当且仅当时，即等号成立， 故当时，取到最小值. 故的最小值为. 故选：C. 5. 过原点直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解. 【详解】由得，由得， 设过原点的直线分别与曲线相切于点， 则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为， 所以，所以，所以，即， 代入得. 故选：D 6. 根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（ ） A. 存在和，使得不变 B. 存在和，使得变为原来的2倍 C. 若，则最多可变为原来的2倍 D. 若，则最多可变为原来的2倍 【答案】D 【解析】 【分析】由，当不变，与均变为原来的2倍时，，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以当不变，与均变为原来的2倍时，， 对于A，若不变，则，所以，因，所以上式无解， 所以不存在和，使得不变，所以A错误， 对于B，若变为原来的2倍，则，所以， 当，时，，所以， 所以无解，所以不存在和，使得变为原来的2倍，所以B错误， 对于C，若，则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，最少可变为原来的2倍，所以C错误， 对于D，由，得， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，所以若，则最多可变为原来的2倍，所以D正确. 故选：D 7. 已知定义域为的函数满足：①对任意，有恒成立；②若，则．下列说法不正确的是（ ） A. 在上是严格增函数 B. 若，则 C. 函数经过原点 D. 函数的图象与轴重合 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据其单调性判断A；取结合条件①判断B；由判断C；由判断D. 【详解】对于A：不妨设，满足题设条件，但此时在上是严格减函数，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：令，，故C正确； 对于D：，即， 函数的图象与轴重合，故D正确； 故选：A 8. 已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与中较小角为，斜边为，结合锥体体积公式可用与表示各四面体体积，即可采用作商法结合三角函数的性质得到各体积大小关系. 【详解】不妨设中斜边为，，则， 则，， 对折叠后的四面体，有， ，， 则 ， 对折叠后的四面体，作于点， 由为中点，则， 则， 故， ， 对折叠后的四面体，作于点， 有，由， 则， 整理得，又， 则 ， 则有， ， 由，则，， 故，，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助直角三角形的边与角，结合锥体体积公式表示出各四面体的体积，再借助作商法比较大小. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，在三角学领域有着广泛的应用.已知，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ） A. 定义域为 B. C. 与正切函数有相同的对称中心 D. 将函数的图象向右平移个单位均可得到函数的图象 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域判断A，由诱导公式结合商数关系判断B，根据正切函数的对称中心判断C，根据图象的平移判断D. 【详解】对于A：由正切函数的定义域可知，即， 所以余切函数定义域为，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为的对称中心为， 令，解得， 由，可知，即的对称中心为， 故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确； 的图象向右平移个单位可得， 故D正确. 故选：BCD 10. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过40的素数中，任选两个不同的素数，令事件，，，记事件发生的概率分别为，则下列关系式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据素数的定义确定不超过40的素数，求出任意取两个不同的素数p、样本点数，再由各事件定义写出对应样本点，并求出对应事件的概率，即可判断各项正误. 【详解】由题设，不超过40的素数有共12个， 从中任意取两个不同的素数、：有11个，有10个，有9个， 有8个，有7个，有6个，有5个， 有4个，有3个，有2个，有1个， 所以共有个样本点； 共5个样本点； 共4个样本点； 共11个样本点； 所以， 显然，. 故选：ABC 11. 双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的图象关于原点对称 B. 曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断；选项B，利用换元法转化为二次方程，通过判别式得出范围，再赋值求解整点的坐标即可；选项C，利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断；选项D，联立直线y＝kx与曲线C研究方程根的情况即可． 【详解】A项，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程， 即方程成立， 可得成立， 即点关于原点的对称点也适合曲线方程， 所以曲线的图象关于原点对称，故A正确； B项，方程可化为， 令，则方程， 由判别式，可得， 若是整数，则. 令，，解得或3或，有三个整点，，； 令，，解得或5，此时无整点； 所以曲线共经过3个整点，故B错误； C项，设曲线C上任一点， 当为原点时，到原点的距离为，满足题意； 当不为原点时，， 则由可得，， 所以点到原点的距离，且； 综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故C正确； D项，直线恒过原点，且曲线C经过， 则直线与曲线至少一个公共点， 又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点. 联立， 消得， 当时，方程仅一解，满足题意； 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解， 当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意； 综上，，解得或，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有________种． 【答案】 【解析】 【分析】5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设，考虑当只有1对同色面，当只有2对同色面，当3对面均同色时三种情况，计算得到答案. 【详解】5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设； ①当只有1对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能， 剩下4个面用剩下4种颜色分别填充有种可能，所以共有种； ②当只有2对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，2种颜色配2对面有2种可能，剩下2个面由剩下3种颜色选2种分别涂，有种，共种； ③当3对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，3种颜色配了对面有种， 共种； 综上所述：共种. 故答案为： 13. 已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，已知四点共圆，则圆心坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆心在弦的中垂线上，利用对称性可得中垂线方程，再联立椭圆方程利用韦达定理求出中点坐标，进而求得中垂线方程，联立两中垂线方程可得圆心. 【详解】由对称性可知，圆心在线段的中垂线上，也在线段的中垂线上， 设的中垂线，中点为， 设直线与椭圆交点， 联立消得，， 由韦达定理得，， 故，又点在直线上， 则，解得， 联立，解得，所以所求圆的圆心为. 故答案为：. 14. 已知且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系化简函数解析式，再利用换元法求函数最值即可. 【详解】，则， ， 令， 则， 由，， 知，即恒成立， 又由，即当且仅当时等号成立， 由，故当时等号取到， 所以， 当，即时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某公司举行年终联欢活动，每位员工可从下表所示两种方案中选择一种抽取红包． 方案一 4个红包内分别装有现金200元、400元、600元、800元，参与抽红包的员工可从中随机抽取2个； 方案二 员工通过手机扫描公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员工可抽4次，每次抽中红包的概率均为0.5，每个红包的金额均为a元． 已知员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为元. （1）求的分布列； （2）若，求的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （2）记乙抽中元红包的次数为，则，根据二项分布的期望公式及期望的性质求出，从而得到方程求解即可. 小问1详解】 甲通过方案一抽取红包，由题意得的所有可能取值为. 所以，， ，，， 所以的分布列为： 600 800 1000 1200 1400 乙通过方案二抽取红包，由题意得的所有可能取值为， 所以，， ，，， 所以的分布列为： 0 【小问2详解】由（1）分布列可得． 乙通过方案二抽取红包，抽取次，记抽中元红包的次数为，则， 由题意知，则， 所以，又，所以，解得． 16. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为4． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法，由可构造方程求得结果； （2）利用线面垂直的判定与性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 由题意知； 设点到平面的距离为， ，解得：， 即点到平面的距离为. 【小问2详解】 取的中点，连接， ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 三棱锥为直三棱柱，平面， 又平面，； ，平面，平面， 平面，则，且. 以为坐标原点，以正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，    由（1）知，点到平面的距离为，则， ，， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，解得，令，得，； 设平面的法向量， 则，解得，令，得，； ， 设平面与平面夹角为，则 则平面与平面夹角正弦值为. 17. 已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1． （1）求曲线M的方程； （2）设点．若过点的直线与曲线M交于B，C两点，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解； （2）设直线的方程，联立直线与抛物线的方程，可知的面积，结合韦达定理及二次函数求最值，即可得解. 【小问1详解】 由已知得，曲线M上的任意一点到点的距离与它到直线的距离相等， 所以曲线M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线M的方程为 【小问2详解】 设， 显然，过点的直线斜率不为0，设其方程为 联立，整理得 其中， 由韦达定理得：，， 所以的面积 当时， 所以的面积的最小值为 18. 已知函数，圆． （1）若，写出曲线与圆C的一条公切线的方程(无需证明)； （2）若曲线与圆C恰有三条公切线． (i)求b的取值范围； (ii)证明：曲线上存点，对任意，． 【答案】（1）； （2）(i)；(ii)证明见解析． 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义表示出f(x)的切线方程，再根据该切线与圆相切列出方程，取方程的特殊解即可得到一条共切线的方程； (2)(i)设曲线与圆公切线的方程为，根据导数几何意义求出k和m的关系，再根据圆的切线方程的几何性质得到关于k的方程，问题转化为讨论该方程有三个解的问题.构造函数，将问题转化为讨论函数有3个零点的问题.(ii)根据(i)中构造出的函数，结合图象即可证明． 【小问1详解】 设f(x)的切线的切点为， ∵，∴切线斜率为， ∴切线方程为，即， 当b＝1时，圆的圆心为，半径为， 当f(x)的切线也是圆的切线时，， 即， 易知是该方程的一个根，此时切线方程为． 【小问2详解】 (i)设曲线与圆公切线的方程为(显然，l斜率存在)， ∵与曲线相切，故， ∴切点为，，即，即， ∵与圆相切，∴，即， ∴， 令， 则， 设，则， 易证明：． ①当时，∵在上单调递增，在上单调递减；∴， ∵，， ； ∴存在，，使得． ∴，， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； ∵，且， 又∵， 且， ∴存在，使得， ∴当时，曲线与圆恰有三条公切线； ②当时，∵； ∴存在，使得， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； ∴，且， ∴不可能存在三个零点； ③当时，；∴在上单调递减，最多一个零点； ∴最多一个极值点，不可能有三个零点； 综上，若曲线与圆恰有三条公切线，则的取值范围为． (ii)函数的零点， 即方程的解， 即曲线和曲线交点的横坐标， 结合图象， 显然存在，使得成立， ∴对任意恒成立． 【点睛】本题属于导数的综合题，需要利用导数讨论方程根的个数问题（函数零点问题）.问题关键是熟练掌握利用导数分类讨论函数的单调性，判断函数的零点的个数. 19. 约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数. 设正整数有个正约数，即为. （1）当时，是否存在构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由； （2）当时，若构成等比数列，求正整数； （3）当时，若是的所有正约数的一个排列，那么，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）不是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，若为质数，则正整数符合题意； （2）由题意可得，，，根据等比数列的定义可得，将等式化简变形，由整数性质分析得，再累加利用等比数列求和公式可求； （3）用反证法.假设，，，⋯，是另一个正整数b的所有正约数的一个排列，由不等关系，除1外的正约数，可推出b是奇数且偶数，且，由的正约数与的大小关系，产生个数矛盾得出假设错误. 【小问1详解】 存在. 若为质数，则正整数的所有正约数为， 它们构成等比数列，满足题意. 比如：为16的所有约数，它们构成等比数列； 为27的所有约数，它们构成等比数列； 为25的所有约数，它们构成等比数列. 故为满足题意的正整数. 【小问2详解】 由题意，的所有正约数为，且， 则有是的最小约数，本身是的最大约数， 即，. ，至少个约数，即除外，至少还有个约数， 则可写成两个约数之积的形式，所以， 由构成等比数列， 可知， ，化简可得， 则，又是正整数， 因此可知是完全平方数，且是正整数a的最小非1的正约数， 设，其中， 由是的正约数，则是的一个正约数，故， 所以， 故若构成等比数列， 则该等比数列的首项为，公比为，且, 则， 因此. 【小问3详解】 当时，若是的所有正约数的一个排列， 则，，，⋯，不是另一个正整数b的所有正约数的一个排列. 下面用反证法证明. 证明：假设，，，⋯，是另一个正整数b的所有正约数的一个排列． 由是任意正整数的最小正约数， 由，知，其中， 由，则（）， 所以不是的正约数，所以b是奇数，且任意偶数都不是的正约数， 所以为奇数，，故是偶数，又是的正约数，故是偶数， 所以的所有正约数中最大的两个为，即， 则有， 可知的最大正约数为，由任意正整数的最大正约数是其本身， 故， 因为a有k（）个正约数，且，即至少有个正约数， 则的次大正约数，且， 则至少存在一个除本身外大于的正约数， 而由是奇数，有除外的最小正约数，可得， 则有，即奇数的所有正约数中，不存在除本身外大于的正约数， 这与“至少存在一个除本身外大于的正约数”矛盾. 因此假设不成立，即，，，⋯，不是另一个正整数b的所有正约数的一个排列. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于两点：一是约数的性质的理解与应用，如（1）问中的质因数数列的特殊举例，（2）问中由所有正约数的大小关系得到的表示形式，（3）问中的非正约数与最小质因数的等量与不等关系；二是消元、构造方法的应用，如（2）问中的多元关系消元转化为的二元关系，再构造整体，由是完全平方数为突破口得到，进而应用等比数列求和公式，利用累加法求通项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$