精品解析：山东省烟台经济技术开发区第四初级中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题

2022-2023学年度第一学期七年级数学期中考试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分为120分，考试时间120分钟． 2．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 3．在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、单选题（3×12=36分） 1. 2022年北京冬奥会冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是（ ） A. 对顶角相等 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两点之间线段最短 3. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边 4. 如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 5. 如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG、FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＝62°，β＝58°，则∠EMF的度数为（　　） A. 57° B. 58° C. 59° D. 60° 6. 小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块，想去玻璃店配一个完整的玻璃需要带( ) A. 第一块 B. 第二块 C. 第三块 D. 第四块 7. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 8. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，锐角三角形ABC中，ΔBPD≌ΔCPD，且直线m为∠ABC的角平分线.若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（　　） A. 36° B. 32° C. 30° D. 24° 10. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 15 11. 如图所示，在中，已知点，，分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为（ ） A. 15平方厘米 B. 16平方厘米 C. 17平方厘米 D. 18平方厘米 12. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 二、填空（3×6=18分） 13. 等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是_______________． 14. 三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是_____. 15. 如图，点在同一直线上，已知，要使，以“”需要补充的一个条件是________________（写出一个即可）. 16. 如图，内一点，、分别是点关于、的对称点，交于，交于，若，则的周长是________． 17. 如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 18. 如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______． 三、解答题 19. 已知：如图，，，，求证：． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． （1）试判断的形状并说明理由． （2）画出关于直线对称的． 21. 如图，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在外侧距下底处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处的外侧点F处有一只苍蝇，试求蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是多少． 22. 如图，在中，，，． （1）若，求证； （2）如果，，试求的长． 23. 如图，在中，点D是上一点，交于点E，连接、，，． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． （1）试说明△ADC与△BEC全等的理由； （2）试判断△DCE的形状，并说明理由． 25. （1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接， ①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； ②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年度第一学期七年级数学期中考试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分为120分，考试时间120分钟． 2．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 3．在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、单选题（3×12=36分） 1. 2022年北京冬奥会冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是（ ） A. 对顶角相等 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两点之间线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大． 3. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，根据SSS可证△ODC≌△O′D′C′，根据全等三角形的对应角相等即可得∠A′O′B′=∠AOB．可得答案. 【详解】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′， ∴△ODC≌△O′D′C′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 故选A. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 4. 如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 5. 如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG、FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＝62°，β＝58°，则∠EMF的度数为（　　） A. 57° B. 58° C. 59° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠DEG＝α＝62°，∠AFH＝β＝58°，由折叠得∠DEM＝2∠DEG＝124°，∠AFM＝2∠AFH＝116°，求出∠MEF和∠MFE，然后根据三角形内角和等于180°即可求出答案． 【详解】解：∵在长方形ABCD中，ADBC， ∴∠DEG＝α＝62°，∠AFH＝β＝58°， 由折叠得：∠DEM＝2∠DEG＝124°，∠AFM＝2∠AFH＝116°， ∴∠MEF＝180°－∠DEM＝56°，∠MFE＝180°－∠AFM＝64°， ∴∠EMF＝180°－∠MEF－∠MFE＝180°−56°－64°＝60°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和等于180°． 6. 小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块，想去玻璃店配一个完整的玻璃需要带( ) A. 第一块 B. 第二块 C. 第三块 D. 第四块 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”可知： 第2块玻璃可确定此三角形玻璃的两个角及两角的夹边，由此即可求得答案． 【详解】解：根据全等三角形的判定可知，第2块玻璃符合判定中的“角边角”， ∴带第2块玻璃可以配一个完整的玻璃， 故选：B． 【点睛】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目， 解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 7. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义，可知，，然后代入数值求解即可． 【详解】解：如下图， 由题意：，， ∴， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的几何意义，理解直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键． 8. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质得到，进而得到的周长，即可．掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， ∴； 故选C． 9. 如图，锐角三角形ABC中，ΔBPD≌ΔCPD，且直线m为∠ABC的角平分线.若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（　　） A. 36° B. 32° C. 30° D. 24° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出∠ABC和∠PCD的和，再根据三角形全等和角平分线的性质求出∠ABP． 【详解】 ∵∠BAC=60°，∠ACP=24° ∴∠ABC+∠PCD=180°－60°－24°＝96° ∵ΔBPD≌ΔCPD ∴∠PBC＝∠PCD 又∵直线m为∠ABC的角平分线 ∴∠PBC＝∠ABP ∴∠ABP＋∠PBC＋∠PCD＝96° ∴∠ABP＝32° 【点睛】此题考查了三角形全等和角平分线，解题的关键是熟悉三角形全等的性质和角平分线的性质． 10. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：如图，将台阶展开， 因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9， 所以AB2＝AC2＋BC2＝225， 所以AB＝15， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键． 11. 如图所示，在中，已知点，，分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为（ ） A. 15平方厘米 B. 16平方厘米 C. 17平方厘米 D. 18平方厘米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考了三角形的面积和三角形中线的性质，三角形的面积除了运用面积公式外，还可以利用三角形中线的性质计算三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，得平方厘米，平方厘米，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴平方厘米， ∵是的中点， ∴平方厘米，平方厘米， ∴平方厘米， ∵是的中点， ∴平方厘米． 故选：B． 12. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂线段最短，且两点之间线段最短， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， 周长的最小值． 故选：D． 二、填空（3×6=18分） 13. 等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是_______________． 【答案】16cm 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜7，不符合三角形的三边关系，应排除； 当腰长是7cm时，7，7，2符合三角形三边关系，此时周长是16cm． 故答案为：16cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 14. 三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是_____. 【答案】19cm 【解析】 【分析】三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和. 【详解】解：7﹣3＜第三边＜7+3， ∴4＜第三边＜10， ∵这个范围的最大的奇数是9， ∴三角形的周长是：3+7+9＝19(cm). 故答案为19cm. 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系. 15. 如图，点在同一直线上，已知，要使，以“”需要补充的一个条件是________________（写出一个即可）. 【答案】等 【解析】 【分析】需要补充的一个条件是BE=CF，若BF=CE，可用AAS证明△ABF≌△DCE；若补充条件AF=DE，也可用AAS证明△ABF≌△DCE． 【详解】解：要使△ABF≌△DCE， 又∵∠A=∠D，∠B=∠C， 添加BF=CE或AF=DE，可用AAS证明△ABF≌△DCE； 故填空答案：等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可. 16. 如图，内一点，、分别是点关于、的对称点，交于，交于，若，则的周长是________． 【答案】##5厘米 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：∵P与关于对称， ∴， 同理，P与关于对称， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 17. 如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 【答案】135 【解析】 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案； 【详解】如图所示， 在△ACB和△DCE中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据勾股定理可以得到AC的长，然后根据翻折的性质和勾股定理，即可求得CD的长． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8， ∵将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在线段AC的延长线上点E处， ∴AE=AB=10，BD=ED， ∴CE=AE-AC=10-6=4， 设CD=x，则BD=8-x， ∵∠DCE=90°， ∴CD2+CE2=ED2， 即， 解得x=3， ∴CD=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题 19. 已知：如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，则，即，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． （1）试判断的形状并说明理由． （2）画出关于直线对称的． 【答案】（1）为直角三角形，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，轴对称作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理． （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）先坐标点A、B、C关于直线的对称点，然后再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形． 21. 如图，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在外侧距下底处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处的外侧点F处有一只苍蝇，试求蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是多少． 【答案】34cm 【解析】 【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可． 【详解】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径， 过S作SE⊥CD于E， 则（cm）， （cm）， 在Rt△FES中， 由勾股定理得：（cm）， 答：捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径的长度是34cm． 【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中． 22. 如图，在中，，，． （1）若，求证； （2）如果，，试求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得出，根据垂直平分线的性质得出，求出，得出平分，根据角平分线的性质得出结果即可； （2）设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可． 【小问1详解】 证明：中，， ∴， 根据题意可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ，， ∴． 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知，， 设，则， ∵在中，， 则， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌垂直平分线的性质，勾股定理，是解题的关键． 23. 如图，在中，点D是上一点，交于点E，连接、，，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“角角边”可证，可得 ． （2）由等腰三角形的判定可得 ，可得结论； 【小问1详解】 证明： ，， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 证明：， ， ， ∵， ， ． 24. 如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． （1）试说明△ADC与△BEC全等的理由； （2）试判断△DCE的形状，并说明理由． 【答案】（1） ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC（SAS）； （2）等边三角形， 理由如下： ∵△ADC≌△BEC， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC， 即△DCE是等腰三角形， ∴△DCE是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS证明△ADC≌△BEC即可； （2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定定理、直角三角形的性质，熟记等边三角形的判定是解题的关键． 25. （1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接， ①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； ②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可） 【答案】 （1）①解：， 证明如下：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中， ， ∴． ∴ ②； （2）①； ② 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，即可得到结论；②由全等三角形的性质得到．求出，得出，从而证； （2）①证明，得出，进一步得到；②由全等三角形的性质得到再证明，即可得到． 【详解】（1）解：①略 ②∵ ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：① ∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ②∵ ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $