精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期初练习数学试卷

南京师大附中2023 - 2024学年度第2学期 高二年级期初数学练习卷 一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 4. 设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点,则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则=（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 143 8. 设，若曲线与存在公切线，且的根为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合，，其中，若中有且仅有一个元素，则的值是（ ）. A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 10. 若函数在上有最大值，则a的取值可能为 A. B. C. D. 11. 若序列满足满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为6的0-1序列中，满足的序列是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，点为线段的中点，则________． 13. 设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为__________． 14. 设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前n项和为，对任意，有． （1）证明：是等差数列； （2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围． 16. 已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． （1）求{}和{}的通项公式； （2）若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 17. 已知函数， （1）求函数的单调增区间； （2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，且. （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，点为直线上一点，以为圆心的圆同时与轴和直线相切，且，求椭圆的标准方程. 19. 设点分别为函数图象上一点，定义为两点间欧几里得距离，为两点间曼哈顿距离. （1）证明； （2）设函数，求的最小值； （3）设为正实数，函数，对于函数图象上的点有的最小值为4，求的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师大附中2023 - 2024学年度第2学期 高二年级期初数学练习卷 一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导代入即可得解. 【详解】由题，，故. 故选：A. 2. 过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程． 【详解】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A 3. 已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 4. 设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合余弦定理计算可得离心率. 【详解】由题意,设由双曲线的定义得，又， 求得而， 所以在中余弦定理得, 所以，即. 所以 ， 故双曲线C的离心率为. 故选： 5. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点,则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，设椭圆的另一个焦点为，可得出，利用椭圆的定义可得出的周长为，求出的最小值即可得出的周长的最小值. 【详解】如图所示，记椭圆的另一个焦点为, 则根据椭圆的对称性可知：，, 设，则， 所以，， 所以的周长为. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的计算，考查了椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据函数在区间上单调递增，则在上恒成立，再结合正弦函数的性质即可得出答案. 【详解】解：由题意得：， ∵在上单调递增，∴在上恒成立，又， ∴在上恒成立，当时，， ∴，∴，∴，解得：. 故选：C. 7. 已知数列满足，，则=（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 143 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解. 【详解】解：因为， 所以，即， 等式两边开方可得：，即， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：C． 8. 设，若曲线与存在公切线，且的根为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原问题转换为方程有解问题，构造函数，其中，利用导数研究其值域即可得解. 【详解】由题意可知，曲线与存在公切线， 设切点分别为， 则公切线为，即， 而切线斜率，， 则， 而点在公切线上，故代入切线方程得， 化简得，其中, 令，其中， ，可知在上单调递减，而为的零点（即）， 时，，即在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故， 当趋于正无穷时，趋于负无穷，所以的值域为； 所以的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键在于将原问题进行适当的转换，从而结合导数即可顺利得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合，，其中，若中有且仅有一个元素，则的值是（ ）. A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】AC 【解析】 【分析】题意说明两个圆只有一个公共点，两个圆相切（外切和内切）时，只有一个公共点． 【详解】圆的圆心是，半径为， 圆圆心是，半径为， ，当，时，两圆外切，当，时，两圆内切，它们都只有一个公共点． 故选：AC． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，解题关键是确定集合中的元素，本题实质是考查圆与圆的位置关系． 10. 若函数在上有最大值，则a的取值可能为 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由利用导数判断函数的单调性可得的增区间为， 减区间为，可得在处取得极大值，又， 又在上有最大值，则需，运算即可得解. 【详解】解：令，得，， 当时，；当或时，， 则的增区间为，减区间为， 从而在处取得极大值， 由，得，解得或， 又在上有最大值， 所以，即， 故选ABC. 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力. 11. 若序列满足满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为6的0-1序列中，满足的序列是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义，逐个进行判断即可. 【详解】由题意，由知，序列的周期为，由已知，， ， 对于选项A， 所以不满足题意. 对于选项B， 均符合题意. 对于选项C， 均符合题意. 对于选项D， 均符合题意. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，点为线段的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可用“点差法”，设出、两点的坐标，分别代入椭圆的方程再两式相减，将所得式子变形成直线的斜率的方程，解出的值即可. 【详解】设，则 ，两式相减，得 ， 因为点为线段的中点， 所以， 又因为， 所以，则. 故答案为：. 13. 设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设由得，由均在抛物线上求出可得直线的斜率，再由点斜式方程方程可得答案. 【详解】由题，，又， 则，， 由题意知,，因此， 即， 又由均在抛物线上知， 解得， 直线的斜率为， 因此直线的方程为或. 故答案为：或. 14. 设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据关系化简，再根据等差数列求出通项最后应用裂项相消求和即可. 【详解】由题知，. 因为，所以, 两边同时除以得，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以所以， 因为， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前n项和为，对任意，有． （1）证明：是等差数列； （2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1） 因为①，则② ①－②可得 ， 故为等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由条件转化为，再转化为关于首项的不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若当且仅当时，取得最大值， 则有,得则，， 故的取值范围为． 16. 已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． （1）求{}和{}的通项公式； （2）若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式； （2）需要先用错位相减法求得数列{}的前n项和为，代入不等式中对n分类讨论，转化为最值问题，求出m范围即可． 【小问1详解】 解：等差数列{}中，设公差为d， 则 数列{}中的前n项和为，且① 当时， 当时，② ②－①得： 故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. 【小问2详解】 解：数列{}中，. 则 所以 故 所以 ∵对恒成立． 当n为奇数时，， 当n为偶数时， 综上：实数m的取值范围为． 17. 已知函数， （1）求函数的单调增区间； （2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在及上递增； （2）． 【解析】 【分析】（1）求导函数，通分，利用二次函数的性质对a进行分类讨论，研究导数的正负，进而得到函数的单调增区间； （2）先根据（1）的结论，得到a的取值范围及两极值点满足的条件，利用韦达定理的关系将不等式转化为只含有x2和m的不等式，分离参数m,构造函数，利用导数研究单调性和最值，进而根据不等式恒成立的意义求解. 【小问1详解】 ，，注意到， ①当时，，在上单调递增； ②当时，令，得，，此时，在及上导数值大于零， 所以在及上递增； 【小问2详解】 由（1）知，，，，则， 由恒成立，即， 即， 即， 记，， 则， 故在上为增函数， ， 故. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，且. （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，点为直线上一点，以为圆心的圆同时与轴和直线相切，且，求椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，由求解； （2）设椭圆方程为，直线l的方程为，联立，得到，由圆心C在直线上，设，再根据求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由已知得，， 又由，消去得，解得， 所以，椭圆的离心率为. 【小问2详解】 由（1）知，，故椭圆方程为， 由题意，，则直线的方程为， 点的坐标满足，消去并化简，得到， 解得，代入到的方程，解得， 因为点在轴的上方，所以， 由圆心在直线上，可设， 由（1）知，则，又， ，即，解得，即. 因为圆与轴相切，所以圆的半径为2， 由圆与相切，得圆心到直线的距离，解得， 故，所以椭圆的方程为：. 【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 设点分别为函数图象上一点，定义为两点间欧几里得距离，为两点间曼哈顿距离. （1）证明； （2）设函数，求的最小值； （3）设为正实数，函数，对于函数图象上的点有的最小值为4，求的取值. 【答案】（1）证明如下： 由， ， ， ， . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对进行平方后作差比较大小，即可得到的大小关系； （2）设与平行与有公共点的直线为，结合与的图象求出的最小值. （3）由过定点，当时，为图象上的点，此时，且，时满足.因此只需满足图象上的其他点的曼哈顿距离不小于4即可，故利用取绝对值分类讨论进行解答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由的图象是以为圆心，1为半径在轴上方的半圆， 设与平行与有公共点的直线为， 直线与的公共点到上的点的曼哈顿距离： 结合图形知，， ，即取最大值时，取得最小值. 当原点到直线的距离为：，即直线与相切时，取最大值，的最小值. 联立 与 此时切点，即与任意一点的曼哈顿距离为. . 【小问3详解】 过定点，当时，为图象上的点， 此时，即，时满足. 函数，对于函数图象上的点有的最小值为4， 只需，求的值即可. 当时， ,此时没有能使恒成立； 当时， 要使，则，即 构造函数，等价于求取何值时恒成立. ，时，， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增. , 构造函数, ，，, 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减. , 因此要使，则. 结合图象当时，也满足. 因此，. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分情况讨论，判断函数的单调性，求解最值，最后求出参数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $