精品解析：江苏省常州市外国语学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题

2022-2023学年第一学期九年级数学阶段练习 班级：________ 学号：________ 姓名：________ 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断作答即可． 【详解】解：，化简后为，原方程不是一元二次方程，A错误，故不符合要求； 中没有限定，原方程不一定是一元二次方程，B错误，故不符合要求； ，化简后为，原方程是一元二次方程，C正确，故符合要求； 中含有两个未知数，原方程不是一元二次方程，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 顶点在圆上的角叫圆周角 B. 三点确定一个圆 C. 圆的切线垂直于半径 D. 半径相等的半圆是等弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断真假命题，圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义，根据圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义逐项分析即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】、圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角，原选项不正确，不符合题意； 、不共线的三点确定一个圆，原选项不正确，不符合题意； 、圆的切线垂直于过切点的半径，原选项不正确，不符合题意； 、半径相等的半圆是等弧，原选项正确，符合题意； 故选：． 3. 若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是2，则点P与⊙A的位置关系是（　　） A. P在⊙A上 B. P在⊙A外 C. P在⊙A内 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置的关系，比较圆心A与点P的距离和半径的大小即可求解． 【详解】解：∵圆心A与点P的距离是2，⊙A的半径为5 ∴点在⊙A内 故选C 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解答此题的关键． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 可能有实数根，也可能没有 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】求得一元二次方程根的判别式，根据，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 如图，在平面直角坐标系中，圆经过点、、，点在第一象限内，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，先根据圆周角定理得到，再根据特殊角的三角函数值求解即可．连接，根据，可得出及的长，再由锐角三角函数的定义求出的度数，根据圆周角定理即可得出结论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，已知⊙O的直径AD＝10．任一圆周角∠ACB＝45°，则弦AB的长为（　　） A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB＝90°，在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得AB． 【详解】解：连接OB．∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝90°， ∵AO=BO=5 ∴△AOB是等腰直角三角形 ∴AB＝． 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理的应用，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养． 7. 股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．先设原价为a元，可得跌停后的价格，再根据增长两天回到原价列出方程即可． 【详解】解：设原价为a元，则跌停后的价格，根据题意，得 ， 即． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，即把绕点O顺时针旋转i个45°，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，利用关于原点成中心对称，从而可得答案． 【详解】解：如图，以为圆心，为半径作 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°， 即把绕点O顺时针旋转i个45°， 旋转后的对应点依次记为， 周角＝ 绕点O顺时针旋转顺时针旋转次回到原位置， 与重合， 关于原点成中心对称， 连接 正六边形， 关于原点成中心对称， 故选A． 【点睛】本题考查的是旋转的旋转，正六边形的性质，圆的对称性，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 若关于的方程的一个根是，则另一根是_____，是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即， 解得：， 故答案为：，． 10. 如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___． 【答案】7.5 【解析】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3， ∴，即，解得DF＝7.5． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 11. 圆锥的母线长为，侧面积为，则圆锥的底面圆半径_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：∵圆锥的母线长是7cm，侧面积是21πcm2， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l==6πcm， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴r==3cm， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化． 12. 如图示，半圆的直径，，是半圆上的三等分点，点是的中点，则阴影部分面积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可． 【详解】连接OC、OD、CD，如图所示： ∵△COD和△CDE等底等高， ∴S△COD=S△ECD． ∵点C，D为半圆的三等分点， ∴∠COD=180°÷3=60°， ∴阴影部分的面积=S扇形COD=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键． 13. 如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°． 【答案】n 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解． 【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DCB=180°， 又∵∠DCE+∠DCB=180° ∴∠DCE=∠A=n° 故答案为n 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补． 14. 的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于___________度． 【答案】或 【解析】 【分析】一条弦所对的圆周角有两种情况：当圆周角的顶点在优弧上，圆周角应是一个锐角；当圆周角的顶点在劣弧上，圆周角是一个钝角． 【详解】解：∵弦的长等于半径， ∴当把圆心分别与点A，B连接，可得等边三角形，等边三角形的内角是， ∴弦所对的圆心角是， ∴弦把圆分成和的两段弧， 根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半， ∴弦所对的圆周角等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 15. 的半径为，弦，则与之间的距离是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，分两种情况：当在圆心同侧，异侧，分别根据勾股定理求出圆心到弦的距离，即可得出答案． 【详解】解：如图所示． 当在圆心同侧时，过点O作，连接， ∵ ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 同理． ∵，且， ∴之间的距离； 当在圆心异侧时，过点O作，连接， ∵ ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 同理． ∵，且， ∴之间的距离． 所以两条直线之间的距离是或． 故答案为：或． 16. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___． 【答案】35° 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝55°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°， ∴∠D＝∠B＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 17. 为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得是等腰直角三角形，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， ， ， 为直径， ， 是等腰直角三角形． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 18. 如图，在中，，点E是中点，点D，F分别在边，上（均包括端点），若使为直角三角形的点F恰好有两个，则的长应满足的条件是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分别讨论点D、E分别为直角顶点时，点F的位置及个数，再讨论点D与点C或点A重合时，满足的直角三角形的情况，由此得到答案． 【详解】解：如图，当点D、E分别为直角顶点时，一定存在两个点F1、F2，满足条件， 以DE为直径作圆，当圆与直线AB相切时，存在一个点F3，使，此时CD=2，不满足条件； 当点D与点C重合时，有直角三角形DEF4与直角三角形DEF5， 当点D与点A重合时，有直角三角形DEF6和直角三角形DEF7， ∴使为直角三角形的点F恰好有两个，则的长应满足的条件是或， 故答案为：或． ． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，圆周角定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 三、解答题（19、20、23题每题10分，21、22题每题8分，共46分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴，， 解得：，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，请在图中y轴右侧画出△A1B1C1； （2）点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出点P位似变换后的对应点P'的坐标为 　 　； （3）△ABC的外接圆圆心坐标为 　 　，△ABC的外接圆半径为 　 　； （4）请直接写出∠C1A1B1的正切值为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）（a，b）；（3）（0，-2），；（4）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，在图中y轴右侧画出△A1B1C1即可； （2）由△ABC与△A1B1C1的位似比为可知，点P（a，b）的对应点P'的坐标为P'（a，b）； （3）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，画线段AB、BC的中垂线，交点即是外接圆圆心D（0，-2），线段DB的长即是外接圆的半径，利用勾股定理即可求解； （4）连接DC，根据相似三角形对应角相等得到∠C1A1B1=∠CAB，再由圆周角定理可解得tan∠CAB=tan∠EDB，据此解题． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形； （2）由△ABC与△A1B1C1的位似比为可知，点P（a，b）的对应点P'的坐标为P'（a，b）； 故答案为：（a，b）； （3）如图，作线段AB与BC的中垂线相交于点D，交于点D（0，-2），连接DB， 由勾股定理得， 故答案为：（0，-2），； （4）连接DC， △ABC与△A1B1C1是位似图形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—作位似图、位似三角形的性质、正切、勾股定理、外接圆等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21. 如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长． 【答案】 （1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点在上， ∴是的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形的内角和得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到结论； （2）根据已知条件得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查切线的判定以及圆和勾股定理，根据题意准确作出辅助线是求解本题的关键. 22. 某商品进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，该商品单价每件涨价1元，每星期可少卖10件． （1）若该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为 　　元； （2）在一个星期内要想获利6090元的利润，该商品每件应涨价多少元． 【答案】（1）；（2）1元或9元 【解析】 【分析】（1）已知该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为元； （2）设每件涨价元，则每件的利润为元，每星期可售出件，利用销售该商品一个星期内获得的利润每件的利润每星期的销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）该商品每件涨价5元，一个星期可获利为： （元）， 故答案为：； （2）设每件涨价元，则每件的利润为元，每星期可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：该商品应涨价1元或9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用问题中的销售问题，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”. （1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 　 　； ②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 　 　； （2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．.线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F' ①求点E'的坐标（用含a的式子表示）； ②若⊙O的半径为2，E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值. 【答案】（1）① ② （2）① ② 【解析】 【分析】（1）①按定义旋转后有，代入点坐标即可得到答案． ②按定义旋转后，代入点坐标列出方程组，解方程组即可得到答案． （2）①设出所求点坐标，根据定义旋转列出方程组，解方程组即可求得答案． ②按条件列出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：①∵点A在y轴上， ∴点B在x轴的正半轴上，且有， ∴点B的坐标为（2,0）， ②∵点B在第一象限， ∴点A在第四象限，且， 设点A坐标为（m，n），其中， ∵，直线OB过点O、B，直线OA过点O、A， ∴直线OB的解析式为，直线OA的解析式为， ∴ ， 解得， ∴点A的坐标为（1，-2）； 【小问2详解】 解：①设点坐标为（b，c）， ∵， 又∵直线EG过点E、G，直线过点、G， ∴直线EG的解析式为，直线的解析式为， ∴ ， 解得 ，， ∴点的坐标为或， 设点的坐标为（e，f）， ∵， ∵直线FG过点F、G，直线过点、G， ∴直线FG的解析式为，直线的解析式为， ∴ ， 解得 ，， ∴点的坐标为或， ∴为以点和点为端点的线段，或以点和点为端点的线段， ∵按定义为顺时针旋转，旋转90°后，点在点正上方距离为1， ∴为以点和点为端点的线段， ∴点的坐标为， ② E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，则有， 为以点和点为端点的线段，所以有， 由（1）式解得， 由（2）式解得， ∵， ∴， 此时， ∴， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题考查一次函数的性质、直角坐标系的点坐标、图形旋转、解方程组、解不等式组，懂得从题目定义提炼出按定义旋转后，点或图形与旋转点之间的关系建立方程组是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年第一学期九年级数学阶段练习 班级：________ 学号：________ 姓名：________ 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 顶点在圆上的角叫圆周角 B. 三点确定一个圆 C. 圆的切线垂直于半径 D. 半径相等的半圆是等弧 3. 若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是2，则点P与⊙A的位置关系是（　　） A. P在⊙A上 B. P在⊙A外 C. P在⊙A内 D. 不确定 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 可能有实数根，也可能没有 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在平面直角坐标系中，圆经过点、、，点在第一象限内，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知⊙O的直径AD＝10．任一圆周角∠ACB＝45°，则弦AB的长为（　　） A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 7. 股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 若关于的方程的一个根是，则另一根是_____，是_____． 10. 如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___． 11. 圆锥的母线长为，侧面积为，则圆锥的底面圆半径_____． 12. 如图示，半圆的直径，，是半圆上的三等分点，点是的中点，则阴影部分面积等于______. 13. 如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°． 14. 的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于___________度． 15. 的半径为，弦，则与之间的距离是___________． 16. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___． 17. 为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则线段的长为______． 18. 如图，在中，，点E是中点，点D，F分别在边，上（均包括端点），若使为直角三角形的点F恰好有两个，则的长应满足的条件是________． 三、解答题（19、20、23题每题10分，21、22题每题8分，共46分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，请在图中y轴右侧画出△A1B1C1； （2）点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出点P位似变换后的对应点P'的坐标为 　 　； （3）△ABC的外接圆圆心坐标为 　 　，△ABC的外接圆半径为 　 　； （4）请直接写出∠C1A1B1的正切值为 　 　． 21. 如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长． 22. 某商品进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，该商品单价每件涨价1元，每星期可少卖10件． （1）若该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为 　　元； （2）在一个星期内要想获利6090元的利润，该商品每件应涨价多少元． 23. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”. （1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 　 　； ②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 　 　； （2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．.线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F' ①求点E'的坐标（用含a的式子表示）； ②若⊙O的半径为2，E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $