专题05 认识有理数（二）（九大题型，70题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版2024）

专题05 认识有理数（二）（九大题型，70题） 目录 题型一：相反数的定义 1 题型二：相反数的应用 2 题型三：绝对值的意义 3 题型四：求一个数的绝对值 4 题型五：化简绝对值 5 题型六：绝对值的非负性 7 题型七：绝对值的其他应用 8 题型八：有理数大小的比较 12 题型九：有理数大小比较的实际应用 12 一、题型一：相反数的定义 1．（22-23七年级上·湖北宜昌·期末）如图，的相反数在数轴上的位置为（　 　） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 4．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为 ． 5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知下列有理数：，4． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 二、题型二：相反数的应用 6．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 8．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 9．（21-22七年级上·福建福州·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列结论中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正确的是 .（填序号） 10．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． (1)若 ，求b的值； (2)化简： ； ． 三、题型三：绝对值的意义 11．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 13．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）若，且，，则 ． 15．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，取得最小值为 ． 16．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，如表是四种饼干的检验结果，“+、－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ．（填写饼干型号） A B C D （g） （g） （g） （g） 17．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 18．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ； 19．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 20．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (3)若表示一个有理数，且位于到之间，求的值； (4)的最小值是 四、题型四：求一个数的绝对值 21．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 22．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） （填“＞”或“＜”）． 23．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”） 24．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）用“＞”“＜”“＝”号填空： （1） ； （2） ； （3） ． 25．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b是a的相反数，c的绝对值是3，则的值为 五、题型五：化简绝对值 26．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 27．（2024七年级·全国·竞赛）满足的所有整数对有 对． 28．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 29．（23-24七年级上·福建福州·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 30．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）如果有理数在数轴上的位置如图所示，则= ． 31．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 32．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 33．（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 34．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 35．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 六、题型六：绝对值的非负性 36．（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 37．（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 38．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 39．（23-24七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 40．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 41．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 42．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）规定：，，例如，，则式子的最小值是 ． 43．（23-24七年级上·陕西西安·期中）设，其中，则的最小值为 ． 44．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）已知，求的值． 45．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 七、题型七：绝对值的其他应用 46．（2024七年级·全国·竞赛）已知，，代数式的最小值为 ． 47．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 48．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1． 观察数轴，得到不等式的解集为：或 (1)根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为______； (2)不等式的解集为______； (3)解不等式； (4)已知关于的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值． 49．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 50．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 51．（23-24六年级上·山东烟台·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 52．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 53．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 54．（23-24七年级上·北京西城·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则B，C两点间的距离是 ；    (2)点D和E分别在数轴上表示数x和，如果D，E两点之间的距离为3，那么x为 ； (3)借助数轴思考，当x为 时，与的值相等． 55．（22-23七年级上·广东河源·期中）对于数轴上的两点P，Q给由如下定义：P，Q两点到原点的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为．例如，P，Q两点表示的数如图1所示，则．    (1)A，B两点表示的数如图2所示． ①求A，B两点的“绝对距离”； ②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数； (2)点M，N为数轴上的两点．（点M在点N左侧）且，，请直接写出点M表示的数为 ___________． 八、题型八：有理数大小的比较 56．（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 57．（2024七年级·全国·竞赛）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 58．（23-24七年级上·江西上饶·期中）若为大于的负数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 59．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）比较大小：（1）0 ；（2） ；（3） ． 60．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）绝对值大于1而小于4的整数是 ． 61．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 62．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 ． 63．（2024七年级·全国·竞赛）若，，，则的大小关系是 ． 64．（2024七年级·全国·竞赛）为互不相等的有理数，且最小，最大，若，则从小到大排列的顺序为 ． 65．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）比较大小： ； ． 九、题型九：有理数大小比较的实际应用 66．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（    ） A． B． C． D． 67．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   68．（2024·河北张家口·三模）如图是甲、乙、丙、丁4个地区某日的平均气温，其中温度最低的地区是（    ） 某日的平均气温 甲： 乙：10℃ 丙：21℃ 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 69．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）下列材料在时的电阻率如下表所示． 材料 银 铜 铝 钨 电阻率（） 已知电阻率越高，导电能力越差，则在时，导电能力最强的是（    ） A．铝 B．铜 C．钨 D．银 70．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）安徽加速“快递进村”步伐，全面推进乡村振兴，某快递货车要通过乡村的一座桥，该桥限制车重的标志如图所示，若该货车车重（包含货物），则该货车 （填“能”或“不能”）通过这座桥． 2 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【点睛】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律． 4．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数定义和数轴，掌握相反数对应的点在数轴的两侧，到原点的距离相等是解题的关键． 数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等，以及B在A的右侧，即可求解． 【详解】点表示互为相反数的两个数，B在A的右侧，并且这两点的距离为6， 这两个数一个为3，另一个则为， B在A的右侧， 点B表示的数为． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知下列有理数：，4． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【答案】(1)见解析； (2)存在，与是互为相反数，它们之间的整数是、0、1． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的意义，数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键． （1）将已知数表示在数轴上即可； （2）根据相反数的意义找出互为相反的两个数，并写出所有整数． 【详解】（1）解：数轴如图所示； （2）解：存在，与是互为相反数， 和之间的整数为，0，1． 二、题型二：相反数的应用 6．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别． 【详解】解：由题意可得，且， ，，，， 选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D 【点睛】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查绝对值、相反数的意义； （1）根据表示的意义进行计算即可； （2）分均为小数；与中有一个是小数，一个是整数以及都是整数三种情况解答即可． 【详解】解：（1）根据表示的意义得，， 故答案为：； （2）当均为小数时，如，则，则， 和互为相反数，， 解得， 即的值是两个小于1的小数的和，即； 当与中有一个是小数，一个是整数时，的值是1与一个小于1的小数的和，即； 当都是整数时，， 和互为相反数，，即， 综上所述，代数式的最大值为2． 故答案为：2． 8．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 【答案】 5 【分析】根据相反数的概念和数轴上两点之间的距离，即可解答． 【详解】解：a和b互为相反数， 在原点的两侧，且到原点的距离相等为， a在b的右边， ， 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了相反数的概念和数轴上两点之间的距离，知道互为相反数的两个数距离原点的距离相等是解题的关键． 9．（21-22七年级上·福建福州·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列结论中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正确的是 .（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】根据图示，可得c＜a＜0＜b,，据此逐项判定即可. 【详解】解： ①错误； ， ②正确； ， ③正确； ④错误， 正确的有：②③ 故答案为：②③. 【点睛】本题考查数轴、绝对值、相反数等知识，是重要考点，掌握数形结合的性质是解题关键. 10．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． (1)若 ，求b的值； (2)化简： ； ． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据，结合数轴，得到，根据，求得或，结合点b在原点的左侧，确定即可． （2）根据数轴，比较大小，确定正负后化简即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴或， ∵点b在原点的左侧， ∴． （2）∵， ∴， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相反数的性质，数轴上比较数的大小，绝对值的化简，熟练掌握性质和化简绝对值是解题的关键． 三、题型三：绝对值的意义 11．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 12．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．熟练掌握绝对值的代数意义，有理数的大小比较法则，是解题的关键． 根据有理数的大小比较法则，绝对值的代数意义逐一判断即可． 【详解】A、， ∵，， ∴， 故此选项不符合题意； B、， ∵，， 又∵， ∴， 故此选项符合题意； C、， ∵， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意； D、， ∵， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意． 故选：B． 14．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）若，且，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值及求代数式的值，根据题意得出是解题关键． 根据已知条件，结合绝对值的性质和乘方的意义得到m，n的值，再分别代入中计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 又，， ∴，或，． ∴当，时，； 当，时，． 故答案为：或． 15．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，取得最小值为 ． 【答案】 1012 1023132 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，再根据绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，是数轴上表示的点与表示1的点之间的距离； 是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离； …… 是数轴上表示的点与表示2023的点之间的距离； 即在数轴上找出表示的点，使它到表示1、2、3……2023各点的距离之和最小， 当时，取得最小值， 此时 ， 故答案为：1012，1023132． 16．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，如表是四种饼干的检验结果，“+、－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ．（填写饼干型号） A B C D （g） （g） （g） （g） 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值越小越符合标准是解题的关键．根据绝对值越小越符合标准即可得到答案． 【详解】解：， 故饼干最符合标准． 故答案为：． 17．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，以及表示出数轴上两个有理数数的中点，根据，可知a到的距离和b到2的距离相等．即b和a分别是位于和2这两个点中点的两侧相邻的整数．先求出和2的中点，再利用即可得出a的值． 【详解】解：∵ ∴ 和2的中点 又∵，a、b为整数， ∴b为，a的最小值为． 故答案为：． 18．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ； 【答案】或； 【分析】本题考查绝对值的应用及数轴上两点间距离，根据，分在左边与右边两类讨论即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴数在左边或右边， 当数在左边时， ∵， ∴，解得：， 当数在右边时， ∵， ∴，解得：， 故答案为：或． 19．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 【答案】(1)； (2)5， (3)，8 (4)E，40 【分析】本题考查有理数在数轴上对应的点、绝对值： （1）根据数轴上A、B两点之间的距离计算便可； （2）当x在表示数与1的两点及两点之间时，的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （2）解：当时，取最小值， 其最小值为：， 满足条件的整数x的和为 故答案为：5，； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8， 故答案为：，8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40； 20．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (3)若表示一个有理数，且位于到之间，求的值； (4)的最小值是 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义，熟练掌握数轴和绝对值的特征是解题的关键． （1）根据题意，可以解答本题； （2）由题意可以得到，数轴上表示和的两点之间的距离和数轴上表示和两点之间的距离； （3）根据的值，去掉绝对值符号，进行化简，即可解答本题； （4）利用数轴的特点和绝对值的意义可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为，数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：，； （3）解：若表示一个有理数，则的最小值； （4）解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：． 四、题型四：求一个数的绝对值 21．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为1或3． 故选：C． 22．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） （填“＞”或“＜”）． 【答案】 > > 【分析】本题考查了有理数大小比较，掌握两个负数大小比较方法是解答本题的关键． （1）根据绝对值的性质化简后，再根据正数大于填空即可； （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解答即可． 【详解】（1）∵，且， ∴； 故答案为：> （2）∵，，且， ∴． 故答案为：> 23．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查绝对值、多重符号、有理数比较大小，根据“负数的绝对值等于它的相反数”“负负得正”求出两个数，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 所以， 故答案为：． 24．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）用“＞”“＜”“＝”号填空： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值和相反数； （1）先化简绝对值，再进行比较； （2）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案； （3）先化简绝对值，去括号，再进行比较． 【详解】解：（1）因为，， 所以； （2）因为，，且， 所以； （3）因为，， 所以； 故答案为：（1）；（2）；（3）． 25．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b是a的相反数，c的绝对值是3，则的值为 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，正数的绝对值有两个，绝对值和它的相反数，计算即可． 【详解】解：∵b是a的相反数，c的绝对值是3， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 五、题型五：化简绝对值 26．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】4 或 10 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，求出其中个字母的值的和为，进行推导即可． 【详解】解：中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，， 有个字母的值分别为，，，另个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，或，，，，， 这个字母的值分别为，，，，，，，或，，，0，0，0，0，， ， ， ； 或 ， ； 故答案为：或4． 27．（2024七年级·全国·竞赛）满足的所有整数对有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，绝对值的意义，根据已知可得到或，分情况进行求解即可． 【详解】解：， ， 或， 所以有或或或，共4对， 故答案为：4． 28．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法、绝对值的意义等知识点，将代数问题转化为几何问题也是解题的关键． 分、、三种情况分别求值，然后比较即可解答． 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5． 故答案为5． 29．（23-24七年级上·福建福州·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，化简绝对值和相反数，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：由，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）如果有理数在数轴上的位置如图所示，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点、绝对值等知识，先判定每个绝对值的正负，根据绝对值的法则，即可得出答案，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，， 即，，， 故答案为：． 31．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 32．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】 本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题． （1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果； （2）通过字母的正负化简绝对值即可； （3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；． 【详解】（1） 解：（1）由数轴知，， 故答案为：；；；；； （2） ； （3） ． 33．（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【分析】（1）①按照化简绝对值的求法即可； ②，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离； （2）①通过观察，比较可得点在点、之间时，可使到的距离与到的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点在点处时，到，，三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：（1）①； 故答案为：4； ②， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值； 故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值； 故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值； 故答案为：18． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 34．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 (5)； 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解， （2）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （3）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （4）根据绝对值的几何意义，分在左侧时，在右侧时，两种情况，分别化简后，即可求解， （5）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，取最小值，当时，取最小值，即可求解， 本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定的范围． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于， 或， 故答案为：或， （2）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于到的距离， 在和之间， ， ， 故答案为：， （3）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离之和最小， 在和之间的线段上， 的最小值是， 故答案为：， （4）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离与到的距离之和等于， 当在左侧时，，，解得：， 当在右侧时，，，解得：， 故答案为：或， （5）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离与到的距离之和最小， 由（3）可知在和之间的线段上时，取最小值， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 故答案为：；． 35．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 六、题型六：绝对值的非负性 36．（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 37．（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 38．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 39．（23-24七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴． 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求n的最小值为20． 故选B 40．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 41．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 42．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）规定：，，例如，，则式子的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，根据题意将和表示出来，然后利用绝对值得几何意义求解即可，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 【详解】∵， ∴， ∵可以看作数轴上表示数的点与表示数和之间的距离之和， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 43．（23-24七年级上·陕西西安·期中）设，其中，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．理解绝对值的定义以及数轴上两点间的距离的计算方法是正确解答的前提． 【详解】解：由于，其中， ， 当时，的值最小， 此时， 故答案为：20． 44．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）已知，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了绝对值非负的性质、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据绝对值非负的性质求得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 45．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 【答案】（1）点表示的数是点表示的数是；（2）图见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查数轴的特点，有理数与数轴的性质，两点之间距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据数轴特点，图形结合即可求解； （2）将有理数在数轴上表示即可； （3）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得，点表示的数是点表示的数是； （2）如图所示，点表示和点表示． （3）设点表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点对应的数是或． 七、题型七：绝对值的其他应用 46．（2024七年级·全国·竞赛）已知，，代数式的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和是解题关键． 根据的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，结合，计算求值． 【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和， ∵，， ∴当时，的最小是， 故答案为：5． 47．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据绝对值的性质得当时，则，由此可得出答案； （2）根据、、为非零有理数，可分为以下四种情况进行讨论：①当、、均为正时，则 ，， ，；②当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，；③当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，；④当、、均为负时，则 ，， ，；根据每一种情况求出式子的值即可得出答案． 【详解】（1）解：、、为非零有理数，且， ， ， 故答案为：； （2）解：、、为非零有理数， ∴有以下四种情况： 当、、均为正时，则 ，， ，， ； 当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、均为负时，则 ，， ，， ； 综上所述：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点． 48．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1． 观察数轴，得到不等式的解集为：或 (1)根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为______； (2)不等式的解集为______； (3)解不等式； (4)已知关于的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值． 【答案】(1)小于； (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解， （2）根据绝对值的几何意义，首先得到或，即可求解， （3）根据绝对值的几何意义，首先得到或，即可求解， （4）根据绝对值的几何意义，得到，结合是整数，即可求解， 本题考查了，绝对值的几何意义，解题的关键是：熟练掌握绝对值的几何意义． 【详解】（1）解：不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离小于1， 不等式的解集为：， （2）解：表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离大于1， 得到不等式的解集为：或，即或， （3）解：∵， ∴，表示的意义：数轴上，数表示的点与数1表示的点的距离大于2， 得到不等式的解集为：或，即：或， （4）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴，即，表示的意义：数轴上，数表示的点与数表示的点的距离小于4， 不等式的解集为：， ∵是整数， ∴的最小值为． 49．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 50．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 51．（23-24六年级上·山东烟台·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 【答案】任务一：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度；任务二：（1）1或5；（2）；3或；任务三：（1）x取与4之间（包含和4）的有理数时，+的值最小；最小值是5；（2）x所表示的有理数是或；（3）x所表示的有理数的值是 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，熟练掌握数形结合是解题关键． 任务一，阅读：数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用表示， ，可求出． 任务二∶（1）数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x有两个值；（2）数轴上表示必的点到表示的点的距离是4个单位长度，必有两个值，计算即可． 任务三∶（1）指数轴上表示必的点到表示4和的两点的距离的和； （2）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离的和等于8；(3) 指数轴上表示必的点到表示2和-3的两点的距离相等． 【详解】任务一： ， 所以，数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度； 任务二： （1）， 数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度， ， ， 故答案为：1或5 （2）， 数轴上表示x的点到表示-1的点的距离是4个单位长度， ， ， 故答案为：；3或 任务三： （1）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离和， x取与4之间（包含和4），的值最小； 最小值是； （2）①当点P在和4之间时，， ∴点P表示的数不在和之间， ②当点P在左边时，，， ③当点P在4右边时， ， ， 所以x的值是或， （3）即数轴上点P到2表示的点的距离与到表示的点的距离相等， 2到的距离是5个单位长度， ， ， 所以x的值是． 52．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【答案】(1)，2或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离； （1）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案； 弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或2； 故答案为：，2或； （2），表示点到和2的距离相等，即点A为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等； 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得： ， 的值为； 故答案为：． 53．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 【答案】(1)5，6 (2)，2或 (3)0 (4)2 【分析】本题考查数轴与绝对值几何意义与应用． （1）根据题目所举例子进行计算即可； （2）仿照题干所举例子进行解答即可； （3）根据数轴可知，，，然后根据绝对值的性质进行解答即可； （4）根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：5，6； （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ，则或， 即或． 故答案为：，2或； （3）解：由数轴可知，，，， 则| ； （4）解：代数式的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示，2，3的三点的距离之和， 显然只有当时，距离之和才是最小， 则取最小值时，x的值为2； 故答案为：2． 54．（23-24七年级上·北京西城·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则B，C两点间的距离是 ；    (2)点D和E分别在数轴上表示数x和，如果D，E两点之间的距离为3，那么x为 ； (3)借助数轴思考，当x为 时，与的值相等． 【答案】(1)3.5 (2)2或 (3) 【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； 【详解】（1）解：如图，   点表示的数，点表示的数1，的距离是； 故答案为： 3.5 （2）数轴上表示和的两点D和E之间的距离表示为：， 如果D，E两点之间的距离为3，即， 或， 那么为或2； 故答案为： 2或 （3）与的值相等， 此种情况等式不成立， 或，， 如图：到距离和到2的距离相等     时，与的值相等； 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，相反数，解题的关键是掌握数轴知识，绝对值的定义，相反数的定义． 55．（22-23七年级上·广东河源·期中）对于数轴上的两点P，Q给由如下定义：P，Q两点到原点的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为．例如，P，Q两点表示的数如图1所示，则．    (1)A，B两点表示的数如图2所示． ①求A，B两点的“绝对距离”； ②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数； (2)点M，N为数轴上的两点．（点M在点N左侧）且，，请直接写出点M表示的数为 ___________． 【答案】(1)①2；②或2 (2)或 【分析】（1）①根据绝对距离的定义即可解题；②由题意可求出，再根据绝对距离的定义即可解题； （2）由题意可知，即得出或．再分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时和③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，结合，即可求解； 【详解】（1）①， 即A，B两点的友好距离为2． 故答案为：2； ②∵， ∴， 又∵点A所表示的数是1，即， ∴，即， ∴或， 又∵点C不与点O重合， ∴， ∴点C表示的数为或2； （2）由题可知， ∴或． ∵点M在点N左侧，故可分类讨论： ①当M，N都在原点的左侧时， ∴． ∵， ∴， ∴此情况不存在； ②当M，N都在原点的右侧时， ∵， ∴， ∴此情况不存在； ③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时， ∵， ∴． ∵或， ∴或， ∴点M表示的数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的实际应用，数轴上两点之间的距离．读懂题意，理解绝对距离的概念是解题关键． 八、题型八：有理数大小的比较 56．（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、相反数的意义逐项判断即可求解，掌握有理数的大小比较法则和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：． 57．（2024七年级·全国·竞赛）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 58．（23-24七年级上·江西上饶·期中）若为大于的负数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较方法．根据的取值范围分析即可求解． 【详解】解：为大于的负数， ， A、， ， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； B、， ， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； C、， ， ， ， ， ，故该选项正确，符合题意； D、， ， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 59．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）比较大小：（1）0 ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，“有理数的大小比较，正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，据此逐题比较即可求解． 【详解】解：（1）； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以． 故答案为：；； 60．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）绝对值大于1而小于4的整数是 ． 【答案】， 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数比较大小，根据绝对值的性质和有理数比较大小写出即可． 【详解】绝对值大于而小于的整数是，． 故答案为：，． 61．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 62．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了学生对表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数）的理解，分两种情况讨论的范围：①，②，即可得到答案．解此题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】解：①时， ； ②时， ； 故的结果是，． 故答案为：，． 63．（2024七年级·全国·竞赛）若，，，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字规律问题，发现，，即可求解. 【详解】解：∵， ， ， ∴． 故答案为：. 64．（2024七年级·全国·竞赛）为互不相等的有理数，且最小，最大，若，则从小到大排列的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小法则是解题的关键； 作差法比较大小时，先求出两个代数式的差，然后通过判断差与0的大小关系来确定原代数式的大小关系． 【详解】为互不相等的有理数，且最小，最大， 、、， 化简得： 即 ，即 从小到大排列顺序为， 故答案为： 65．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）比较大小： ； ． 【答案】 ＜ ＞ 【分析】本题考查了有理数大小的比较，化简数、，先比较它们的绝对值，利用比较有理数大小的方法得结论．掌握比较负数大小的方法是解决本题的关键． 【详解】解：，， ，即， ； ，， ，， ，即， ． ． 故答案为：；． 九、题型九：有理数大小比较的实际应用 66．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴最接近标准的是选项D中的元件． 故选：D． 67．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 68．（2024·河北张家口·三模）如图是甲、乙、丙、丁4个地区某日的平均气温，其中温度最低的地区是（    ） 某日的平均气温 甲： 乙：10℃ 丙：21℃ 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义和有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数可得答案． 【详解】∵ ∴温度最低的地区是丁 故选：D． 69．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）下列材料在时的电阻率如下表所示． 材料 银 铜 铝 钨 电阻率（） 已知电阻率越高，导电能力越差，则在时，导电能力最强的是（    ） A．铝 B．铜 C．钨 D．银 【答案】D 【分析】本题考查比较有理数大小的应用，掌握比较有理数大小的方法是解题的关键． 比较电阻率大小，根据电阻率越高，导电能力越差，所以电阻率最小的，导电能力最强解答即可． 【详解】解：∵ ∴导电能力最强的是银． 故选：D． 70．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）安徽加速“快递进村”步伐，全面推进乡村振兴，某快递货车要通过乡村的一座桥，该桥限制车重的标志如图所示，若该货车车重（包含货物），则该货车 （填“能”或“不能”）通过这座桥． 【答案】能 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，由该桥限制车重的标志可知，小于就可通过，该货车车重（包含货物），进行比较即可解答． 【详解】解：由该桥限制车重的标志可知，小于就可通过， ， 该货车能通过这座桥， 故答案为：能． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$