专题01 生活中的立体图形（六大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版2024）

专题01 生活中的立体图形（六大题型，50题） 目录 题型一：常见的几何体 1 题型二：组合几何体的构成 2 题型三：立体图形的分类 4 题型四：几何体中的点、棱、面 5 题型五：点、线、面、体四者之间的关系 10 题型六：平面图形旋转后所得的立体图形 10 一、题型一：常见的几何体 1．下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．用24块棱长分别为的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是（　　） A． B． C． D． 4．一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如图所示的六面体，其中最长的边厘米，最短的边厘米，求这个六面体的体积． 5．一个正棱柱，它有条棱，一条侧棱长为，一条底面边长为． (1)该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点． (2)求棱柱的侧面积是多少？ 二、题型二：组合几何体的构成 6．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是 ．      7．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 8．观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 9．阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 10．如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 三、题型三：立体图形的分类 11．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 12．在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 13．要锻造一个直径为，高为的圆柱形毛坯， 至少应截取直径为的圆钢（　　）cm． A．12 B．16 C．24 D．32 14．将下列几何体进行分类．    15．淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园．    (1)养植园是个长方形，画在的图纸上，长，宽，这个养植园实际的长和宽各是多少米？ (2)养植园外形是一个半圆柱形（如图1），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？ (3)利用如图2中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？ 四、题型四：几何体中的点、棱、面 16．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 17．观察如图所示，然后填一填． （1）如图大正方体的棱长是3厘米，这个大正方体的棱长总和是 厘米，表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． （2）给大正方体的表面涂上颜色，三个面涂色的小正方体有 个 18．一个棱长的正方体容器中装有一些水，将一个高的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）．这个铁块的体积是 ． 19．如果一根铁丝恰好可以折成长分米、宽分米、高分米的长方体框架模型，那么用这根铁丝折成一个正方体框架模型，它的棱长是 分米． 20．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 21．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 22．观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                顶点数a 6 _____ 10 _______ ______ 棱数b 9 12 _______ _______ 3n 面数c 5 ______ ______ 8 ______ 23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 24．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； (3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 25．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 棱数（E） 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是　　． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　　． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 26．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体. (1)根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 　　 　　 　　 图2 　　 　　 　　 图3 　　 　　 　　 (2)猜想f、v、e三个数量间有何关系； (3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数. 五、题型五：点、线、面、体四者之间的关系 27．夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 28．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 29．流星划过夜空，会留下一条长长的“尾巴”，用数学知识解释这一现象： ． 30．“天空中的流星”，用数学知识解释为： ． 31．如图是一张长方形纸片，AB长为，BC长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周 (1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 六、题型六：平面图形旋转后所得的立体图形 32．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（    ） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 33．如图，把图绕虚线旋转一周形成一个几何体，与它相似的物体是（      ） A．水桶 B．课桌 C．灯泡 D．篮球 34．长方形的长为厘米，宽为厘米，若绕着它的宽旋转一周得到的圆柱的体积为（    ）立方厘米． A． B． C． D． 35．下列图形中是多面体的有（　　　） A．（1）（2）（4） B．（2）（4）（6） C．（2）（5）（6） D．（1）（3）（5） 36．一个长方形的长和宽分别为3cm和2cm，依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长方形旋转1周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲、V乙，侧面积分别记作S甲、S乙，则下列说法正确的是（    ） A．V甲＜V乙，S甲＝S乙 B．V甲＞V乙，S甲＝S乙 C．V甲＝V乙，S甲＝S乙 D．V甲＞V乙，S甲＜S乙 37．把一个三角形以5厘米为轴旋转一周所形成的图形的体积是 立方厘米．    38．现有一个长为，宽为的长方体，绕它的一边旋转一周得到的几何体的体积是 ． 39．图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 40．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 41．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？ (2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留） 42．善于思考的小颖同学随手将手中的一个边长分别为6cm，8cm长方形模具绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．请你帮小颖同学计算出旋转后几何体的体积．    43．已知长方形的长为，宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)得到的立体图形的名称是______； (2)求这个几何体的表面积．（结果保留）． 44．探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．    (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 45．如图，在直角三角形中，已知的长是4厘米，的长是3厘米，的长是5厘米．求： (1)以边为轴旋转后得到的几何图形的体积； (2)以边为轴旋转后得到的几何图形的体积． 46．将长为，宽为的长方形绕其边所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的形状是什么？其体积是多少？ 47．如图①，把一张长8厘米、宽4厘米的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形． (1)将甲三角形绕轴（如图②）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体?它的体积是多少立方厘米（π取3.14） (2)将乙三角形绕轴（如图③）旋转一周形成一个几何体，求该几何体的体积． 48．如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一个立体图形，求得到立体图形的体积．（， ，，，结果保留π）． 49．有一个长为，宽为的长方形，分别绕它的长、宽所在直线旋转一周得到不同的圆柱，它们的体积分别是多少？（结果保留） 50．已知长方形的长为4cm，宽为3cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． （1）得到的几何图形的名称为______，这个现象用数学知识解释为______． （2）求此几何体的体积；结果保留 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 生活中的立体图形（六大题型，50题） 目录 题型一：常见的几何体 1 题型二：组合几何体的构成 4 题型三：立体图形的分类 9 题型四：几何体中的点、棱、面 12 题型五：点、线、面、体四者之间的关系 24 题型六：平面图形旋转后所得的立体图形 25 一、题型一：常见的几何体 1．下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据柱体，锥体的定义及组成作答． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱；∴柱体的两个底面一样大；故此选项正确， ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误； ④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确； ⑤棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面应是长方形，故错误； 共有3个正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握相应的概念，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形． 3．用24块棱长分别为的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可使搭成的长方体表面积最小是解决问题的关键．若要搭成的长方体表面积最小，则依据把较大的面重叠在一起这一原则可解决问题． 【详解】解：根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建： 将三块长方体按面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为，，． 再用两个大长方体（即6个小长方体）按面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 再用两个大长方体（即12个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 再用两个大长方体（即24个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 此时大长方体的表面积为：． 故选：D． 4．一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如图所示的六面体，其中最长的边厘米，最短的边厘米，求这个六面体的体积． 【答案】96立方厘米． 【分析】此题主要考查了长方体的体积，理解题意，再取一个与六面体相同的六面体，将两个六面体拼接在一起，得到一个长方体是解决问题的关键． 再取一个与六面体相同的六面体，将两个六面体拼接在一起，得到一个长方体，依题意得所拼成的长方体的底面是正方形，正方形的边长为4厘米，长方体的高为12厘米，然后求出所拼成的长方体的体积，进而可得六面体的体积． 【详解】解：再取一个与六面体相同的六面体，将两个六面体拼接在一起，得到一个长方体， 最长的边厘米，最短的边厘米， 所得到长方体的底面是正方形，正方形的边长为4厘米，长方体的高为（厘米）， 因此所拼成的长方体的体积为：（立方厘米）， 六面体的体积为：（立方厘米）． 答：这个六面体的体积是96立方厘米． 5．一个正棱柱，它有条棱，一条侧棱长为，一条底面边长为． (1)该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点． (2)求棱柱的侧面积是多少？ 【答案】(1)四，，； (2)棱柱的侧面积是． 【分析】（）根据正棱柱的特点直接进行求解即可； （）根据侧面积底面周长高进行求解即可； 本题主要考查了几何体的认识和几何体的表面积，熟练掌握棱柱的特点及侧面积的求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由正棱柱有条棱可知， 所以当有条棱时，，即为正四棱柱， 因此正四棱柱有个面，个顶点， 故答案为：四，，； （2）由（）得为正四棱柱，则侧面积为， 答：棱柱的侧面积是． 二、题型二：组合几何体的构成 6．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是 ．      【答案】 【分析】从顶点处挖去一个小正方体，挖去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变． 【详解】解：挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积相等， 剩余部分的表面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体体积、表面积的计算，明确挖去的正方体中相对的面的面积都相等是此题关键． 7．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 【答案】④⑤⑥ 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥． 故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点睛】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 8．观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 9．阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5 (2)21，50 (3)正四面体 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可； （2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积； （3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个， 表面积最小是． 故答案为：21，50； （3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称是正四面体． 故答案为：正四面体． 【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． 10．如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 【答案】(1)64个 (2)8个 (3)24个 (4)24个 (5)有，8个 【分析】（1）棱长是8cm的立方体体积512cm3，棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，由此能求出共得到多少个棱长为2cm的小正方体； （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个； （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （4）一个面有红色的小正方体位于棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个． 【详解】（1）棱长是8cm的立方体体积为：8×8×8=512（cm3）， 棱长为2cm的小正方体体积为8cm3， ∴共得到512÷8=64个小正方体． （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体， ∵立方体共有8个顶点， ∴三面涂色的小正方体有8个， （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体， ∵立方体共有12条边，每边有2个正方体， ∴二面涂色的小正方体有24个， （4）一面涂色的小正方体在棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体， ∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体， ∴一面涂色的小正方体有24个， （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，共有64-8-24-24=8个， 【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征． 三、题型三：立体图形的分类 11．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 12．在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 【答案】D 【详解】解：①球体只有一个曲面，故球体不是多面体； ②柱体，圆柱有三个面，故柱体不一定是多面体； ③锥体，圆锥有两个面，故锥体不一定是多面体； ④棱柱至少有两个底面，三个侧面，故棱柱是多面体； ⑤棱锥至少有一个底面，三个侧面，故棱锥是多面体． 故选D． 13．要锻造一个直径为，高为的圆柱形毛坯， 至少应截取直径为的圆钢（　　）cm． A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】此题主要考查了认识立体图形，根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等， 利用此相等关系列方程,即可求解. 【详解】解：设应截取直径的圆钢， 由题意得： 解得：． 故选：B． 14．将下列几何体进行分类．    【答案】见详解 【分析】根据分类首先要确定标准，可以可以按柱、锥、球来划分，进而得出答案； 【详解】分类首先要确定标准，按可以按柱、锥、球来划分： ①②长方体和正方体，属于柱体； ③球体，属于球体； ④圆锥，属于锥体； ⑤六棱柱，属于柱体； ⑥五棱锥，属于锥体； ⑦三棱柱，属于柱体； ⑧圆柱，属于柱体； 按柱、锥、球来划分：①②⑤⑦⑧是一类，即柱体； ④⑥是一类，即锥体； ③是球体； 【点睛】此题主要考查了认识立体图形，正确确定分类依据是解题关键． 15．淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园．    (1)养植园是个长方形，画在的图纸上，长，宽，这个养植园实际的长和宽各是多少米？ (2)养植园外形是一个半圆柱形（如图1），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？ (3)利用如图2中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？ 【答案】(1)100米；30米 (2)5416.5平方米 (3)803.84升 【分析】（1）根据实际距离等于图上距离除以比例尺，进行换算即可； （2）养殖园的长等于圆柱的高，养殖园的宽等于圆柱底面直径，塑料薄膜面积等于圆柱底面积和侧面积的和除以2，据此列式解答； （3）圆柱侧面沿高展开是个长方形，观察可知，长方形的长等于圆柱底面周长，底面直径乘以2等于圆柱的高，设底面直径是x分米，根据底面直径加底面周长等于33.12分米，列出方程求出底面直径，再根据圆柱体积等于底面积乘以高，求出容积即可． 【详解】（1）解；， ， 答：这个养植园实际的长和宽各是100米、30米； （2）解： （平方米） 答：需要5416.5平方米的塑料薄膜； （3）解：解：设底面直径是x分米， （立方分米） （升） 答：这个营养液蓄储桶的容积是803.84升． 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，熟悉圆柱特征，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式． 四、题型四：几何体中的点、棱、面 16．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示， 故选：B． 【点睛】本题考查了剪纸问题，动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 17．观察如图所示，然后填一填． （1）如图大正方体的棱长是3厘米，这个大正方体的棱长总和是 厘米，表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． （2）给大正方体的表面涂上颜色，三个面涂色的小正方体有 个 【答案】 36 54 27 8 【分析】本题考查正方体的表面积及体积，熟知正方体的表面积和体积公式及涂色时小正方体的各面涂色情况是解题的关键． （1）根据正方体有12条棱，正方体的表面积和体积公式即可解决问题． （2）分析出三个面涂色的小正方体的位置即可解决问题． 【详解】因为正方体有12条棱，且大正方体的棱长是3厘米， 所以这个大正方体的棱长总和是：厘米． 又正方体的六个面是相同的正方形， 所以正方体的表面积是：平方厘米． 又正方体的体积是棱长的立方， 所以正方体的体积是：立方厘米． 故答案为：36，54，27． （2）由给大正方体的表面涂上颜色可知， 小正方体最多有三个面涂有颜色，且这些小正方体在大正方体顶点的位置， 所以三个面涂色的小正方体有8个． 故答案为：8． 18．一个棱长的正方体容器中装有一些水，将一个高的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）．这个铁块的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立体几何中的浸水问题，注意区分完全淹没与不完全淹没的区别．容器的容积是立方厘米，水的体积是立方厘米，铁块被淹没的体积是立方厘米，被淹没的高度是厘米，求出铁块的底面积，再计算其体积． 【详解】解：容器的容积：，     水的体积：， 铁块被淹没的体积：， 铁块的底面积：， 铁块的体积：， 故答案为：． 19．如果一根铁丝恰好可以折成长分米、宽分米、高分米的长方体框架模型，那么用这根铁丝折成一个正方体框架模型，它的棱长是 分米． 【答案】 【分析】首先根据长方体的棱长总和，求出这个长方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和，用棱长总和除以即可求出正方体的棱长． 【详解】解： 分米， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，关键是掌握长方体、正方体的特征以及它们的棱长总和公式． 20．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）因为， 所以． （3）由，得，所以，所以这个多面体的面数为100． 21．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)6；6； (2)12 (3) 【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察可得顶点数面数棱数； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6； 正八面体的顶点数为6； 关系式为：； 故答案为：6；6；； （2）一个多面体的面数比顶点数小8， ， ，且， ， 解得； 故答案为：12； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么， 解得， ． 22．观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                顶点数a 6 _____ 10 _______ ______ 棱数b 9 12 _______ _______ 3n 面数c 5 ______ ______ 8 ______ 【答案】见解析 【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                  顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 【点睛】此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【答案】(1)6，6，30 (2) (3)20 (4) 【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数； （2）观察图形及表格变化，总结出一般规律即可； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （4）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正四面体有6条棱，正八面体有6顶点，正十二面体有30条棱； 故答案为：6，6，30； （2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：20； （4）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，解题的关键是仔细观察图形，得出欧拉公式：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：． 24．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； (3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1)表见解析， (2)五 (3)6 【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：填表如下： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； （2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得, 解得：， 故该多面体的面数为6． 【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． 25．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 棱数（E） 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是　　． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　　． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)表格见解析； (2)12 (3)14 【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值 【详解】（1）解：完成表格，如下： 多面体 顶点数 面数 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 根据表格得：顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得； 故答案为：12； （3）解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． 26．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体. (1)根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 　　 　　 　　 图2 　　 　　 　　 图3 　　 　　 　　 (2)猜想f、v、e三个数量间有何关系； (3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数. 【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15； (2)； (3)它的面数是2012 【分析】（1）根据图形数出即可； （2）根据（1）中结果得出； （3）代入求出即可； 【详解】（1）图1，面数，顶点数，棱数， 图2，面数，顶点数，棱数， 图3，面数，顶点数，棱数， 故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15． （2）由表格数据可得：． （3）∵ ∴， ， 即它的面数是2012． 【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律 五、题型五：点、线、面、体四者之间的关系 27．夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理． 【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理， ∴选A． 【点睛】本题考查了点动成线的原理，正确理解题意是解题的关键． 28．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意； C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意； D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力． 29．流星划过夜空，会留下一条长长的“尾巴”，用数学知识解释这一现象： ． 【答案】点动成线 【分析】根据点动成线进行回答即可． 【详解】流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为点动成线． 故答案为：点动成线． 【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 30．“天空中的流星”，用数学知识解释为： ． 【答案】点动成线 【分析】流星是点，光线是线即可得出 【详解】∵流星是点，光线是线 ∴点动成线 故答案为：点动成线 【点睛】本题考查点与线之间的关系，正确理解点、线、面、体之间的关系是关键 31．如图是一张长方形纸片，AB长为，BC长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周 (1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)形成的几何体的体积是cm或cm． 【分析】（1）旋转后的几何体是圆柱，用数学知识解释为面动成体； （2）分两种情况，根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体； 故答案为：圆柱，面动成体 （2）情况①，绕AB边所在直线旋转： （cm）； 情况②，绕BC边所在直线旋转： （cm）； 故形成的几何体的体积是cm或cm． 【点睛】本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． 六、题型六：平面图形旋转后所得的立体图形 32．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（    ） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 【答案】C 【分析】本题考查圆柱体、圆锥体体积的计算方法，分别求出几何体A，几何体B的体积，再进行判断即可． 【详解】解：几何体A的体积为， 几何体B的体积为， 所以几何体A与几何体B的体积比为． 故选：C． 33．如图，把图绕虚线旋转一周形成一个几何体，与它相似的物体是（      ） A．水桶 B．课桌 C．灯泡 D．篮球 【答案】A 【分析】此题考查了平面图形与立体图形的联系，一个直角梯形围绕一条直角边为对称轴旋转一周，根据面动成体的原理可知得到的几何体是圆台，意在培养学生的观察能力和空间想象能力． 【详解】解：一个直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周后成为圆台，备选答案合适的为A， 故选：A． 34．长方形的长为厘米，宽为厘米，若绕着它的宽旋转一周得到的圆柱的体积为（    ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查点、线、面、体问题，将长为厘米，宽为厘米的长方形绕它的一边旋转一周可得到两个不同的圆柱底面半径是厘米、高是厘米，要求它们的体积，可利用圆柱的体积公式列式解答即可，解题的关键是正确理解以长方形的长或宽为轴旋转一周得到的是两个不同的圆柱体． 【详解】解：由题意得，（立方厘米）， 故选：． 35．下列图形中是多面体的有（　　　） A．（1）（2）（4） B．（2）（4）（6） C．（2）（5）（6） D．（1）（3）（5） 【答案】B 【分析】多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体． 【详解】解：（1）圆锥有2个面，一个曲面，一个平面，不是多面体；（2）正方体有6个面，故是多面体；（3）圆柱有3个面，一个曲面两个平面，不是多面体；（4）三棱锥有4个面，故是多面体；（5）球有1个曲面，不是多面体；（6）三棱柱有5个面，故是多面体． 故是多面体的有（2）（4）（6） 故选：B． 【点睛】本题考查多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体． 36．一个长方形的长和宽分别为3cm和2cm，依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长方形旋转1周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲、V乙，侧面积分别记作S甲、S乙，则下列说法正确的是（    ） A．V甲＜V乙，S甲＝S乙 B．V甲＞V乙，S甲＝S乙 C．V甲＝V乙，S甲＝S乙 D．V甲＞V乙，S甲＜S乙 【答案】A 【分析】根据圆柱体的体积＝底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案． 【详解】解：由题可得， V甲＝π•22×3＝12π， V乙＝π•32×2＝18π， ∵12π＜18π， ∴V甲＜V乙； ∵S甲＝2π×2×3＝12π， S乙＝2π×3×2＝12π， ∴S甲＝S乙， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式． 37．把一个三角形以5厘米为轴旋转一周所形成的图形的体积是 立方厘米．    【答案】 【分析】本题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，以它的一条直角边为轴旋转一周得到一个以旋转边为高，另一直角边为底面半径的圆锥；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答 【详解】解： （立方厘米） 所以：这个立体图形的体积是立方厘米 故答案为： 38．现有一个长为，宽为的长方体，绕它的一边旋转一周得到的几何体的体积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点线面体，利用圆柱的体积公式是解题关键，要分类讨论，以防遗漏解． 根据矩形旋转得圆柱，根据圆柱的体积公式，可得答案． 【详解】解：以宽为旋转轴，； 以长为旋转轴，． 答：以宽为旋转轴，得到的几何体的体积是；以长为旋转轴，得到的几何体的体积是． 故答案为：或． 39．图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查的是面动成体以及圆柱体的表面积，关键在于想象出旋转得到的几何体的形状：大圆柱内有一个圆柱形坑．进而这个几何体的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，再根据圆柱体表面积计算公式进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：大圆柱的表面积（平方厘米）． 小圆柱的侧面积（平方厘米）． 待求几何体的表面积（平方厘米）． 故答案为：． 40．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体； (2)得到的几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，面动成体； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 41．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？ (2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱； (2)或． 【分析】（）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解； （）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为或底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答， 本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱； （2）将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，体积为． 将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，体积为， 所以将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积是或． 42．善于思考的小颖同学随手将手中的一个边长分别为6cm，8cm长方形模具绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．请你帮小颖同学计算出旋转后几何体的体积．    【答案】旋转后几何体的体积为或 【分析】分两种情况，以6cm长的边所在直线为轴和以8cm长的边所在直线为轴，根据长方形旋转是圆柱，利用圆柱的体积公式计算可得答案． 【详解】解：以6cm长的边所在直线为轴，旋转所得到的圆柱体体积为：， 以8cm长的边所在直线为轴，旋转所得到的圆柱体的体积为： ． 答：旋转后几何体的体积为或． 【点睛】本题考查了点线面体，利用长方形旋转是圆柱是解题关键． 43．已知长方形的长为，宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)得到的立体图形的名称是______； (2)求这个几何体的表面积．（结果保留）． 【答案】(1)圆柱 (2)圆柱的表面积为或 【分析】（1）根据面动成体解答即可； （2）分长方形的长为轴旋转和以长方形的宽为轴旋转两种情况根据圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】（1）由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱． 故答案为：圆柱． （2）①以长方形的长为轴旋转，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的表面积为（）． ②以长方形的宽为轴旋转，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的表面积为（）． 综上可得圆柱的表面积为或． 【点睛】本题考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． 44．探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．    (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 【答案】(1)方案一构造的圆柱的体积大，见解析 (2)324π（cm3） 【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可； （2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可． 【详解】（1）方案一：（cm3）， 方案二：（cm3）， ∵， ∴方案一构造的圆柱的体积大； （2）以较短一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）， 以较长一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）． 【点睛】本题考查基本图形旋转得到的体积问题，掌握解决旋转半径与圆柱体的高是解题关键． 45．如图，在直角三角形中，已知的长是4厘米，的长是3厘米，的长是5厘米．求： (1)以边为轴旋转后得到的几何图形的体积； (2)以边为轴旋转后得到的几何图形的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于以边为轴旋转后得到的几何图形为母线长为，高为，底面圆的半径为的圆锥，则利用圆锥的体积公式可计算出此几何图形的体积； （2）以边为轴旋转后得到的几何图形为两个圆锥，两圆锥的高分别为、，底面圆的半径都是，则利用圆锥的体积公式可计算出两圆锥的体积，从而得到此几何图形的体积． 【详解】（1）解：∵以边为轴旋转后得到的几何图形为母线长为厘米，高为厘米，底面圆的半径为3厘米的圆锥， ∴它的的体积＝； （2）解：如图，∵以边为轴旋转后得到的几何图形为两个圆锥，两圆锥的高分别为，底面圆的半径都是， ∴此图形的体积． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了圆锥的计算． 46．将长为，宽为的长方形绕其边所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的形状是什么？其体积是多少？ 【答案】形状为圆柱体，或 【分析】长方形绕它的一边所在的直线旋转一周, 旋转后得到圆柱几何体，需要分长边和短边两种情况考虑，圆柱的体积为底面积乘高． 【详解】解：形成的几何体的形状是圆柱体， 当绕长为的边旋转一周时， 则圆柱的体积为：（）； 当绕长为的边旋转一周时， 则圆柱的体积为：（）； 所以形成的圆柱体积为或． 【点睛】本题考查平面图形旋转后得立体图形、圆柱体积的求法，具备-定的空间现象能力并掌握圆柱的体积计算公式是解题关键． 47．如图①，把一张长8厘米、宽4厘米的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形． (1)将甲三角形绕轴（如图②）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体?它的体积是多少立方厘米（π取3.14） (2)将乙三角形绕轴（如图③）旋转一周形成一个几何体，求该几何体的体积． 【答案】(1)133.97立方厘米 (2)267.95立方厘米 【分析】（1）根据题干分析可得，分成的直角三角形的两条直角边分别是8厘米、4厘米，以较长边8厘米为轴旋转一周得到的是一个圆锥体，底面半径是4厘米，高是8厘米，据此利用圆锥的体积公式计算即可解答． （2）根据题干分析可得，所形成的几何体的体积=底面半径是4厘米高是8厘米的圆柱体积-底面半径是4厘米高是8厘米的圆锥体积，据此利用圆柱和圆锥的体积公式计算即可解答． 【详解】（1）根据题干分析可得：以其中一个直角三角形较长的直角边所在直线为轴，将纸板快速转动，可以形成一个圆锥体， 它的体积是 （立方厘米）． （2）根据题干分析可得：乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个空心的圆柱． 体积为： （立方厘米）． 【点睛】此题主要考查圆柱和、圆锥的体积公式的计算应用，关键是明确旋转后的圆柱和圆锥体的底面半径和高． 48．如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一个立体图形，求得到立体图形的体积．（， ，，，结果保留π）． 【答案】42π 【分析】根据面动成体的原理可知，图中阴影图形旋转一周后得到的立体图形为一个圆锥和一个圆柱的组合体． 【详解】解：图中阴影图形旋转一周后得到的立体图形为一个圆锥和一个圆柱的组合体， 圆柱的体积等于， 圆锥的体积等于， 所以立体图形的体积等于36π＋6π＝42π． 【点睛】本题考查了面动成体的相关知识，解题关键是在于明白阴影图形旋转一周后得到的立体图形为一个圆锥和一个圆柱的组合体． 49．有一个长为，宽为的长方形，分别绕它的长、宽所在直线旋转一周得到不同的圆柱，它们的体积分别是多少？（结果保留） 【答案】， 【分析】长方形绕一边得到的几何体为圆柱体，根据旋转边为半径，旋转轴所在的边为高以及圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：①绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为： ； ②绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为： ． 答：它们的体积分别是和． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟记长方形绕一边得到的几何体为圆柱体以及圆柱体的体积等于底面积乘高是解题的关键． 50．已知长方形的长为4cm，宽为3cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． （1）得到的几何图形的名称为______，这个现象用数学知识解释为______． （2）求此几何体的体积；结果保留 【答案】（1）圆柱， 面动成体；（2）或． 【分析】（1）长方形绕其一边所在直线旋转一周可得圆柱，这是典型的面动成体现象，据此解答即可； （2）分类讨论①当绕4cm的边旋转时；②当绕3cm的边旋转时，根据圆柱的体积公式=底面积×高求解即可． 【详解】解：（1）这个几何体的名称为圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体； 故答案为：圆柱， 面动成体； （2）①当绕4cm的边旋转时，此时底面半径为3cm，高为4cm， ∴圆柱的体积． ②当绕3cm的边旋转时，此时底面半径为4cm，高为3cm， ∴圆柱的体积． 故这个几何体的体积是或． 【点睛】本题考查了点、线、面、体以及圆柱体积的计算，掌握圆柱的基本知识是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$