第1章 预备知识 阶段复习提升课（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

一、集合的运算 集合的运算的解题策略 (1)化简集合，特别注意集合中元素是否可以列举． (2)需看清题目所求(∩、∪、元素的个数、子集的个数). (3)集合的运算画数轴不失为一种很好的方法，一定要注意点是空心还是实心． [练1] 设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(　　) A．{1，2} B．{1，5} C．{2，5} D．{1，2，5} D　解析：因为A∩B＝{2}，所以2∈A，2∈B， 所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2， 即A＝{1，2}，B＝{2，5}， 所以A∪B＝{1，2，5}．故选D. [练2] 已知集合A＝，集合B＝{m|3＞2m－1}，求A∩B，A∪B. 解：解不等式组得－2＜x＜3， 则A＝{x|－2＜x＜3}． 解不等式3＞2m－1，得m＜2，则B＝{m|m＜2}． 用数轴表示集合A和B，如图所示． 则A∩B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|x＜3}． 二、充要条件的判断 1．判断p是q的什么条件，主要判断若p成立，能否推出q成立；反过来，若q成立，能否推出p成立．若p⇒q为真，则p是q的充分条件；若q⇒p为真，则p是q的必要条件． 2．也可利用集合的关系判断． [练3] 已知x∈R，则“>1”是“x<1”的(　　) A．充分不必要条件　 　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：“>1”⇔“0<x<1”， ∴“>1”是“x<1”的充分不必要条件．故选A. [练4] 设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：因为a，b∈R，(a－b)a2<0， 所以a<b， 由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0， 所以根据充分、必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件． 三、全称量词命题和存在量词命题 与全称量词命题和存在量词命题有关问题的解题策略 全称量词命题与存在量词命题的否定，一要改写量词，二要否定结论． [练5] 命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n<2x＋1 B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1 C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n<2x＋1 D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1 D　解析：由题意可知，命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定形式为命题“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1”．故选D. [练6] 已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 ． 答案：{a|a≤0，或a≥1}　解析：若命题p为真命题，则Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，所以当p为假命题时，a的取值范围是{a|a≤0，或a≥1}． 四、不等式的性质 不等式性质的解题策略 (1)应用不等式的性质比较大小，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算． (2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． [练7] 若实数α，β满足－<α<β<－，则α－β的取值范围是(　　) A．(－，－) B．(－，0) C．(－，) D．(－，0) D　解析：∵－<α<β<－， ∴－<α<－，<－β<，α－β<0， ∴－<α－β<0.故选D. [练8] (多选)若a>b>0，d<c<0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac>bc B．a－d>b－c C．< D．a3>b3 BD　解析：因为c<0，a>b，所以ac<bc，故A错误；由d<c<0，得－d>－c>0，又a>b，所以a－d>b－c，故B正确；由于d<c<0，所以>，故C错误；因为a>b>0，所以a3>b3.故D正确． 五、基本不等式 基本不等式的解题策略 (1)根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件． (2)连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能取等；特别注意“1”的代换． [练9] (1)已知m＞0，n＞0，若m＝＋2，则mn的最小值为 ； (2)已知a∈R，b＞0，且(a＋b)b＝1，则a＋的最小值是 ． 答案：(1)8　(2)2　解析：(1)因为m＝＋2， 化简可得mn＝m＋2n≥2， 故mn≥8，当且仅当m＝2n＝4时，等号成立， 即mn的最小值是8. (2)方法一　∵b＞0，且(a＋b)b＝1，∴a＝－b，∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝b，即b＝1时，等号成立，故a＋的最小值为2. 方法二　∵(a＋b)b＝1，∴a＋＝a＋2b＝(a＋b)＋b≥2＝2，当且仅当a＋b＝b，即a＝0，b＝1时，等号成立． 六、一元二次不等式 1．通过二次函数的图象及性质来解决问题，三个二次关系如下： 2．一元二次不等式恒成立的情况： ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ [练10] 关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－≤x≤2}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－≤x≤2}，知a＜0.又(－)×2＝＜0，则c＞0. ∵－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，∴＝－. 又＝－，∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式变为(－a)x2＋(－a)x＋a＜0， 即2ax2＋5ax－3a＞0. ∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，解得－3<x<. ∴所求不等式的解集为{x|－3<x<}． [练11] 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$