第1章 3.2 第1课时 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [对应学生用书P26] 学习目标 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2．掌握基本不等式，明确等号成立的条件． 3．会用基本不等式证明不等式． 知识点　重要不等式与基本不等式 在初中数学中，我们学习了两个实数差的完全平方公式，由这个公式，你能得出一个不等式吗？ 1．重要不等式 对任意实数x和y，(x－y)2≥0总是成立的，即x2－2xy＋y2≥0，所以≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立． 2．基本不等式 设a≥0，b≥0，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值． 基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． (1)“基本不等式”前提条件：a≥0，b≥0，等号成立的条件：当且仅当a＝b. (2)基本不等式的常见变形 ①a＋b≥2； ②ab≤()2≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立). 角度1：基本不等式成立的条件 [例1] (1)不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 (2)给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ (1)C　(2)B　解析：(1)由均值不等式知，等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去).故选C. (2)①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．故选B. 1．对基本不等式准确掌握的两个关键点 (1)定理成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 2．注意下列两个常见变形中等号成立的条件 (1)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立；＋≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时，等号成立． (2)a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时，等号成立． [练1] 下列不等式的推导过程正确的是 ．(填序号) ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－[(－x)＋(－)]≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 答案：②　解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件． 角度2：应用基本不等式比较大小 [例2] (1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ (2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是 ． (1)D　(2)p＞q　解析：(1)由≥，得a＋b≥2，∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立．故选D. (2)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，即p＞q. 应用基本不等式比较大小的关注点 (1)在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． (2)运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. [练2] 如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小关系是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P B　解析：显然＞，又因为＜(因为a＜＜1，所以＞，所以a＋b＞＞)，所以＞＞.故M＞P＞Q.故选B. 角度3：应用基本不等式证明不等式 [例3] (1)设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b. (2)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥4. 证明：(1)∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a， ∴＋≥a＋b. (2)因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1， 所以＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，等号成立． 应用基本不等式证明的思路 (1)条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，注意为使用基本不等式创造条件． (2)通常先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式． [练3] 已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7. 证明：由＋＝1，得b＝(a＞1)， 则a＋2b＝a＋＝a＋＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7≥2＋7，当且仅当a－1＝，即a＝1＋时，等号成立． 1．知识清单 (1)重要不等式、基本不等式； (2)利用基本不等式证明不等式． 2．方法归纳：数学抽象、转化与化归． 3．常见误区：基本不等式成立的条件． ◎随堂演练 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 B　解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立．故选B. 2．不等式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是(　　) A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 C　解析：因为a＋1≥2(a＞0)，由基本不等式可知，当且仅当a＝1时，等号成立，故选C. 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2成立的条件是ab＞0 BC　解析：根据基本不等式成立的条件可知只有B，C正确．故选BC. 4．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为 ． 答案：x>2y　解析：因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y. 学科网（北京）股份有限公司 $$