第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　基本不等式的应用 [对应学生用书P28] 学习目标 1.掌握基本不等式及其变形的应用． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 知识点　基本不等式与最值 上节我们学习了基本不等式，基本不等式有哪些作用呢？利用它需要注意些什么？ 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2． “定值”即值是常数，这是有最值的大前提，当然也不要忽视“x＝y”是取得最值的条件． 上面命题简记口诀：积定和最小，和定积最大． 角度1：利用基本不等式求最值 [例1] 已知x>0，则x＋的最小值是 ． 答案：4　解析：因为x>0，所以x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. [变式探究1] 本例将条件“x>0”变为“x<0”时，则x＋的最大值是 ． 答案：－4　解析：原多项式可变为x＋＝－(－x＋).因为x<0，所以－x>0，故有－x＋≥2＝4，所以－(－x＋)≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立．故原式的最大值为－4. [变式探究2] 本例变为当x>1时，求x＋的最小值． 解：因为x>1，故有x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．因此所求最小值为5. 利用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等． (1)一正：各项必须为正； (2)二定：各项之和或各项之积为定值； (3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备． [练1] (1)已知a＞2，则a＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)(x＞1)的最小值为 ． (1)C　(2)8　解析：(1)因为a＞2，所以a－2＞0， 则a＋＝a－2＋＋2≥2 ＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时等号成立)，所以a＋的最小值为4.故选C. (2)令y＝，则y＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立． 故(x＞1)的最小值为8. 角度2：利用基本不等式求条件最值 [例2] (1)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值． (2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 解：(1)∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，上式等号成立． 故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16. (2)由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18. 常值代换法求最值的方法步骤 常值代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． [练2] (1)已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥m恒成立，则m的最大值为(　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．5 (1)D　(2)C　解析：(1)∵x＞0，y＞0，且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝4，y＝2时等号成立．故选D. (2)由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于或等于2a＋b的最小值， 由a＞0，b＞0，＋＝1， 可得2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝时等号成立，∴m≤3＋2， ∴m的最大值为3＋2.故选C. 角度3：基本不等式在实际中的应用 [例3] 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800 m2的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2 m的人行通道，求种植花卉区域的面积的最大值． 解：设|AB|＝x m(x>0)， 则种植花卉区域的面积S＝(x－4)(－2)＝－2x－＋1 808. 因为x>0，所以2x＋≥2＝240，当且仅当2x＝，即x＝60时，等号成立， 则S≤－240＋1 808＝1 568，即当|AB|＝60 m，|BC|＝30 m时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1 568 m2. 运用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围； (2)用x或y表示要求最大(小)值的量z； (3)利用基本不等式，求出z的最大(小)值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． [练3] 做一个体积为V，高为h的长方体纸盒，用纸面积最小为 ． 答案：＋4　解析：设长方体纸盒的底面长、宽分别为a，b，则abh＝V，即ab＝. 所以纸盒的表面积S＝2ab＋2(a＋b)h≥2ab＋4h＝＋4·h＝＋4. 当且仅当a＝b＝时，纸盒的表面积，即用纸面积最小，为＋4. 1．知识清单 (1)利用基本不等式求最值； (2)利用基本不等式求条件最值； (3)利用基本不等式解决实际问题． 2．方法归纳：配凑法，分类讨论思想、转化与化归思想． 3．常见误区：利用基本不等式求最值，一定要注意取等号的条件. ◎随堂演练 1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 B　解析：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故a＋b的最小值为2.故选B. 2．已知x＞0，则＋x的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 A　解析：∵x＞0，∴＋x≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，此时取得最小值6.故选A. 3．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为(　　) A． B． C． D．L2 A　解析：设菜园与墙相对的边长为x，另两个边长为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy， ∵x＋2y≥2，∴xy≤＝. 当且仅当x＝2y＝，即x＝，y＝时，等号成立， Smax＝.故选A. 4．已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为 ，此时x＝ ． 答案：　　解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤[]2＝()2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$