[新知预习衔接]交通中的线——平行与相交(讲义)-2024-2025学年四年级上册数学青岛版

交通中的线-平行与相交 (知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 模块一 知识梳理 知识点1．平行 【知识点归纳】 1.定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。 2.平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。 3.定理：平行线间的距离处处相等。 4.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 5.平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。 知识点2．相交与垂直 【知识点归纳】 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。 ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 ③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 模块二 典例分析 【典例1】按要求画图并解释。 （1）请你画一条从蘑菇房到小木房最近的路。 （2）请你画一条蘑菇房通向小河最近的路，并从数学的角度谈谈为什么这样画？ 【答案】见详解 【分析】（1）两点之间线段最短，直接用线段连接蘑菇房和小木房即可得出最近的路； （2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把小河看作一条直线，蘑菇房看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】（1）一条从蘑菇房到小木房最近的路。如图所示： （2）一条蘑菇房通向小河最近的路。如图所示： 因为直线外一点到直线的垂直线段最短。 【点评】此题考查了两点之间线段最短，以及垂直线段最短的性质在解决实际问题中的灵活应用。 【典例2】任意画一条直线b，使它和下图中的直线a平行，再在直线b上任取一点B，并过B点画一条直线c和直线a垂直，垂足为A。判断c和b的位置关系。 【答案】见详解 【分析】（1）在直线a外任意画一个点，把三角尺的一条直角边与直线a重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出直线b即可。 （2）过B点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线a重合；沿着直线移动三角尺，使B点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是直线a的垂线c。 （3）根据垂直的性质可知，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。a∥b，a⊥c，则b⊥c。据此解答即可。 【详解】 c和b的位置关系是b⊥c。 【点评】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 【典例3】如图。 （1）老爷爷要挖一条水道，从小河里引水来灌溉菜地，怎么挖最近？请你替老爷爷画出水道的路径。 我这样画的理由是_______________________________。 （2）再画一条老爷爷从菜地回到家门口点的最短路线。 我这样画的理由是_____________________________________。 【答案】见详解 【分析】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使水道最短，则从菜地向小河作垂线，这条垂线即为所求； （2）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间线段最短。据此可知，要求从菜地到家门口B点的最短路线，将菜地和B点连接起来即可。 【详解】 （1）这样画的理由是从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 （2）这样画的理由是两点之间线段最短。 【点评】熟练掌握垂直的性质和线段的特性：从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。两点之间线段最短。灵活运用这些性质解决问题。 【典例4】面一画，量一量。 下图是一条直线和直线外一点P。 （1）画出过P点到已知直线的垂直线段，并量出P点到直线的距离是（    ）厘米。（保留整厘米数） （2）过P点作该直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）根据直线外一点作作垂线的步骤：1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合；2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线，这个点到垂足之间的距离就是点到直线的距离。 （2）过直线外一点作该直线的平行线的步骤：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和P点重合，用直角尺沿和P点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过P点画直线。 【详解】根据分析（1）和（2）作图如下，P点到直线的距离是5厘米： 【点评】本题主要考查了学生的作图能力，根据垂线和平行线的画法，认真作图即可解答。 模块三 高频考题 1．画一画。 （1）请画出从林林家到河边A码头最近的路线。你的理由是（    ）。 （2）要想从A码头过河，请你画出最近的路线。你的理由是（    ）。 2．张村要修一条水泥路与公路相连，怎样修路最近？在图上画出来。这样修路最近的原因是什么？ 3．画一画。 （1）①画直线a和直线b互相垂直；②画射线c和直线b互相平行；③过射线c的端点M画直线a的平行线d；④画直线l与a、b、c、d都相交。 （2）在括号里填上它们的位置关系： 直线a和射线c（    ），直线b和直线d（    ）。 4．如图，乐乐、明明、丽丽家在同一条直线上，现在要经过公园修一条自来水管道，使他们三家到这条自来水管道的距离都相等，应该怎样修？ 5．运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（    ）。（填“垂直”或“平行”） 6．如图是某街区的平面图，幸福路经过A点与文化路平行，请画出幸福路；请量出A点到文化路的距离是（    ）毫米。 7．画一画，量一量。 （1）画一条4厘米长的线段，过线段的一个端点画该线段的垂线。 （2）过线段的另一个端点画一个的角，组成一个三角形。 （3）在（1）（2）的基础上，你能画出一个长方形吗？请画一画。 （4）量一量长方形四条边的长度，你发现了什么？ 8．请你在下面这组平行线的任意一条直线上，任选几个点，作另一条直线的垂线，量一量点到垂足之间的距离。我发现（    ）。 9．要从幸福镇中心小学修一条通往公路的柏油路，怎样修最近？请你画出来，并写下你的理由。 10．贾泉村部想修一条从村部到石榴采摘园的水泥路，再修一条从石榴采摘园到河边的水渠。要使修的路和水渠都最短，应该如何修？请你在图中分别画出来，并说明理由。 11．操作。 （1）过A点画出已知直线的平行线和垂线。 （2）先画一画，再量一量。A点到直线的距离是（    ）厘米。取整厘米数。 12．过A点画已知直线的平行线，过B点画已知直线的垂线，量出B点到已知直线的距离是（    ）毫米。 13．把一张正方形纸对折两次，再打开。出现的几条折痕一定互相平行吗？请画图说明。 14． （1）请你设计一条从楼房到小屋最近的路，在图中画一画。 （2）请你设计一条从小屋到大街最近的路，在图中画一画。 （3）请你从数学的角度简要说明（1）（2）设计的理由。 15．鸭子在河里游泳很轻松，可在岸上行走却很吃力。一只小鸭子想从A点到河对岸的B点去。你能帮它设计一条最短的路线吗？（尽可能使小鸭子在陆地上走的路线最短）    这样设计的理由是： 16．如图所示，请你回答下列问题。    （1）小英从家到学校有哪几条路可走？ （2）哪条路最近？为什么？ 17．小马要到磨坊去，有哪几条路可以走？哪条路最近？（用字母表示所走的路径）    18．（1）以A为顶点画一个130°的角。 （2）过C点分别画出线段AB的平行线和垂线。 （3）量一量点C到线段AB的距离是（    ）厘米。 19．按要求画图并解释。 ①从学校到书店怎样走最近？请你在图中画一画。 ②请你设计一条从学校到公路最近的路，在图中画一画。 ③请你在数学的角度简要说明①、②设计的理由。 20．诸城恐龙公园已成为诸城市“城市绿肺”、“森林氧吧”，成为多功能地域级的中国北方最大恐龙文化主题公园，其中的诸城恐龙博物馆与龙立方成为人们科普科研、观光旅游胜地。请按要求画图并解释。 （1）请你画一条从恐龙博物馆到龙立方最近的路。 （2）请你画一条从恐龙博物馆通向小河最近的路，并从数学的角度说明这样画的理由：（    ）。 21．（1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。 （2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。 22．（1）过A点画直线a的平行线和垂线。 （2）量一量，点A到直线a的距离约是（    ）厘米。 23．①从小熊家到森林怎样走最近，请你在图中画一画。 理由：（    ）。 ②请画一条从小熊家到大熊家最近的路。 24．为了方便A小区的居民出行： （1）公路局计划穿过A小区，修建一条与公路平行的步行街，请你把步行街的路线画出来。 （2）公交公司拟在公路上设一个公交站点，这个站点设在哪儿距离A小区最近？请你画出来。（用B点做出标记） 25．王伯伯要从A点到果园挖一条水渠，怎样设计最近？ （1）请你在图上画一画。 （2）从数学的角度谈谈为什么这样画。 26．我会画。 （1）如图，要从东村挖一条水渠与小河相通，要使水渠最短，应该怎样挖？请在图上画出来。 （2）你能用数学知识说一说，你这样画的理由是什么？ 27．画一画，填一填。 （1）分别过A点和B点画出已知直线的垂线。 （2）画的这两条垂线存在（    ）关系。 28．分别过C、D两点画出直线b的垂线。 所画的这两条垂线是（    ）关系。 29．如图，按要求画一画。 （1）以A为顶点画一个比平角小30°的角； （2）过B点和C点分别画这条直线的垂线，画出的这两条垂线的位置关系是（    ）。 30．过C、D两点分别给下面这条直线画垂线。 观察画的这两条垂线，我发现：_________。 31．分别过A、B两点画出直线a的平行线。 所画的这两条平行线是（　　）关系。 32．过A点画出已知直线的垂线，再过B点画出已知直线的垂线，画出的这两条垂线的位置关系是相互（    ）。 33．请按照要求设计并画图。 （1）请你设计一条从超市到加油站最近的路。 （2）请设计一条从超市到公路最近的路。 （3）简要说明以上设计的理由。 34．下图是人行横道线。如果从点A穿过马路，怎样走路线最短？请把最短的路线画出来，并从数学的角度说明理由。 理由： 35．过A点画出这条直线的平行线，过B点和C点分别画这条直线的垂线。画出的这两条垂线互相（    ）。 36．过A点画已知直线的垂线，再过B点画已知直线的平行线，画出的这两条直线相互（    ）。 37． （1）上图中，哪几条线段的长度是相等的？ （2）A和B两条直线是平行的吗？ （3）两条平行线之间的距离有什么特点？ 38．以A为顶点画一个60°的角，过B点作线段AB的垂线，组成一个三角形。 量一量图中三角形的第三个角是（    ）。 39．张村和王庄分别要修一条水泥路与公路相连怎样修路最近？在图上画出来，并说明理由。 理由：_______________。 40．过A点画出已知直线的垂线，过B点画出已知直线的平行线，画出的这两条线相交成（    ）度的角。        41．从学校到公路之间要修一条公路以便于孩子们的行走，你觉得怎样修最近？请你画一画。 42．玲玲家住在A处，她和爸爸去河边钓鱼，他们走哪条路最近？为什么？ 43．按要求画图并解释。 （1）从小文家到苹果园怎样走最近，请你在图中画一画。 （2）请你从数学的角度谈谈为什么这样画。 44．如图，按要求画画。 （1）以A为顶点画一个125°的角； （2）画一条已知直线的平行线； （3）量一量B点到已知直线的距离是（    ）毫米。 45．画一画，填一填。 （1）先过A点画出已知直线的垂线，再过B点画出已知直线的垂线。 （2）观察发现，画的这两条直线存在（　　）关系。 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 模块四 答案分析 1．（1）（2）画图见详解 （1）两点之间线段最短 （2）点到直线之间垂线段最短 【分析】（1）两点之间线段最短，连接林林家和A点即可。 （2）点到直线之间垂线段最短，将三角板的一条直角边和已知A点所在直线重合，三角板的直角顶点与A重合，过A沿这条直角边画直线，即为从A码头过河最短距离。 【详解】 （1）（2）如图：     从林林家到河边A码头最近的路线，理由是两点之间线段最短；从A码头过河最近的路线，理由是点到直线之间垂线段最短。 2．见详解 【分析】把张村看做一个点，公路看做一条直线，根据垂线段最短的性质，画一条垂线。过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与公路重合，让三角尺的另一条直角边通过点张村，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是公路的垂线。因为点到直线之间垂线段最短。据此解答即可。 【详解】作图如下： 因为点到直线之间垂线段最短。 3．（1）见详解 （2）互相垂直；互相垂直 【分析】（1）①先画一条直线a，将三角尺的直角边其中一条与直线a重合，画出另一条边即为直线b，a和b互相垂直；将尺的一边与直线b重合，向左平移画出射线c，射线有一个端点；③将尺的一边与直线a重合，向上平移直至看到端点M，过M点画出直线即为直线a的平行线d；④同时经过a、b、c、d四条直线画出直线1即可。 （2）直线a和直线b互相垂直，射线c与直线b平行，则直线a垂直与射线c；直线a与直线d互相平行，直线b和直线a互相垂直，则直线b垂直与直线d。 【详解】 （1）如图：（画法不唯一） （2）直线a和射线c互相垂直，直线b和直线d互相垂直。 4．使乐乐、明明、丽丽三家到这条自来水管道的距离都相等，则根据平行线间的垂线段处处相等可知这条自来水管道应经过公园且修在和他们三家在同一条直线的平行线上。 【分析】根据平行线间的垂线段处处相等，这些垂线段的长度叫做这两条平行线之间的距离解答。 【详解】由分析知，应修在和他们三家在同一条直线的平行线上。 答：这条自来水管道应经过公园且在他们三家在同一条直线的平行线上。 5．（1）见详解 （2）平行 【分析】 （1）把起跳线看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行。 【详解】（1）如图： （2）所画的两条线段互相平行。 6．见详解； 10 【分析】用三角板的一条直角边和已知文化路重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可画出幸福路；用三角板的一条直角边的已知文化路重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知文化路画垂线，然后量出A点到文化路的距离即可；据此解答。 【详解】根据分析如图： A点到文化路的距离是10毫米。 7．（1）、（2）、（3）均见详解 （4）直角三角形中有一个角是45°，那么以这两条直角边为邻边可以画出一个正方形。（答案不唯一） 【分析】（1）直尺上1个大格是1厘米，因此用0刻度线对准线段的首端，4厘米处的位置就是线段的末端，用直尺将这两个点连起来即可。 把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 （2）使量角器的中心和线段的另一个端点重合，0°刻度线和已经画的线段重合，然后在量角器45°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，并将其延长与已经画的垂线相交，从而组成一个三角形即可。 （3）过三角形不是直角的两个顶点分别画三角形两条直角边的平行线，就可以画出长方形； （4）在用尺子测量物体的长度时﹐要把尺子的O刻度线对准线段的左端﹐再看纸条的右端对着几，就是几厘米；再根据测量出的结果进行解答。 【详解】（1）、（2）、（3）画图如下： （4）经过测量可知，长方形四条边的长度都是4厘米，因此我发现：直角三角形中有一个角是45°，那么以这两条直角边为邻边可以画出一个正方形。（答案不唯一） 8．见详解 【分析】在第二条直线上选三点A、B、C，把三角板的直角边紧靠第一（或二）条直线，沿这条直线滑动三角板，当另一条直角边经过点A时，沿着这条直角边画直线，这条直线就是这两条平行线的垂线，用相同的方法过点B、C画出这两条平行线的垂线；同一条垂线与这两条平行线的垂足间的线段，就是这两条平行线间的距离。通过度量，可以发现平行线间的距离处处相等；据此解答即可。 【详解】根据分析，作图如下： 我发现：点到垂足之间的距离相等。 9．画图见详解；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可；依此解答。 【详解】画图如下： 理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 10．画图见详解；两点之间，线段距离最短；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】两点之间，线段距离最短；因此用直尺将贾泉村和石榴采摘园连接起来即可；依此画图； 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 理由：两点之间，线段距离最短；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 11．（1）画图见详解； （2）3 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 （2）点A到垂足的线段的长度，就是点A到直线的距离；直尺上1个大格是1厘米，因此用0刻度线对准线段的首端，线段的末端指向第多少个大格，则线段就长多少厘米，依此测量。 【详解】（1）画图如下： （2）经过测量可知，A点到直线的距离是3厘米。 12．图见详解；7 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可； （2）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿直角边向已知直线画直线即可； （3）用直尺量出B点到已知直线的距离即可（B点与垂足间的线段长）。 【详解】据分析作图如下： 量出B点到已知直线的距离是7毫米。 13．不一定互相平行；画图见详解 【分析】如下图所示，把一张长方形纸对折后，再对折，折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 【详解】画图如下： 把一张正方形纸对折两次，再打开。出现的折痕不是一定互相平行的。 14．（1）（2）见详解 （3）两点之间线段最短；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 【分析】（1）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此可知，过楼房和小屋这两个点画一条线段，这条线段就是从楼房到小屋最近的路。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要求从小屋到大街最近的路，则从小屋向大街作垂线，这条垂线即为所求。 （3）根据两点之间线段最短，以及从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这两个性质进行说明。 【详解】（1）（2） （3）（1）设计的理由是两点之间线段最短。（2）设计的理由是从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 15．图见详解；这样设计的理由是：因为小鸭子在岸上行走很吃力，所以在岸上走的路程要尽量短。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段的长度最短，所以分别从A、B两点作到岸边的的垂线，这时小鸭子在岸上走的的路线最短，因为两点之间线段最短，所以在河里的路线就是连接岸边两个垂足的线段。 【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。点到直线的距离，垂线段最短，据此解答。 【详解】如图所示：    这样设计的理由是：因为小鸭子在岸上行走很吃力，所以在岸上走的路程要尽量短。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段的长度最短，所以分别从A、B两点作到岸边的的垂线，这时小鸭子在岸上走的的路线最短，因为两点之间线段最短，所以在河里的路线就是连接岸边两个垂足的线段。 【点评】本题考查最短路线问题，熟练掌握过直线外一点作直线的垂线的方法是解答本题的关键。 16．（1）可经过公园到学校，或经过电影院到学校，或经过超市到学校。 （2）经过公园到学校；因为两点之间线段距离最短。 【分析】（1）小英从家到学校，可分别经过公园、电影院、或超市到学校，依此解答。 （2）两点之间的距离，线段距离最短，依此解答。 【详解】（1）小英从家到学校可经过公园到学校，或经过电影院到学校，或经过超市到学校。 （2）小英从家经过公园到学校最近，因为两点之间线段距离最短。 【点评】解答此题的关键是要明确两点之间线段距离最短与两点之间的距离。 17．见详解 【分析】小马在A的位置，小马可以先到B再到C，小马也可以先到E再到C，小马还可以从A到D再到C，所以小马有三条路可以走，其中ABC、ADC这两条路是折线， AEC这条路是线段这条路最短。 【详解】答：有ABC、AEC、ADC这三条路可以走；走AEC这条路最近。 【点评】两地之间最短的路程是连接两地的线段。 18．（1）（2）见详解 （3）1.4 【分析】（1）使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和线段AB重合。在量角器130°刻度线的地方点一个点。以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出130°的角。 （2）过直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 （3）从直线外一点到这条直线垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此用直尺量出点C到线段AB的距离。 【详解】（1）（2） （3）点C到线段AB的距离是1.4厘米。 【点评】画角注意两重和，量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。过直线外一点画已知直线的垂线和平行线时，考查学生利用三角尺作图能力。 19．见详解 【分析】①两点之间线段最短，将学校和书店两个点用线段连起来，这样走就最近； ②图中公路表示直线，点到直线，垂线段最短，过“学校”这个点，作一条垂直于公路的线段，这条路就是从学校到公路最近的路。 ③根据点与点之间的距离、点到直线的距离，即可解答。 【详解】 两点之间，线段最短；点到直线，垂线段最短。 【点评】本题主要考查垂线的画法，属于基础知识，要熟练掌握。 20．（1）（2）见详解 【分析】（1）根据两点之间线段最短，直接用线段连接恐龙博物馆和龙立方即可得出最近的路； （2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把小河看作一条直线，恐龙博物馆看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】（1）一条从恐龙博物馆到龙立方最近的路。作图如下： （2）一条从恐龙博物馆通向小河最近的路。作图如下：这样画的理由：垂线段最短。 【点评】熟练掌握两点之间，线段最短和垂线段最短的知识，是解答此题的关键。 21．（1）画图见详；两点之间，线段距离最短。 （2）见详解 【分析】（1）两点之间，线段距离最短，依此画图并解答即可。 （2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】（1）、（2）画图如下： （1）这样画的理由是：两点之间，线段距离最短。 【点评】此题考查了两点间线段最短与两点间的距离，以及过直线外一点作垂线，应熟练掌握垂直的特点。 22．（1）见详解；（2）2； 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 （2）直尺上1个大格是1厘米，因此用0刻度线对准垂线段的首端，垂线段的末端大约指向第多少个大格，则点A到直线a的距离就长多少厘米，依此测量。 【详解】（1）画图如下： （2）经过测量可知，点A到直线a的距离约是2厘米。 【点评】此题考查了过直线外一点画平行线、作垂线，以及长度的测量，应熟练掌握平行和垂直的特点。 23．①图见详解；理由：因为垂线段最短，所以画垂线段； ②见详解 【分析】①从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短；据此画图即可； ②根据两点之间线段最短，画图即可。 【详解】①从小熊家到森林怎样走最近，画图如下； 理由：因为垂线段最短，所以画垂线段。 ②画连接小熊家和大熊家这两点成线段，如下： 【点评】熟练再问问垂线段最短和两点之间线段最短，是解答此题的关键。 24．（1）见详解； （2）过A小区这点画公路的垂线段，站点设在垂足处，距离A小区最近；图见详解 【分析】（1）根据题意可知，过A小区这点画公路的平行线，把三角板的一条直角边与已知直线（公路）重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和图中的A小区这点重合，过A小区这点沿三角板的直角边画直线即可； （2）在公路上设一个公交站点，应该以从A小区到公路的距离最短为宜，依据垂线段最短，过图中已知点（A小区）画公路的垂线段，在垂足处设站点即可，依据画垂线的方法：用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A小区这点重合，过A小区这点沿直角边向已知直线画垂线段即可。 【详解】（1）画出步行街的路线，如下； （2）过A小区这点画公路的垂线段，站点设在垂足处，距离A小区最近；画图如下： 【点评】本题主要考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力。 25．（1）见详解 （2）因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一 直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并解答。 【详解】（1）画图如下： （2）因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【点评】此题考查的是过直线外一点作垂线，熟练掌握垂直的特点是解答此题的关键。 26．（1）见详解； （2）点到直线的距离，重线段最短。 【分析】（1）从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过东村这点作小河这条直线的垂线段即可。 （2）根据垂直的性质说说这样画的理由即可。 【详解】（1）根据分析，过东村这点作小河这条直线的垂线段，如下： （2）我这样画的理由是：点到直线的距离，重线段最短。 【点评】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 27．（1）见详解 （2）互相平行 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。据此解答。 【详解】（1） （2）画的这两条垂线存在互相平行关系。 【点评】本题考查垂直和平行的特性，旨在考查学生作图能力。 28．画图见详解；平行； 【分析】过直线外一点作垂线的步骤： 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合 2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上 3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。垂线CF与垂线DK都是直线b的垂线，这两条垂线永不相交，故是互相平行。据此解答。 【详解】画图如下： 所画的这两条垂线是（平行）关系。 【点评】本题考查画垂线和平行的判定，掌握分析中的画垂线方法和平行的概念是解题的关键。 29．（1）见详解 （2）画图见详解；互相平行 【分析】（1）一个平角是180°，180°－30°＝150°，画角的步骤是：先以A点为顶点画一条射线，使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器150°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图即可。 （2）在同一平面内两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行，依此画图并判断出画的这两条垂线的位置关系即可。 【详解】（1）、（2）画图如下： （2）画出的这两条垂线的位置关系是互相平行。 【点评】此题考查的是用量角器画角，过直线外或直线上一点作垂线，以及平行和垂直的特点，应熟练掌握。 30．见详解 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边紧靠已知直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点画的这条直线的垂线；据此过C、D两点分别画出这条直线垂线即可。 （2）垂直于同一条直线的两直线平行，据此可知，所画的两条垂线是互相平行的。 【详解】过C、D两点分别画出下面这条直线垂线，如下： 观察画的这两条垂线，我发现：所画的两条垂线是互相平行的。 【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。 31．图见详解过程；平行 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线a重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺滑动三角板，当与直线靠紧的一边经过A点时，沿这边画直线，这条直线就是过A点的直线a的平行线；用同样的方法即可画出过B点的直线a的平行线；再根据位置关系确定过A点、B点画的两条线是互相平行的。 【详解】分别过A、B两点画出直线a的平行线（下图）： 所画的这两条平行线是平行关系。 【点评】本题考查了学生画平行线的能力。过已知直线外一点作已知直线的平行线，三角板与直尺（或另一三角板）的正确配合是关键。 32．平行，画图见详解 【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点（B点）重合，过A点（B点）沿直角边向已知直线画直线即可。根据垂直和平行的性质：给一条直线作两条垂线，这两条垂线互相平行；据此解答。 【详解】画图如下： 画出的这两条垂线的位置关系是相互平行。 【点评】本题考查了学生画垂线的能力，以及平行线的性质的灵活应用。 33．（1）（2）图见详解过程 （3）理由：两点之间线段最短 理由：点到直线的垂直线段最短 【分析】（1）两点之间线段最短，直接用线段连接超市和加油站即可得出最近的路。 （2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把公路看作一条直线，超市看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 （3）根据线段的性质、垂直线段的特点说明理由即可。 【详解】（1）（2）如图所示： （3）理由：两点之间线段最短。 理由：点到直线的垂直线段最短。 【点评】此题主要考查了线段的性质，垂线段的性质及过已知直线外一点画已知直线的垂足。 34．见详解 【分析】直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，过A点作马路对边的垂线段，沿垂线段走路线最短。 【详解】 理由：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。 【点评】本题主要考查学生对垂线特征的掌握和灵活运用。 35．画图见详解；平行 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点（C点）重合，过B点（C点）沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可。 （3）过B点和C点画的这条直线的垂线互相平行。 【详解】画图如下： 过B点和C点画的这条直线的垂线互相平行。 【点评】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。 36．图见详解；垂直 【分析】（1）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （2）过一点作直线的垂线段：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫做垂线段。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 【详解】过A点画出已知直线的垂线，过B点画出已知直线的平行线，如下： 【点评】过直线外一点作已知直线的平行线，关键是三角板与直尺（或另一三角板）的配合使用；过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线关键是三角板的正确、熟练使用。 37．（1）b，c，e；（2）平行；（3）相等 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等。 【详解】（1）根据平行线的特征可知，线段b、c、e的长度相等。 （2）根据平行线的定义可知，直线A与直线B是平行的。 （3）两条平行线之间的距离是相等的。 【点评】此题主要考查了垂直与平行的特征及性质。 38．图见详解；30° 【分析】把A点与量角器的中心点重合，AB与量角器的零刻度线重合，找到60°，再画60°角的另一边；把直角三角尺的一条直角边与线段AB重合，直角顶点与B点重合，沿着另一条直角边画线段即为线段AB的垂线，再将垂线及60°角的另一边延长，即可得到三角形。把量角器的中心点与C点重合，线段BC与量角器的零刻度线重合，另一边与多少度重合，则这个角是多少度。 【详解】； 量得图中三角形的第三个角是30°。 【点评】直角三角形的两个锐角之和是90°。 39．见详解 理由：直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。 【分析】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要做出这个一点到直线的垂线段即可。根据图片所示，以张村和王庄为端点，分别做两条垂直于公路的线段即可。 【详解】画图如下： 理由：直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。 【点评】本题考查过直线外一点作垂线的知识应用，牢记直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。 40．见详解 【分析】（1）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （2）过一点作直线的垂线段：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫做垂线段。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 【详解】过A点画出已知直线的垂线，过B点画出已知直线的平行线，如下： 观察可知，画出的这两条线相交成90度的角。 【点评】过直线外一点作已知直线的平行线，关键是三角板与直尺（或另一三角板）的配合使用；过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线关键是三角板的正确、熟练使用。 41．从学校向公路所在的直线的垂线段最短；见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把公路看作一条直线，学校看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】根据分析可知：从学校向公路所在直线的垂线段最短，画图如下： 【点评】本题是考查垂直线段的性质，利用这一性质作最短线路图。 42．第2条， 理由见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，从A点向小河作垂线，这条垂线即为最短路线。 【详解】他们走第2条路最近，因为第2条路垂直于小河，距离最短。 【点评】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 43．见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使从小文家到苹果园的路程最近，则从小文家向青苹果园挨着小文家的长边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】（l） （2）之所以这么画，是因为从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 【点评】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。 44．（1）见详解 （2）见详解 （3）15 【分析】（1）使量角器的中心和射线的端点A重合，零刻度线和射线重合，在量角器上要画的角的度数刻度线的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 （2）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （3）从B点作已知直线的垂线段，测量出垂线段的长度即为B点到已知直线的距离。 【详解】（1）（2）见下图： （3）B点到已知直线的距离是15毫米。 【点评】本题主要考查学生用量角器画角、作平行线和作垂线段方法的掌握。 45．（1）见详解 （2）互相平行 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A（B）点重合，过A（B）点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可。 （2）因为画出的两条直线都与已知直线垂直，所以画出的两条直线互相平行。 【详解】（1）如图所示： （2）观察发现，画的这两条直线存在互相平行关系。 【点评】本题主要考查学生垂线的作法，培养学生的作图能力。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$