专题02 M模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型2：“M”模型 图示 特点 AB∥CD，O 是平行线间一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 结论 ∠BOC=∠B+∠C(已知角关系,平行也成立) 1. 找模型 平行线间某一端存在两条凹进去的线段并交于一点 2. 用模型 一般过平行线间的交点作平行线，再利用平行线的性质或结合三角形的性质求解 结论分析 结论:∠BOC=∠B+∠C 证明:证法1:如图①,过点 O作OE∥AB, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠C,即∠BOC=∠B+∠C. 证法2:如图②,延长BO交DC于点E, 也可以延长CO，方法同证法 2. 思考延伸：同学们还可尝试连接BC，进行结论的证明. 提示：利用三角形内角和及两直线平行，同旁内角互补. 拓展方向：研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 ∠O₁ + ∠O₂ = 180°+(∠B+∠C) ∠O₁+∠O₂+∠O₃+…⁺∠On= (n-1)×180°+(∠B+∠C) 满分技法：多拐点模型同样可过“拐点”作平行线，根据平行线的性质进行角度转换从而判断计算 例1 如图,AM∥BN,∠ACB=90°,∠MAC=35°,则∠CBN的度数为 ( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 思路点拨：点 C 在 AM 与 BN 之间,且∠ACB向M 与 N一端凹进去利用“M”模型求解. 例2 模型构造 如图,AB∥CD,∠BAE=110°,∠DCE=30°,则∠AEC的度数为 ( ) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 思路点拨：形式不直观的图形，可通过辅助线使模型清晰，再利用“M”模型. 例3 如图,AB∥CD,点E,F在AC边上,连接BF,DE交于点O,已知∠CED=70°,∠BFC=130°,则∠B+∠D的度数为 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 思路点拨：AB∥CD,要求∠B+∠D,寻找“M”模型,求出∠BOD,再结合三角形内角和求解 针对训练 1. 如图，直线 ,则∠2+∠3=( ) A. 155° B. 180° C. 225° D. 245° 1. C 【解析】如解图,∵l₁∥l₂,∴由“M”模型得∠2=∠1+∠4,∵∠4=180°-∠3,∴∠2=∠1+180°-∠3,∴ ∠2+∠3=180°+∠1= 2. 如图,已知 AB∥CD,∠B+∠D=30°,则 2. 570 【解析】根据“M”模型可知, ∠D),拐点个数为4,. 3. 常见的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图②所示的∠1与∠2,则∠1+∠2的度数是 . 3. 90° 【解析】如解图,∵AB∥CD 且两条线段交点凹进去,∴ 由“M”模型得∠1+∠2=∠BED=90°. 4. 如图,AB∥CD,EG 是∠AEH 的平分线,FH是∠CFG的平分线,若∠G+45°=2∠H,则∠AEH的大小是 . 4. 30° 【解析】∵EG 是∠AEH 的平分线,FH是∠CFG 的平分线, ∠AEH+∠CFH,∴2∠H=2∠AEH+2∠CFH= 2 ∠AEH + ∠CFG, ∴ 2 ∠H - ∠G = 即2∠H-∠G= 5. 如图,AD∥BC,点 P 在射线 OM 上运动,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β. (1)当点 P在A，B两点之间运动时，猜想并证明∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系; (2)如果点 P在A，B两点外侧运动时(点P与A，B，O三点不重合)，请你直接写出∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系. 5. 解:(1)∠CPD=∠α+∠β; 证明:如解图①,过点 P 作 PE∥AD 交CD 于点 E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β; (2)当点 P 在 BA 延长线上时,∠CPD=∠β-∠α;当点P在BO之间时,∠CPD=∠α-∠β. 【解法提示】当点 P 在 BA 延长线上时，如解图②,过点 P作PE∥AD交CD延长线于点E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴ ∠CPD=∠CPE-∠DPE =∠β-∠α;当点 P 在 BO 之间时,如解图③,过点 P 作 PE∥AD 交 OC 于点 E,∵ AD∥BC,∴ AD∥PE ∥BC,∴ ∠α = ∠DPE, ∠β=∠CPE,∴ ∠CPD=∠DPE-∠CPE =∠α-∠β. 课后练习 一、单选题 1．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 1．B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质判断出图中角度之间的关系．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过作直线，如图所示， ， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 2．如图所示，，将一块三角板如图所示放置（直角顶点C在上），，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．B 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判断是解题的关键． 过点作，则，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】过点作，   ． ． ，． ， ． 故选：B． 3．如图，，，则的度数为（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 3．C 【分析】此题考查平行线的性质，过点B作，根据平行线的性质计算出角度即可． 【详解】解：如图，过点B作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．李四在学习“平行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 4．C 【分析】本题考查了平行线的性质，过直角顶点，作，根据平行线的性质可得，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，过直角顶点，作 ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 5．如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．A 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得到，根据平行线的性质结合角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 6．如图，已知直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算，解本题的关键是正确作出辅助线． 先利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 7．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜反射后，反射光线，此时．若测得，则的度数为 ． 7．/48度 【分析】根据，得，结合，得到，结合，解答即可． 本题考查了平行线的性质，平角的定义，补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：48度． 三、解答题 8．（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为之间一点，求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点作． ，（已知）， （_______________）， （_______________）， （等式的基本性质）， （2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点在直线上，点在直线上，直线分别平分，且交于点．猜想并证明与（小于平角）的数量关系． 8．（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等；（2）结论：，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行线的判定和性质证明即可； （2）结论：．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：（1）如图①，过点P作． ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等式性质）， ∴． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等； （2）结论：． 理由：由（1）得， ∵平分，平分， ∴， ∴ 9．【阅读理解】 （1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，，点E，F分别在直线，上，点P为直线，内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接，．求证：． 证明：如图2，过点P作， ， ． （                 ）． ， ． ， （                ）． 【问题解决】 请直接利用（1）中的结论解答下列问题． （2）如图3，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M．若，求的度数； （3）如图4，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M，再分别作和的角平分线交于点N．若，，请直接写出之间满足的数量关系式． 接写出结果，不需要说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 9．（1）见详解，（2），（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质， 过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得和，利用等量代换即可得到； 由（1）知，，，结合角平分线的性质得，根据平角定义可得，即可求得； 由（1）知，，，角平分的性质得，，进一步求得，，即可求得三者之间关系． 【详解】证明：（1）如图2，过点P作， ， ． （两直线平行，内错角相等）． ， ． ， （等量代换）； （2）由（1）知，，， ∵和的角平分线交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3）由（1）知，，， ∵和的角平分线交于点M， ∴， ∵和的角平分线交于点N ∴， ∵， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， 即， 则． 10．已知直线，和，分别交于C，D点，点A，分别在直线，上，且位于的左侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，点P在线段上，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 10．(1)的度数为； (2)或或． 【分析】本题考查平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，有关平行线中相关角的等量关系．解题的关键是逢拐点作平行线． （1）作辅助线使，平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，进而得到，，即可求出的度数； （2）作辅助线使，分情况讨论得到，，的数量关系，①当点P在直线，上方，利用平行线的性质得到；②当点P在直线，中间时，利用平行线的性质得到，③当点P在直线，下方，利用平行线的性质得到． 【详解】（1）解：过点P作如图1， 又直线， ， ， ， ， ， ． 故的度数为． （2）过点P作，①当点P在直线，上方时如图2， 又直线， ， ， ， ， ， ， 即：； ②当点P在直线，中间时如图3，又直线， ， ， ， ， ， ，即； ③当点P在直线，下方时如图4，又直线， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型2：“M”模型 图示 特点 AB∥CD，O 是平行线间一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 结论 ∠BOC=∠B+∠C(已知角关系,平行也成立) 1. 找模型 平行线间某一端存在两条凹进去的线段并交于一点 2. 用模型 一般过平行线间的交点作平行线，再利用平行线的性质或结合三角形的性质求解 结论分析 结论:∠BOC=∠B+∠C 证明:证法1:如图①,过点 O作OE∥AB, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠C,即∠BOC=∠B+∠C. 证法2:如图②,延长BO交DC于点E, 也可以延长CO，方法同证法 2. 思考延伸：同学们还可尝试连接BC，进行结论的证明. 提示：利用三角形内角和及两直线平行，同旁内角互补. 拓展方向：研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 ∠O₁ + ∠O₂ = 180°+(∠B+∠C) ∠O₁+∠O₂+∠O₃+…⁺∠On= (n-1)×180°+(∠B+∠C) 满分技法：多拐点模型同样可过“拐点”作平行线，根据平行线的性质进行角度转换从而判断计算 例1 如图,AM∥BN,∠ACB=90°,∠MAC=35°,则∠CBN的度数为 ( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 思路点拨：点 C 在 AM 与 BN 之间,且∠ACB向M 与 N一端凹进去利用“M”模型求解. 例2 模型构造 如图,AB∥CD,∠BAE=110°,∠DCE=30°,则∠AEC的度数为 ( ) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 思路点拨：形式不直观的图形，可通过辅助线使模型清晰，再利用“M”模型. 例3 如图,AB∥CD,点E,F在AC边上,连接BF,DE交于点O,已知∠CED=70°,∠BFC=130°,则∠B+∠D的度数为 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 思路点拨：AB∥CD,要求∠B+∠D,寻找“M”模型,求出∠BOD,再结合三角形内角和求解 针对训练 1. 如图，直线 ,则∠2+∠3=( ) A. 155° B. 180° C. 225° D. 245° 2. 如图,已知 AB∥CD,∠B+∠D=30°,则 3. 常见的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图②所示的∠1与∠2,则∠1+∠2的度数是 . 4. 如图,AB∥CD,EG 是∠AEH 的平分线,FH是∠CFG的平分线,若∠G+45°=2∠H,则∠AEH的大小是 . 5. 如图,AD∥BC,点 P 在射线 OM 上运动,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β. (1)当点 P在A，B两点之间运动时，猜想并证明∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系; (2)如果点 P在A，B两点外侧运动时(点P与A，B，O三点不重合)，请你直接写出∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系. 5. 解:(1)∠CPD= 课后练习 一、单选题 1．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 2．如图所示，，将一块三角板如图所示放置（直角顶点C在上），，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，则的度数为（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 4．李四在学习“平行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜反射后，反射光线，此时．若测得，则的度数为 ． 三、解答题 8．（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为之间一点，求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点作． ，（已知）， （_______________）， （_______________）， （等式的基本性质）， （2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点在直线上，点在直线上，直线分别平分，且交于点．猜想并证明与（小于平角）的数量关系． 9．【阅读理解】 （1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，，点E，F分别在直线，上，点P为直线，内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接，．求证：． 证明：如图2，过点P作， ， ． （                 ）． ， ． ， （                ）． 【问题解决】 请直接利用（1）中的结论解答下列问题． （2）如图3，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M．若，求的度数； （3）如图4，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M，再分别作和的角平分线交于点N．若，，请直接写出之间满足的数量关系式． 接写出结果，不需要说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 10．已知直线，和，分别交于C，D点，点A，分别在直线，上，且位于的左侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，点P在线段上，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$