第18讲 平行线的证明-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

平行线的判定与性质 教学目标：能够理解什么是定义与命题，能够判定什么是真命题和假命题，通过学习公理与定理证明相关结论。 教学重点： 平行线的判定和性质类综合分析题型 教学难点： 平行线的性质的综合应用 知识点一：定义与命题 相关知识点内容 判断一件事情的句子，叫做命题。如果一个句子没有对某一事情做出任何判断，那它就不是命题。 一般的，每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，命题通常可以写成“如果﹒﹒ 那么 ﹒﹒ ”的形式，其中“如果”引出部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 例题1：下列的语句中，那些语句对事情做出了判断，哪些没有？ 1、任何一个三角形一定有直角 2、对顶角相等 3、无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数； 4、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行； 5、你喜欢数学吗 6、做线段AB=CD 变式练习1： 下列句子中哪些是命题： （1） 动物都需要水 （2）猴子是动物的一种 （3） 玫瑰花是动物 (4) 美丽的天空更 （5） 相等的角是对顶角 （6）负数都小于零 （7）你的作业做完了吗 （8）所有的质数都是奇数 知识点二、真命题和假命题，公理 相关知识点内容 1、正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题，要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例 2、公认的真命题称为公理，演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理 公理有：1.两点确定一条直线2.两点之间线段最短3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直4.同位角相等,两直线平行.5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等. 例2：下列命题中是真命题的是（　　） A．两个锐角的和是锐角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．点（﹣3，2）到x轴的距离是2 D．若a＞b，则﹣a＞﹣b 变式练习2．（1）下列命题是真命题的有（　　） ①对顶角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； ④直角都相等． A．2个 B．4个 C．1个 D．3个 （2）下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行B．平行于同一直线的两条直线互相平行 C．内错角相等D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 知识点三、平行线的判定与性质 相关知识点内容：平行线的判定： 定理1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简说成:同位角相等两直线平行 定理2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简说成:内错角相等两直线平行 定理3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简说成:同旁内角互补两直线平行 平行线的性质： 定理1：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简述为：两直线平行，同位角相等 定理2：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等 定理3：两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角相等 例3：如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC． 解题方法：此类问题是探求证明的途径，一般有两种思考方法：一种是从已知出发，推出可能的结果，并与要证明的结论作比较，直至得到要证明的结论；另一种从要证明的结论出发，探索要使结论成立的条件，并与已知对照，直至找到所需要并已知的条件。 变式练习3：已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD． 例4．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN． 变式练习4：（1）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F． ①求证：CF∥AB； ②求∠DFC的度数． （2） 如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°． 求证：①AB∥EF； ②AB∥ND． 例5：将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）： （1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为　 　； ②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 变式练习5：（1）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F． 如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是　 　； 如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　 　； 如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　 　； （2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明． （2）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补． ①试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由； ②如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； ③如图3，在②的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 知识点四：三角形的内角和与外角和 相关知识内容： （1） 三角形内角和等于180°，三角形的外角和等于360°。 （2） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 （3） 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注意：“三角形的外交和等于360°”中的“外角和”是指不共顶点的三个外角的和。 例6：如图，在四边形ABCD中，求证：∠A+∠B＋∠C＋∠D=360° 变式练习6：（1）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=________ （2）如图1是一个五角星； ①计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数 ( A B A E B E D C D C )②当BE向上移动，过点A时，如图2，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化？说明理由。 例7：如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，探究∠BPC与∠A的关系 ( A P C B ) 变式练习7：（1）如图1，在△ABC中，BP，CP分别是三角形两外角平分线的交点，探究∠BPC与∠A的关系 （2）如图2，在△ABC中，∠ABC的角平分线与三角形外角ACD角平分线交于点P，探究∠P与∠A的关系。 ( P A B 如图 2 D C ) ( A C B P 如图1 ) 课后检测 1、有下列四个命题： ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ③如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 其中真命题的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知a，b，c是△ABC的三条边，下列命题中，假命题是（　　） A．若∠A=∠C﹣∠B，则△ABC是直角三角形 B．若∠A，∠B，∠C的度数比是5：2：3，则△ABC是直角三角形 C．若a：b：c=2：2：3，则△ABC是直角三角形 D．若a2=b2﹣c2，则△ABC是直角三角形 3．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数． 4．已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN； （1）判断图中平行的直线，并给予证明； （2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明． 　 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$